2022年九年级数学下册图形的相似和比例线段知识点详细答案 .pdf

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1、名师推荐精心整理学习必备图形的相似和比例线段【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等. 明确相似比的含义；3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. 【要点梳理】要点一、比例线段1线段的比 ：如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成ambn2成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段

2、的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段3比例的基本性质：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项） 要点二、相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；要点三、相似多边形相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形要点诠释：（1）相似多边形的定

3、义既是判定方法，又是它的性质（2）相似多边形对应边的比称为相似比【典型例题】类型一、比例线段1. 下列四组线段中，成比例线段的有( ) A3cm 、4cm、5cm、6cm B 4cm 、8cm、3cm 、5cm C5cm 、15cm、2cm 、6cm D8cm 、4cm、1cm 、3cm 【答案】 C. 【解析】四个选项中只有，故选 C. 2. 求证：如果，那么. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备【答案】

4、，在等式两边同加上1，【总结】比例有合比性质如果，；分比性质如果，abcdbd；更比性质如果，abcd. 举一反三：1、判断下列线段a、b、c、d 是否是成比例线段：(1)a=4 ，b=6，c=5，d=10；(2)a=2 ，b=，c=，d=【答案】 (1) ，线段 a、b、c、d 不是成比例线段(2) ，线段 a、b、c、 d 是成比例线段2、已知线段a、b、c、d，满足acbd，求证：acabdb.【答案】证明：设acbd=k =, =a bk c dk+ =+= (b+d)a c bk dk k+c( + )= =b+d+ak b dakb db精品资料 - - - 欢迎下载 - - -

5、- - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备类型二、相似图形3. 指出下列各组图中，哪组肯定是相似形_：(1) 两个腰长不等的等腰三角形(2) 两个半径不等的圆(3) 两个面积不等的矩形(4) 两个边长不等的正方形【答案】 (2) (4).【解析】 (1) 等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；(3) 中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对应角相等， 但对应边的比不一定相等，所以无法确定它们一定相似；(2)(4)中两个半径不

6、等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形，是相似形 . 举一反三：如图， 左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2 ，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性. 类型三、相似多边形4. 如图，已知四边形相似于四边形， 求四边形的周长 . 【答案】四边形相似于四边形，即四边形的周长.5. 如图，在矩形ABCD 中， AB=2AD ，线段 EF=10，在 EF上取一点M ，分别以EM 、MF为一边作矩形EMNH 、MFGN ，使矩形

7、 MFGN 与矩形 ABCD 相似 . 令 MN=x ，当 x 为何值时，矩形EMNH 的面积 S有最大值？最大值是多少？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备【答案】解：矩形MFGN 与矩形 ABCD 相似当时， S有最大值，最大值为. 举一反三：1、已知四边形与四边形相似，且.四边形的周长为 26. 求四边形的各边长 . 【答案】四边形与四边形相似， 且. 又四边形的周长为 26 即四边形的四边长为：.2、

8、如图所示的相似四边形中，求未知边x、y 的长度和角的大小 . 【答案】根据题意，两个四边形是相似形，得，解得. 3、某小区有一块矩形草坪长20 米，宽 10 米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备由. 【答案】设小路宽为x 米，则小路的外边缘围成的矩形的长为(20+2x) 米，宽为 (10+2

9、x)米，将两个矩形的长与宽分别相比，得长的比为，而宽的比为，很明显，所以做不到 . 4、等腰梯形与等腰梯形相似，求出的长及梯形各角的度数 . 【答案】等腰梯形与等腰梯形相似【巩固练习一】一选择题1. 在比例尺为11 000 000的地图上，相距3 cm的两地，它们的实际距离为（）A.3 kmB.30 kmC.300 kmD.3 000 km2. 下列四条线段中，不能成比例的是（） A.a2，b4，c3，d6 B.a，b，c1，dC.a6，b4，c10，d5 D.a，b2，c，d2 3. 下列命题正确的是( ) A所有的等腰三角形都相似B所有的菱形都相似C所有的矩形都相似D所有的等腰直角三角形都

