2022年二次函数及相似形知识点 .pdf

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1、第一部分二次函数知识点总体把握相关概念及定义二次函数的概念： 一般地， 形如2yaxbxc（abc， ，是常数，0a）的函数， 叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而 bc， 可以为零二次函数的定义域是全体实数二次函数2yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2abc， ， 是常数， a 是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项二次函数各种形式之间的变换二 次 函 数cbxaxy2用 配 方 法 可 化 成 ：khxay2的 形 式 ， 其 中abackabh4422，. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：2axy

2、；kaxy2；2hxay；khxay2；cbxaxy2. 二次函数解析式的表示方法一般式：2yaxbxc （ a ，b， c 为常数，0a） ；顶点式：2()ya xhk （ a，h，k为常数，0a） ；两根式：12()()ya xxxx（0a，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数2axy的性质二次函数2yaxc 的性质二次函数2ya xh的性质：a的符号开口方向顶点坐标

3、对称轴性质0a向上00，y轴0 x时，y随 x 的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y有最小值00a向下00，y轴0 x时，y随x的增大增大而减小；0 x时，y随 x 的增大而增大；0 x时，y有最大值0a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质性质0a向上0 c，y轴0 x时，y随 x 的增大而增大；0 x时，y随x 的增大而减小；0 x时，y有最小值 c 0a向下0 c，y轴0 x时，y随 x 的增大而减小；0 x时，y随x 的增大而增大；0 x时，y有最大值 c 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -

4、- - - - -第 1 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 二次函数2ya xhk 的性质抛物线2yaxbxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同. 对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作2bxa. 特别地，y轴记作直线0 x. 顶点坐标坐标：），（abacab4422顶点决定抛物线的位置. 几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 抛物线cbxaxy2中，cba,与函数图像的关系二次项系数 a二次函数2y

5、axbxc中， a 作为二次项系数，显然0a 当0a时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； 当0a时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴 在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b时，02

6、ba，即抛物线的对称轴就是y轴；a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=h xh时，y随 x 的增大而增大；xh时，y随 x的增大而减小；xh时，y有最小值00a向下0h，X=h xh时，y随 x 的增大而减小；xh时，y随 x的增大而增大；xh时，y有最大值0a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=h xh时，y随 x 的增大而增大；xh时，y随x 的增大而减小；xh时，y有最小值k0a向下hk，X=h xh时，y随 x 的增大而减小；xh时，y随x 的增大而增大；xh时，y有最大值k精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载

7、 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置总结：常数项 c 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来， c 决定了抛物线与y轴交点的位置总之，只要abc， ， 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：abac

8、abxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2. 配方法：运用配方的方法， 将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为 (h,k) ，对称轴是直线hx. 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 用待定系数法求二次函数的解析式一般式：cbxaxy2. 已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. 顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 交点式：已知图像与x轴的

9、交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay. 直线与抛物线的交点y轴与抛物线cbxaxy2得交点为 (0, c). 与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2). 抛物线与x轴的交点 : 二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根. 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离 . 平行于x轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当

10、有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根 . 一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组2ykxnyaxbxc的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点 . 抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -

11、- - - - -第 3 页，共 25 页 - - - - - - - - - - aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于 x轴对称2ya xb xc关于 x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk 关于 x 轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ；关于y轴对称2ya xb xc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk 关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ；关于原点对称2ya xb xc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya

12、xhk 关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk ；关于顶点对称2ya xb xc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2ya xhk 关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk 关于点mn，对称2ya xhk 关于点mn，对称后，得到的解析式是222ya xhmnk总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变 求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式二

13、次函数图象的平移平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线2yax 的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减”根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。三点式。1，已知抛物线y=ax2+bx+c 经过 A（3， 0） ，B（32，0） ，C（0，-3 ）三点，求抛物线的解析式。2，已知抛物线y=a(x-1)+4 ， 经过点 A（2，3） ，求抛物线的解析式。顶点式。向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)

14、【或下(k0)【或向下(k0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0）, 原图形上点的坐标为（ x,y ）, 那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky), 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 第四部分几何知识能力的提高1判断对错：(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？(3)两个等腰直

