2022年二次函数及几何应用含答案 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载3. （2011 江苏连云港， 25，10 分）如图，抛物线212yxxa与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，其顶点在直线y=2x 上. (1) 求 a 的值；(2)求 A,B 两点的坐标 ; (3)以 AC,CB 为一组邻边作ABCD,则点 D 关于 x 轴的对称点D是否在该抛物线上?请说明理由 . 考点 ：二次函数综合题。分析 ： （1） 根据二次函数的顶点坐标的求法得出顶点坐标，再代入一次函数即可求出a 的值；（2）根据二次函数解析式求出与x 轴的交点坐标即是A，B 两点的坐标；（3）根据平行四边形的性质得出D 点的坐标，即可得出D 点的坐标，即可得出答

2、案解答 ：解： （1）抛物线y=x2 x+a 其顶点在直线y=2x 上抛物线 y=x2x+a=（x22x）+a=（x1）2+a，顶点坐标为： （1，+a） ， y=2x， +a=2， a=；（2）二次函数解析式为：y=x2x，抛物线y=x2x与 x 轴交于点A，B， 0=x2x，整理得：x22x3=0，解得： x=1 或 3， A（1，0） ，B（3，0） ；（3）作出平行四边形ACBD ，作 DE AB ，二次函数解析式为：y=x2x，图象与y 轴交点坐标为： （0，） ， CO=， DE=， CAO= DBE，DEB= AOC ， AOC BDE ，AO=1 ， BE=1， D 点的坐标为

3、： （2， ） ，点 D 关于 x 轴的对称点D 坐标为：（2，），代入解析式y=x2x，左边 =，右边 = 42=， D 点在函数图象上（2011 江苏苏州， 29，10 分）巳知二次函数y=a（x2-6x+8 ） （a0）的图象与x 轴分别交于点 A、B，与 y 轴交于点 C点 D 是抛物线的顶点（1）如图连接AC ，将 OAC 沿直线 AC 翻折，若点O 的对应点0恰好落在该抛物线的 对称轴上，求实数a 的值；（2）如图，在正方形EFGH 中，点 E、F 的坐标分别是（4，4） 、 （4，3） ，边 HG 位于边EF 的 右侧 小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“ 若点 P 是边

4、EH 或边 HG 上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载这四条线段不能构成平行四边形）“ 若点 P 是边 EF 或边 FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；（3）如图，当点P 在抛物线对称轴上时，设点P 的纵坐标l 是大于 3 的常数，试问：是否存在一个正数阿a，使得四条线段PA、PB、PC、

5、 PD 与一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）本题需先求出抛物线与x 轴交点坐标和对称轴，再根据OAC=60 得出 AO，从而求出 a（2）本题需先分两种情况进行讨论，当P 是 EF 上任意一点时，可得PC PB，从而得出PBPA ，PB PC ，PBPD ，即可求出线段PA、PB、PC、PD 不能构成平行四边形（3）本题需先得出PA=PB，再由 PC=PD，列出关于t 与 a 的方程，从而得出a的值，即可求出答案解答：解： （1）令 y0，由2(68)0a xx解得122,4xx；令 x0，解得 y8a点 A、B、C 的

6、坐标分别是 (2，0)、(4，0)、(0，8a)，该抛物线对称轴为直线x3OA 2如图，时抛物线与x 轴交点为M，则 AM 1由题意得：2O AOA2O AAM， O AM 60 32 3OCAO，即82 3a 34a（2）若点 P 是边 EF 或边 FG 上的任意一点，结论同样成立（）如图，设点P 是边 EF 上的任意一点(不与点 E 重合 )，连接 PM点 E(4，4)、F(4，3)与点 B(4，0)在一直线上，点C 在 y 轴上，PBPB又 PDPMPB ，PAPMPB ，PB PA，PB PC，PB PDB Ay O (图 ) x DC E F G H M精品资料 - - - 欢迎下载

7、 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载此时线段PA、PB、PC、PD 不能构成平行四边形（）设 P 是边 FG 上的任意一点 (不与点 G 重合 )，点 F 的坐标是 (4，3)，点 G 的坐标是 (5，3)FB3，10GB， 3PBPB（3）存在一个正数a，使得线段PA、PB、PC 能构成一个平行四边形如图，点A、B 时抛物线与x 轴交点，点P 在抛物线对称轴上，PAPB当 PCPD 时，线段 PA、PB、PC 能构成一个平行四边形点 C 的坐