10、相似4. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是相似图形，如图所示，则小鱼上的点 (a ，b) 对应大鱼上的点( ) A(-2a ，-2b) B (-a ，-2b) C (-2b ，-2a) D(-2a ，-b) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备5. 一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则此三角形其它两边的和是（）A19 B17 C24 D21 6. .AB

11、C与 A1B1C1相似且相似比为，A1B1C1与 A2B2C2相似且相似比为，则 ABC与 A2B2C2的相似比为 ( ) ABC或D二. 填空题7. 两地实际距离为1 500 m ，图上距离为5 cm，这张图的比例尺为_. 8. 若，则_ 9判定两个多边形相似的方法是：当两个多边形的对应边_, 对应角 _时，两个多边形相似 . 10. 已知2=,3xy则_,_,_.xyxxyyxyxy11. 两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是40， 60，则另一个三角形的最大角为 _, 最小角为 _. 12. 如图：梯形ADFE 相似于梯形EFCB,若 AD=3 ，BC=4 ，则_.AEBE三 综

12、合题13. 已知357abc，求23abcac的值 . 14. 如图，依次连接一个正方形各边的中点所形成的四边形与正方形相似吗？若相似，求出相似比；若不相似，说明理由. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备15. 市场上供应的某种纸有如下特征：每次对折后， 所得的长方形均和原长方形相似，则纸张( 矩形) 的长与宽应满足什么条件？【答案与解析】一、选择题1【答案】 B【解析】图上距离实际距离比例尺2【答案】 C

13、【解析】求出最大与最小的两数的积，以及余下两数的积，看所得积是否相等来鉴别它们是否成比例3 【答案】 D 4 【答案】 A 【解析】由图可知，小鱼和大鱼的相似比为1：2，若将小鱼放大1 倍，则小鱼和大鱼关于原点对称 . 5 【答案】 C 【解析】相似三角形对应边的比相等6 【答案】 A 【解析】相似比 AB A1B1=，A1B1A2B2=，计算出AB A2B2. 二、填空题7. 【答案】 .1 ：30 000 【解析】比例尺=图上距离实际距离. 8. 【答案】【解析】由可得，故填. 9. 【答案】成比例；相等. 10. 【答案】5 21,.3 55【解析】提示：设2 .3 ,.xk yk 即可

14、得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备11. 【答案】 80，40. 12. 【答案】32. 【解析】因为梯形ADFE相似于梯形EFCB ，所以ADEFEFBC, 即 EF=2 3, 所以33.22 3AEADBEEF三、解答题13. 【解析】设357abc=k 则=3 , =5 , =7ak bk ck23abcac=3 +10 -213 +7kkkkk=4-514. 【解析】要探究正方形是否与四边形相似，

15、需知道四边形是否是正方形，若是正方形，则两正方形一定相似，若不是正方形，则不相似，因为所有的正方形都是相似的. 设正方形的边长为，由题意可知，同理由，可得同理45， 四边形是正方形正方形与正方形相似，即两正方形的相似比是. 15. 【解析】如图，为了方便分析可先画出草图，根据题意知两个矩形的长边之比应等于短边之比 . 设矩形的长为，宽为，由相似多边形的特征得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备: = 2:1a

16、 b，即纸张的长与宽之比为2:1. 【巩固练习二】一选择题1. 在比例尺为11 000 000的地图上，相距3cm的两地，它们的实际距离为( ) A3 km B30 km C300 km D3 000 km 2. 已知线段a、b、 c、d满足=ab cd把它改写成比例式，其中错误的是（）A.:b cd aB.:a bc d C.:c ba d D.:a cd b3. 已知 ABC的三边长分别为6cm、7.5cm、9cm ， DEF的一边长为4cm，当 DEF的另两边的长是下列哪一组时，这两个三角形相似( ) A2cm ，3cm B4cm ，5cm C 5cm，6cm D6cm ，7cm 4.