15、角三角形一定相似吗？为什么？(4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？(5)两个全等三角形一定相似吗？为什么？【变式 1】两个相似比为1 的相似三角形全等吗？【变式 2】下列能够相似的一组三角形为( ) A.所有的直角三角形B.所有的等腰三角形C.所有的等腰直角三角形D.所有的一边和这边上的高相等的三角形2如图所示，已知中， E为 AB 延长线上的一点，AB=3BE ，DE与 BC相交于 F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比. 思路点拨： 由可知 ABCD，ADBC，再根据平行线找相似三角形. 3、如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与

16、塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 25 页 - - - - - - - - - - (1)图中 ABC与 ADE是否相似 ?为什么 ? (2)求古塔的高度4、已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m 宽的亮区 DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高 AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？5、如图， ABCD， A=90，AB=2，AD=5，P是 AD 上一动

17、点 (不与 A、D 重合 )， PE BP ，P为垂足， PE交 DC于点 E，(1)设 AP=x，DE=y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并指出x 的取值范围；(2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 第五部分代数综合能力的提高1 已知一次函的图象过点（0，5） 求 m 的值，并写出二次函数的关系式；求出二次函数图象的顶

18、点坐标、对称轴2 (20XX年厦门湖里模拟)一次函数y x3 的图象与 x 轴， y 轴分别交于点A，B一个二次函数yx2bxc 的图象经过点A，B（1）求点 A，B 的坐标；（2）求二次函数的解析式及它的最小值3( 营口市 ) 面对国际金融危机，某铁路旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出如下标准：人数不超过 25 人超过 25 人但不超过50 人超过 50 人人均旅游费1500 元每增加 1 人，人均旅游费降低20 元1000 元某单位组织员工去该风景区旅游，设有x人参加，应付旅游费y元(1) 请写出y与x的函数关系式；(2) 若该单位现有45 人，本次旅游至少去26 人，则该单位最多应

19、付旅游费多少元？2322mxmxmy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 4、 （滨州）某商品的进价为每件40 元当售价为每件60 元时，每星期可卖出300 件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1 元，每星期可多卖出20 件在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价元、每星期售出商品的利润为元，请写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？1、 （北京市）若把代数式

20、化为的形式，其中为常数，则m+k= _. 2、 （安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（，） ，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为3、 （ 2009 黑龙江大兴安岭）当时，二次函数有最小值4、 （郴州市）抛物线的顶点坐标为 _5、( 上海市 ) 将抛物线向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是_ 6、 （内蒙古包头） 已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方下列结论：；其中正确结论的个数是 _ 个7、 （ 2009 湖北省荆门市）函数取得最大值时，_8、 （齐齐哈尔市）当_时，二次函数有最小值9、 （贵州省黔东南州）二次函数

21、的图象关于原点O（ 0, 0 ）对称的图象的解析式是_。10、已知二次函数， 当 x_ 时， y 随 x 的增大而增大. 11、 （2009 襄樊市）抛物线的图象如图所示，则此抛物线的解析式为12、 （娄底）如图，O的半径为 2，C1是函数y=x2的图象， C2是函数y=-x2的图象，则阴影部分的面积是 .13、 （甘肃庆阳）如图为二次函数的图象，给出下列说法：；方程的根为；当时，y随x值的增xyyxx223xx2xmk,m k1214x222xxy23(1)5yx= -+22yx2yaxbxcx( 2 0)，1(0)x，112xy(0 2)，420abc0ab20ac210ab(2)(3)y

22、xxxx222yxx322xxy2122yxx2yxbxc12122yaxbxc0ab20axbxc1213xx，0abc1x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 大而增大；当时，其中，正确的说法有（请写出所有正确说法的序号）14、( 甘肃定西 ) 抛物线的部分图象如图所示，请写出与其关系式、图象相关的2 个正确结论：，（对称轴方程，图象与x正半轴、y轴交点坐标例外）0y13x2yxbxc精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 25 页 - - - - - - - - - -