8、标是 (0，8a)，点 D 的坐标是 (3， a)点 P的坐标是 (3，t)，PC232(t8a) 2，PD2 (ta) 2整理得 7a22ta10， 4t228t 是一个常数且t3， 4t2280 方程 7a22ta10 有两个不相等的实数根2224287147tttta显然2707tta，满足题意当 t 是一个大于3 的常数 ,存在一个正数277tta，使得线段PA、PB、PC 能构成一个平行四边形点评：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键5. （2011?江苏宿迁， 27，12）如图，在边长为2

9、 的正方形ABCD 中， P 为 AB 的中点， Q为边 CD 上一动点，设DQ=t （0t 2） ，线段 PQ 的垂直平分线分别交边AD 、BC 于点 M 、N，过 Q 作 QEAB 于点 E，过 M 作 MF BC 于点 F（1）当 t 1 时，求证： PEQ NFM ；（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN 的面积为S，求出 S与自变量t 之间的函数关系式，并求S 的最小值考点 ：正方形的性质； 二次函数的最值； 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。专题 ：代数几何综合题。分析： （1） 由四边形ABCD 是正方形得到A=B=D=90 ， AD=AB ， 又由

10、 EQP= FMN ，B Ay O (图 ) x DC E F G H P 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载而证得；（2）由点 P 是边 AB 的中点，AB=2 ，DQ=AE=t ，又由勾股定理求得PQ，由 PEQ NFM得到 PQ 的值，又 PQMN 求得面积 S，由 t 范围得到S的最小值解答： 证明： （1）四边形ABCD 是正方形， A=B=D=90 ，AD=AB ，QEAB ，MFBC， AEQ= M

11、FB=90 ，四边形 ABFM 、AEQD 都是矩形，MF=AB ，QE=AD ，MF QE，又 PQMN ， EQP=FMN ，又 QEP=MFN=90 ， PEQNFM ；（2）点 P 是边 AB 的中点， AB2，DQAEtPA1，PE1t，QE2 由勾股定理，得PQ22PEQE4)1(2t PEQ NFM MNPQ4)1(2t又 PQMNSMNPQ214)1(212t21t2t250t2 当 t1 时， S最小值2综上： S21t2t25，S的最小值为2点评： 本题考查了正方形的性质，（1）由四边形ABCD 是正方形得到A= B=D=90 ，AD=AB ，又由 EQP=FMN ，而证得

12、；（2）由勾股定理求得PQ，由 PEQ NFM 得到PQ 的值，又 PQMN 求得面积S，由 t 范围得到答案6.（2011?江苏徐州， 28，12）如图，已知二次函数y=x2+bx+c 的图象与x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 P，顶点为 C（1， 2） （1）求此函数的关系式；（2）作点 C 关于 x 轴的对称点D，顺次连接A，C，B，D若在抛物线上存在点E，使直线 PE 将四边形 ABCD 分成面积相等的两个四边形，求点E 的坐标；（3）在（ 2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得 PEF 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F 的坐标及 PEF 的面积；若不存

13、在，请说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载考点 ：二次函数综合题。专题 ：代数几何综合题。分析：（1）将顶点坐标C（1， 2）代入 y=x2+bx+c 即可求得此二次函数的关系式；（2）先求出直线PM 的解析式，然后与二次函数联立即可解得点E 的坐标；（3）根据三角形相似的性质先求出GP=GF，求出 F 点的坐标，进而求得PEF 的面积解答： 解（1） y=x2+bx+c 的顶点为（ 1，2） y=（x1）

14、22，y=x22x1；（2）连结 CD 交 AB 于点 M，根据轴对称性可知MA=MB,MC=MD,ABCD, 所以四边形ACBD 是菱形，过点 M 的任意一条直线都把菱形ACBD 的面积平分，所以直线 PM 平分菱形 ACBD 的面积因为 y=2x2x1与 y 相交于点P（0, 1）, 顶点为点C（ 1， 2）所以点 M 的坐标为（ 1，0）设直线 PM 的解析式为y=kx+b 则1=b0=kb，解之得k=1b=1所以直线 PM 的解析式为y=x1 解方程组2y=x1.y=x2x1，得x=0y=1或x=3y=2所以点 E 的坐标为（ 3，2）. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -

15、 - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（3）过点 P 作直线 PQPM,则直线 PQ 的表达式为y=x1解方程组2y=x1.y=x2x1，得x=0y=1或x=1y=2所以直线 PQ 与抛物线的交点F 是抛物线的顶点C（1， 2）. 所以 PE=22(30)(21)3 3,PC=22(1 0)( 2 1)2所以 PEF 的面积为133 32=622点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法及三角形的相似等知识点， 是各地中考的热点和难点

16、，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题7. （2011 南昌， 25，10 分）如图所示，抛物线m：y=ax2+b（a0，b 0）与 x 轴于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C将抛物线m 绕点 B 旋转 180 ，得到新的抛物线 n，它的顶点为C1，与 x 轴的另一个交点为A1（1）当 a=1，b=1 时，求抛物线n 的解析式；（2）四边形 AC1A1C 是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；（3）若四边形AC1A1C 为矩形，请求出a，b 应满足的关系式考点 ：二次函数综合题专题 ：代数几何综合题分析： （ 1）根据 a=1，b=1 得

17、出抛物线m 的解析式，再利用C 与 C1关于点 B 中心对称，得出二次函数的顶点坐标，即可得出答案；（2）利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证明；（3）利用矩形性质得出要使平行四边形AC1A1C 是矩形，必须满足AB=BC，即可求出解答： 解： （1）当 a=1，b=1 时，抛物线m 的解析式为： y= x2+1令 x=0，得： y=1 C（0，1） 令 y=0，得： x= 1 A（ 1，0） ，B（1，0） ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 26 页 - - - -

18、 - - - - - - 学习好资料欢迎下载C 与 C1关于点 B 中心对称，抛物线n 的解析式为： y=（x2）21=x24x+3；（2）四边形 AC1A1C 是平行四边形理由： C 与 C1、A 与 A1都关于点B 中心对称， AB=BA1，BC=BC1，四边形AC1A1C是平行四边形（3）令 x=0，得：y=bC （0，b） 令 y=0，得：ax2+b=0， aby，0，abA，0，abB，abAB2，abbOBOCBC222. 要使平行四边形AC1A1C是矩形， 必须满足AB=BC，abbab22，abbab24，ab 3 a、b 应满足关系式ab3点评：此题主要考查了平行四边形的性质

19、以及矩形的性质和点的坐标关于一点中心对称的性质，灵活应用平行四边形的性质是解决问题的关键18. （2011 新疆建设兵团，24，10 分）如图，在等腰梯形ABCD 中， AD4，BC9， B45 动点 P 从点 B 出发沿 BC 向点 C 运动，动点Q 同时以相同速度从点C 出发沿CD 向点 D 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动（1）求 AB 的长；（2）设 BPx，问当 x 为何值时 PCQ 的面积最大，并求出最大值；（3）探究：在AB 边上是否存在点M，使得四边形PCQM 为菱形？请说明理由考点： 等腰梯形的性质；二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形分析：（1）作

20、 AEBC，根据题意可知BE 的长度，然后，根据B 的正弦值，即可推出AB 的长度；（2）作 QFBC，根据题意推出BPCQ，推出 CP 关于 x 的表达式，然后，根据C 的正弦值推出高QF 关于 x 的表达式，即可推出面积关于x 的二次函数式，最后根据二次函数的最值即可推出x 的值；（3）首先假设存在M 点，然后根据菱形的性质推出，B APB BAP45 ，这是不符合三角形内角和定理的，所以假设是错误的，故AB 上不存在M 点精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 26 页 - -

21、- - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解答： 解： （1）作 AEBC，等腰梯形ABCD 中，AD4，BC9，BE（ BCAD） 22.5， B45 ，AB5 22，（ 2）作 QFBC，等腰梯形ABCD， B C45 ，点 P 和点 Q 的运动速度、运动时间相同，BPx，BPCQx，BC9，CP9x，QF22x，设 PQC 的面积为 y，y（9x） ?22x12，即 y24x2924x，当 xb2a92时，y 的值最大，当 x92时，PQC 的面积最大，（3）假设 AB 上存在点 M，使得四边形PCQM 为菱形，等腰梯形ABCD， B C 45 ，CQCPBPMP， B C MP

22、B45 ， BMP45 ， B APBBMP45 ，不符合三角形内角和定理，假设不存在，边 AB 上不存在点M，使得四边形PCQM 为菱形点评： 本题主要考查等腰梯形的性质、解直角三角形、二次函数的最值、内角和定理、菱形的性质，关键在于根据图形画出相应的辅助线，熟练掌握相关的性质定理即可精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载21. （ 2011 重庆市， 26，12 分）如图 , 在平面直角坐标系中，ABC 是直角三

23、角形, ACB=90,AC=BC,OA=1 ，OC=4 ，抛物线2yxbxc经过 A，B两点，抛物线的顶点为D（1）求b,c的值；（2）点 E是直角三角形ABC斜边 AB上一动点 ( 点 A、B除外 ) ，过点 E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段 EF的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（ 2）的条件下：求以点、为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点P ，使 EFP是以 EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由. 考点：二次函数综合题分析：（1）由ACB=90 ， AC=BC ，OA=1 ，OC=4 ，可得 A（-1，0）B（4， 5） ，然后利用待定

24、系数法即可求得b，c 的值；（2）由直线AB经过点 A（-1 ，0） ， B（4，5） ，即可求得直线AB的解析式，又由二次函数y=x2-2x-3 ，设点 E （t ，t+1 ） ，则可得点F 的坐标， 则可求得EF的最大值， 求得点 E的坐标；（3）顺次连接点E、B、F、D得四边形 EBFD ，可求出点F的坐标（，） ，点 D的坐标为（ 1，-4 ）由 S四边形 EBFD=S BEF+SDEF即可求得；过点 E作 aEF交抛物线于点P，设点 P（m ，m2-2m-3 ） ，可得 m2-2m-2= ，即可求得点P的坐标，又由过点F 作 bEF交抛物线于P3，设 P3（n， n2-2n-3 ）

25、，可得 n2-2n-2=- ，求得点 P的坐标，则可得使EFP是以 EF为直角边的直角三角形的P的坐标答案： 26. 解： （1）由已知得： A（-1 ，0） B （4，5）-1分二次函数2yxbxc的图像经过点A（-1 ，0）B(4,5) 101645bcbcAOCBDxy26题备用图AOCBDxy26题图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解得： b=-2 c=-3 （2 如题图：直线AB经过点 A（-1 ，0

26、） B(4,5) 直线 AB的 解析式为： y=x+1 二次函数223yxx设点 E(t ， t+1),则 F（t，223tt）EF= 2(1)(23)ttt=2325()24t当32t时，EF的最大值 =254点 E的坐标为（32，52）（3）如题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形可求出点 F的坐标（32，154）, 点 D的坐标为（ 1，-4）SEBFD四边行= SBEF+ SDEF =1253125 3(4)(1)242242 =758如题备用图：) 过点 E作 aEF交抛物线于点P,设点 P(m,223mm) 则有：25232mm解得:12262m,22262m1226 5(,)22

27、p, 2226 5(,)22p）过点 F 作bEF交抛物线于3P，设3P（n，223nn）则有：215423nn解得：112n，232n（与点F 重合，舍去）3P11524（ ，）综上所述：所有点P的坐标：1226 5(,)22p，2226 5(,)22p3P（11524（，）. 能使EFP组成以 EF为直角边的直角三角形点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，四边形与三角形面积问题以及直角三角形的性质等知识此题综合性很强，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用26. （2011?广东汕头）如图，抛物线y=x2+x+1 与 y 轴交于 A 点，过点A 的直线与抛物精品资料 - -

28、- 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载线交于另一点B，过点 B 作 BCx 轴，垂足为点C（3，0）（1）求直线 AB 的函数关系式；（2）动点 P 在线段 OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作 PNx轴，交直线AB 于点 M，交抛物线于点N设点 P 移动的时间为t 秒， MN 的长度为s个单位，求 s 与 t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（ 2）的条件下（不考虑点P与点 O，点 C 重合的

29、情况） ，连接 CM ，BN，当 t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由考点 ：二次函数综合题。分析：（1）由题意易求得A 与 B 的坐标，然后有待定系数法，即可求得直线AB 的函数关系式；（2）由 s=MN=NP MP，即可得s=t2+t+1（t+1） ，化简即可求得答案；（3）若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN=BC ，即可得方程：t2+t=，解方程即可求得 t 的值，再分别分析t 取何值时四边形BCMN 为菱形即可解答： 解： （1）当 x=0 时，y=1，A（0，1） ，当 x=3 时，y= 32+ 3+1=2.5

30、，B（3，2.5） ，设直线 AB 的解析式为y=kx+b ，则： ，解得：，直线 AB 的解析式为y=x+1 ；（2）根据题意得：s=MN=NP MP=t2+t+1（t+1） =t2+t（0 t 3） ；（3）若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN=BC ，此时，有t2+t= ，解得 t1=1，t2=2，当 t=1 或 2 时，四边形BCMN 为平行四边形当 t=1 时， MP=，NP=4，故 MN=NP MP=，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 26 页 - - - -

31、- - - - - - 学习好资料欢迎下载又在 RtMPC 中， MC= ，故 MN=MC ，此时四边形BCMN 为菱形，当 t=2 时， MP=2，NP=，故 MN=NP MP=，又在 RtMPC 中， MC= ，故 MN MC ，此时四边形BCMN 不是菱形点评： 此题考查了待定系数法求函数的解析式，线段的长与函数关系式之间的关系，平行四边形以及菱形的性质与判定等知识此题综合性很强，难度较大， 解题的关键是数形结合思想的应用29. （2011?柳州）如图，一次函数y=4x4 的图象与x 轴、 y 轴分别交于A、C 两点，抛物线 y=x2+bx+c 的图象经过A、C 两点，且与x 轴交于点B

32、（1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC 的面积；（3）作直线 MN 平行于 x 轴，分别交线段AC、BC 于点 M、N问在 x 轴上是否存在点P，使得 PMN 是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P 点的坐标； 如果不存在，请说明理由考点 ：二次函数综合题。专题 ：综合题。分析：（1）求出 A 和 C 点的坐标，并将其代入抛物线的解析式，即可求出；（2）S四边形ABDC=SEDBSECA，通过求 D、B 和 E 点的坐标，根据三角形的面积公式，求出 SEDB和 SECA（3）分三种情况进行讨论：PMN=90 ， PNM=90 ， MPN=90 解答：

33、解： （1）一次函数y=4x4 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于A、C 两点，A （1，0）C （0，4） ，把 A （1，0）C （0，4）代入 y=x2+bx+c 得，解得，y=x2x4；（2） y=x2x4=（ x1）2，顶点为 D（1，），设直线 DC 交 x 轴于点 E，由 D（1，） C （0，4） ，易求直线 CD 的解析式为y=x4，易求 E（3，0） ，B（3，0） ，SEDB= 6 =16，SECA= 2 4=4，S四边形ABDC=SEDBSECA=12；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - -

34、 - - - -第 12 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（3）设 M、N 的纵坐标为a，由 B 和 C 点的坐标可知BC 所在直线的解析式为：y=，则 M（， a） ，N（，a） ，当 PMN=90 ，MN=a+4 ，PM=a，因为是等腰直角三角形，则a=a+4 则 a=2 则 P的横坐标为，即 P 点坐标为（，0） ；当 PNM=90 ，PN=MN ，同上， a=2，则 P 的横坐标为 =，即 P 点坐标为（， 0） ；当 MPN=90 ，作 MN 的中点 Q，连接 PQ，则 PQ=a，又 PM=PN， PQMN ，则 MN=2PQ ，即： a+

35、4=2a，解得： a=，点 P 的横坐标为： =，即 P 点的坐标为（，0） 点评： 本题考查了二次函数的综合应用，难度较大， 这就需要二次函数各部分知识的熟练掌握，以便灵活运用34. （2011?西宁）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为（ 1，0） 如图所示， B 点在抛物线y=x2+x2 图象上，过点B作 BDx 轴，垂足为D，且 B 点横坐标为 3（1）求证： BDC COA ；（2）求 BC 所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在

36、，请说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载考点 ：二次函数综合题。分析：（1）首先根据题意推出BCD= OAC ，然后BC=AC ，根据全等三角形的判定定理“AAS ” 定理，即可判定BDC COA ；（2）首先（ 1）所得的结论，即可推出OC=BD=1 ，即可得 B 点的纵坐标，设出直线的函数关系式，把B，C 两点的坐标代入，求出k、b，即可推出结论；（3）首先根据二次函数表达式，求出抛物线的对称轴，然后

37、分情况进行分析以AC 为直角边， A 点为直角顶点，根据题意推出P1点为 BC 与抛物线的对称轴的交点，根据直线BC的解析式和抛物线的解析式，即可推出P1点的坐标，以AC 为直角边， C 点为直角顶点，做 AP2BC，设与抛物线的对称轴交于P2点，确定点P2的位置，由OA=CD ，即可推出A点的坐标，根据AP2BC，即可推出直线AP2的的解析式，结合抛物线对称轴的解析式，即可推出 P2的坐标解答： 解： （1）证明： ACB BC，BD CD， BCD= ACO=90 ， ACO+ OAC=90 ， BCD= OAC， ABC 为等腰直角三角形，BC=AC ，在 BDC 和COA 中 BDC

38、COA （AAS ） ，（2） BDC COA ，BD=CO ，C 点的坐标为（1，0） ，BD=OC=1 ，B 点的纵坐标为1，B 点的横坐标为3，B 点的坐标为（3，1） ，设 BC 所在直线的函数关系式为y=kx+b ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载，解方程组得，直线 BC 所在直线的解析式为：y=x，（3）存在，抛物线的解析式为：y=x2+x2，y=x2+x2 =（x+）2，二次函数的对称轴为x=，

39、若以 AC 为直角边， C 点为直角顶点，做CP1AC ，BCAC ，P1点为直线 BC 与对称轴直线x=的交点，直线 BC 所在直线的解析式为：y=x，解得，P1点的坐标为（，） ；若以 AC 为直角边， A 点为直角顶点，对称轴上有一点P2，使 AP2AC，过点 A 作 AP2BC，交对称轴直线x=于点 P2，OB=3 ，OC=1，OA=CD=2 ，A 点的坐标为（ 0，2） ，直线 AP2的解析式为y=x+2，解得：，P2点的坐标为（，） ，P 点的坐标为P1（，）、P2（，）点评： 本题主要考查全等三角形的判定与性质，待定系数法求出抛物线的解析式，根据解析式求点的坐标，关键在于（1）推

40、出 BCD= OAC ， （2）根据（ 1）的结论，推出B 点的坐标， （3）注意分情况讨论，若以AC 为直角边， C 点为直角顶点，推出P1点为直线BC与对称轴直线x=的交点，若以AC 为直角边， A 点为直角顶点，由A 点的坐标，求出直线 AP2的解析式37.（2011 四川眉山， 26，11 分）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1） ，B（ 4，4） ，将点 B 绕点 A 顺时针方向90 得到点 C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B（1）求抛物线的解析式和点C 的坐标；（2） 抛物线上一动点P， 设点 P到 x 轴的距离为d1， 点 P到点 A 的距离为 d2， 试说明 d2=d1+1

41、；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时， PAC 的周长有最小值，并求出PAC的周长的最小值考点 ：二次函数综合题。专题 ：综合题。分析： （1） 设抛物线的解析式：y=ax2，把 B （ 4，4）代入即可得到a 的值；过点 B 作 BEy轴于 E， 过点 C 作 CDy 轴于 D，易证 RtBAE RtACD ，得到 AD=BE=4 ，CD=AE=OEOA=4 1=

42、3，即可得到C 点坐标（ 3，5） ；（2）设 P点坐标为（ a，b） ，过 P 作 PFy 轴于 F，PHx 轴于 H，则有 d1=a2，又 AF=OFOA=PH OA=d11=a21，PF=a，在 RtPAF 中，利用勾股定理得到PA=d2=a2+1，即有结论 d2=d1+1；（3）PAC 的周长 =PC+PA+5，由（ 2）得到 PAC 的周长 =PC+PH+6，要使 PC+PH 最小，则 C、 P、 H 三点共线，P 点坐标为（3， ） ， 此时 PC+PH=5， 得到 PAC 的周长的最小值=5+6=11解答： 解： （1）设抛物线的解析式：y=ax2，拋物线经过点B（ 4，4） ，

43、4=a?42，解得 a=，所以抛物线的解析式为：y=x2；过 点B作BEy轴 于E ， 过 点C作CDy轴 于D ，如 图，点 B 绕点 A 顺时针方向90 得到点 C，RtBAERtACD ，AD=BE=4 ， CD=AE=OE OA=4 1=3，OD=AD+OA=5 ，C 点坐标为（ 3，5） ；（2）设 P点坐标为（ a，b） ，过 P 作 PFy 轴于 F，PHx 轴于 H，如图，点 P 在抛物线 y=x2上，b=a2，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 26 页 - -

44、 - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载d1=a2，AF=OF OA=PH OA=d11=a21，PF=a，在 RtPAF 中， PA=d2=22222)241(aaPFAF=a2+1，d2=d1+1；（3）由（ 1）得 AC=5 ， PAC 的周长 =PC+PA+5 =PC+PH+6 ，要使 PC+PH 最小，则 C、P、H 三点共线，此时 P点的横坐标为3，把 x=3 代入 y=x2，得到 y=，即 P 点坐标为（ 3， ） ，此时 PC+PH=5， PAC 的周长的最小值=5+6=1139 （2011 成都， 28，12 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中， ABC 的 A

45、、B 两个顶点在x 轴上，顶点 C 在 y 轴的负半轴上 已知 |OA|：|OB|1：5，|OB| |OC|， ABC 的面积 SABC15，抛物线 yax2bxc（a0 ）经过 A、B、C 三点（1）求此抛物线的函数表达式；（2）设 E 是 y 轴右侧抛物线上异于点B 的一个动点，过点E 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 F， 过点 F 作 FG 垂直于 x轴于点 G， 再过点 E作 EH 垂直于 x轴于点 H， 得到矩形 EFGH 则在点 E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于B、C 的点 M，使 MBC 中 BC 边上的高为？若存

46、在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由考点 ：二次函数综合题。专题 ：综合题。分析：（1） 由已知设OAm，则 OBOC5m， AB6m，由 SABCAB OC15，可求m 的值，确定A、B、C 三点坐标，由A、B 两点坐标设抛物线交点式，将C 点坐标代入即可；（2）设 E 点坐标为（ m，m24m5） ，抛物线对称轴为x2，根据2（m2） EH，列方程求解；（3）存在，因为OBOC5，OBC 为等腰直角三角形，直线BC 解析式为 yx5，则直线 yx9 或直线 yx19 与 BC 的距离为7，将直线解析式与抛物线解析式联立，求 M精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -

47、- - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载点的坐标即可解答： 解： （1） |OA|：|OB|1：5，|OB|OC|，设 OAm，则 OBOC5m，AB6m，由 SABCAB OC15，得 6m 5m15，解得 m1（舍去负值），A（ 1，0） ，B（5，0） ，C（0， 5） ，设抛物线解析式为ya（x1） （x5） ，将 C 点坐标代入，得a1，抛物线解析式为y（ x1） （x5） ，即 yx24x5；（2）设 E 点坐标为（ m，m24m5） ，抛物线对称轴为x2，由

48、 2（m2） EH，得 2（m2）（ m24m5）或 2（m2） m24m5，解得 m1 或 m3 ，m2， m1或 m3，边长 EF2（m2）22 或 22；（3）存在由（ 1）可知 OBOC5， OBC 为等腰直角三角形，直线BC 解析式为 yx5，依题意，直线yx9 或直线 yx19 与 BC 的距离为72，联立5492xxyxy，54192xxyxy，解得72yx或167yx，M 点的坐标为（2，7） ， （7，16） 49. 2011 福建龙岩， 24，13 分）如图，已知抛物线249yxbxc 与 x 轴相交于A、B 两点，其对称轴为直线x=2，且与 x 轴交于点 D，AO=1（1

49、）填空： b= c= ，点 B 的坐标为（，） ：（2）若线段 BC 的垂直平分线EF 交 BC 于点 E，交 x 轴于点 F求 FC 的长；（3）探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 P 与 x 轴、直线BC 都相切？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 26 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载考点 ：二次函数综合题；解二元一次方程组；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；线段垂直

50、平分线的性质；勾股定理. 分析 ： （1）根据对称轴和OA=1 求出 A、B 的坐标，代入解析式求出b、 c 即可；（2）求出 C（2，4）求得 E 的坐标为（ 3.5，2）和直线 BC 的表达式为43033yx，设直线 EF 的表达式为y=kx+b，根据 EF 为 BC 的中垂线求出34k和58b推出直线EF 的表达式为3548yx，令 y=0，得56x即可求出答案；（3）作 OBC 的平分线交DC 于点 P，设 P（2，a） ，则 P 到 x 轴的距离等于P 到直线 BC的距离（用到点到直线的距离公式）求出a 即可解答 ： （1）解：抛物线249yxbxc 与 x 轴相交于A、B 两点，其