17、ABC 与 A1B1C1相似且相似比为， A1B1C1与 A2B2C2相似且相似比为，则 ABC与 A2B2C2的相似比为 ( ) ABC或D5. 下列两个图形：两个等腰三角形；两个直角三角形；两个正方形；两个矩形；两个菱形；两个正五边形.其中一定相似的有（）A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 5组6. 一个钢筋三角架三边长分别是20cm ，50cm，60cm，现要做一个与其相似的三角架，只有长 30cm ，50cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根截下两段（允许有余料）做为其他两边，则不同的截法有（）A. 一种 B.两种 C.三种 D.四种二. 填空题7. 小明有一张的地图，

18、他想绘制一幅较小的地图，若新地图宽为30cm，则新地图长为 _cm. 8. ABC的三条边长分别为、2、，ABC的两边长分别为1 和，且ABC与ABC相似，那么 ABC的第三边长为_ 9 如图：梯形ADFE 相似于梯形EFCB,若 AD=3 ，BC=4 ，则_.AEBE精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备10. 已知若-3=,=_;4x yxyy则若5 -4 =0,xy则x:y=_. 11.如图：AB:BC=

19、_,AB:CD=_,BC:DE=_,AC:CD=_,CD:DE=_. 12. 用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若四边形的边长被放大为原来的10 倍，下列结论放大后的B是原来 B的 10 倍；两个四边形的对应边相等；两个四边形的对应角相等，则正确的有 . 三综合题13. 如果abcdkbcdacdabdabc，一次函数ykxm经过点（-1,2 ） ，求此一次函数解析式. 14. 如图，在矩形ABCD 中，AB=2AD ，线段 EF=10 ，在 EF上取一点M ，分别以 EM 、MF为一边作矩形 EMNH 、MFGN ，使矩形 MFGN 与矩形 ABCD 相似 . 令 MN=x ，当 x 为何

20、值时，矩形EMNH 的面积 S有最大值？最大值是多少？15. 从一个矩形中剪去一个尽可能大的正方形，如图所示，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长与宽的比. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备【答案与解析】一、选择题1. 【答案】 B 【解析】图上距离实际距离=1：1 000 000. 2. 【答案】 B 3 【答案】 C 【解析】设 DEF的另两边的长分别为xcm，ycm，因为 ABC与 DEF相似，

21、所以有下列几种情况：当时，解得；当时，解得；当时，解得；所以选C. 4 【答案】 A 【解析】相似比 AB A1B1=，A1B1A2B2=，计算出AB A2B2. 5 【答案】 A 【解析】只有两个正方形和正五边形相似. 6 【答案】 B 二、填空题7. 【答案】 40. 【解析】提示：两地图形状相同，是相似形，所以它们对应边的比相等8. 【答案】【解析】 提示：ABC已知两边之比为1：，在 ABC中找出两边、，它们长度之比也为1，根据相似三角形对应边的对应关系，求出相似比. 9. 【答案】32. 【解析】因为梯形ADFE相似于梯形 EFCB ，所以ADEFEFBC, 即 EF=2 3, 精品

22、资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备所以33.22 3AEADBEEF10. 【答案】7 4;.4 511. 【答案】 1:3;1:2;1:2;2:1;1:3. 12. 【答案】三、解答题13. 【解析】abcdkbcdacdabdabc+1=+1=+1=+1= +1+ + + + +cabcdkb c da c da b da b+ + + + + + + + += +1+ + + + +ca b c da

23、b c da b c da b c dkb c da c da b da b则分两种情况： （1）+ + + =0a b c d，即+1=0k,=-1k (2)+ + = + + = + + = + +b c d a c d a b d a b c, 即= = = ,a b c d1=3k则所以当=-1k，过点（ -1,2 ）时，=- +1yx当1=3k，过点（ -1,2 ）时，17=+33yx. 14. 【解析】矩形MFGN 与矩形 ABCD 相似当时， S有最大值，为. 15. 【解析】根据矩形相似的性质找出相应的解析式求解. 设原矩形的长为x，宽为 y，则剩下矩形的长为y，宽为 x-y

24、由题意，得令则，. 又，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备原矩形的长与宽之比为. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -