2022年二次函数背景下的相似三角形 .pdf

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1、精品办公文档二次函数背景下的相似三角形1.会根据题目条件求解相关点的坐标和线段的长度；2.掌握用待定系数法求解二次函数的解析式；3.能根据题目中的条件，画出与题目相关的图形，继而帮助解题；4.体会利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法；5.会应用分类讨论的数学思想和动态数学思维解决相关问题。知识结构【备注】：1.此部分知识点梳理，根据第1 个图先提问引导学生回顾学过的二次函数的对称轴，可以再黑板上举例让学生画图；2 再根据第 2 个图引导学生总结出题目中经常出现的一些特殊的二次函数，部分地方让学生独立完成，如果学生有困难，可以举实际例子让学生画图总结得出； 3.和学生一起分析二次函数

2、背景下相似三角形的基本考点，为后面的例题讲解做好铺垫。建议时间5 分钟左右。一.二次函数知识点梳理：下图中0a二.特殊的二次函数：下图中0a精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品办公文档三二次函数背景下的相似三角形考点分析：1.先求函数的解析式，然后在函数的图像上探求符合几何条件的点；2.简单一点的题目，就是用待定系数法直接求函数的解析式；3.复杂一点的题目，先根据图形给定的数量关系，运用数形结合的思想，求得点的坐标，继而用待定系

3、数法求函数解析式；4.还有一种常见题型，解析式中由待定字母，这个字母可以根据题意列出方程组求解；5.当相似时：一般说来，这类题目都由图像上的点转化到三角形中的边长的问题，再由边的数量关系转化到三角形的相似问题；6.考查利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法。【备注】：1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；2. 在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、 不变的量、 隐藏的量等等） ，使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；3. 可以根据各题的“教法指导”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生

4、计算， 加强师生之间的互动性， 让学生参与到例题的分析中来；4. 例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；5. 引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；6. 部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；7. 每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题 7 分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品办公文档例 1.

5、已 知 ： 如 图 ， 直 线15yx与x轴 、y轴 分 别 相 交 于 点A和 点B 抛 物 线213yxbxc经过A、B两点。（）（1）求这个抛物线的解析式；（2）若这抛物线的顶点为点D，与x轴的另一个交点为点C对称轴与x轴交于点H，若点E是线段AD的中点。CE与DH交于点G，点P在y轴的正半轴上，POH是否能够与CGH相似？如果能，请求出点P的坐标；如果不能，请说明理由。【参考教法】 ：一我们来一起分析一下题目吧！有没有注意到一些特殊的条件，我们来分一下！1. 点G有什么特点？提示：H为AC中点、E为AD中点，则G为ACD重心；2.ABCDEH、 、 、的坐标可以求解吗？3. 点P在运动

6、时，位置有什么要求？提示：P在y轴的正半轴上二求解二次函数的解析式，有点简单，你算下。提示：二次函数经过三点，可以根据待定系数法求解函数解析式； （让学生自己计算） ；三.当POH与CGH相似时：1. 两个三角形中是否有恒相等的角？提示：=90GHCPOH；2. 是否需要分类讨论？提示：分2 类讨论；3. 怎么讨论？提示：因为=90GHCPOH，则分两个情况讨论：. 当POHGHC时：:PO GHHO CH，可直接求得点P的坐标；. 当POHCHG时：:PO CHHO GH，可直接求得点P的坐标。4.怎么计算？提示：因为POH与CGH的边长都可以直接计算求解得出，所以相似时可以直接计算。5.在

7、分析的过程中，注意及时画图哦！体会数形结合的思想。四本题求解完了吧！你有什么感想没？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品办公文档【满分解答】 ：解： （1）直线15yx与x轴、y轴的交点15,0A和点0, 15B由已知，得2115150315bcc，可以解得615bc. 抛物线的解析式为1516312xxy. 解： （2）抛物线的解析式可变形为129312xy，所以顶点坐标为（9，12）.设0y，则2191203x，2936x.

8、123,15xx，所以点C的坐标为（ 3，0）. 因为点E是线段AD的中点，点H是线段AC的中点，点G是DAC的重心 . 如图，143GHDH，9HO，6CH. 当POHGHC时，:PO GHHO CH，即: 49 :6PO10,6P. 当POHCHG时，:PO CHHO GH，即:69 :4PO，272PO. 2270,2P. POH能够与CHG相似，相似时点P 的坐标为10,6P或2270,2P.我来试一试 ！练习 1. 已知二次函数2230yaxaxa a. （）（1）求此二次函数图像与x轴交点A、B（A在B的左边）的坐标；（2）若此二次函数图像与y轴交于点C，且AOCCOB（字母依次对

9、应）. 求a的值；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品办公文档求此时函数图像上关于原点中心对称的两个点的坐标。【解法点拨】 ：1. 二次函数图像与x轴交点，令0y可求解得出； （让学生自己计算）2. 当AOCCOB时，则OAOCOCOB，可得a的值；3.求解出二次函数的解析式后，将两个对称点设为232 3( ,3)33ttt和232 3(,()()3)33ttt，则由对称性列方程求解；4.注意及时画图，体会数形结合的思想。【满分

10、解答】 ： （1）令2230axaxa解得11x，23x所以A（1，0） ，B（3,0 ）. （2）易知0, 3Ca，由AOCCOB，则OAOCOCOB，即1333aa，解得33a（舍负） . 此时函数解析式为232 3333yxx，设函数图像上两点232 3( ,3)33ttt，232 3(,()()3)33ttt，由两点关于原点中心对称，得：232 3333tt=232 3()()3)33tt解得3t，这两个点的坐标为3,2与3, 2. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10

11、 页 - - - - - - - - - - 精品办公文档选讲选练题例 2.已知：如图六，抛物线的顶点为点D，与 y 轴相交于点A，直线 yax3 与 y 轴也交于点 A，矩形 ABCO 的顶点 B 在此抛物线上，矩形面积为12。（1）求该抛物线的对称轴；（2）若线段 DO 与 AB 交于点 E，以点 D、A、E 为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A 为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D 坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由。 （）【参考教法】 ：一和之前一样，我们还是来寻找一下题目中的已知两吧！提示：二次函数与一次函数相较于y轴上的同一点A，并且A （0，3），则3OA；矩形

12、 ABCO 的面积为 12，可得到B （4，3）；二求解二次函数的对称轴，你会怎么求解？提示：对称轴可以根据A （0，3）、B （4，3）的对称性得到；三当三角形DAE 和 DAO 相似时：1.两个三角形中是否有恒相等的角？提示：ADO为公共角；3. 是否需要分类讨论？提示：分2 类讨论；3. 怎么讨论？提示：因为ADO为公共角，则分两个情况讨论：. 当DAEDAO时：与已知条件矛盾，此情况不成立；. 当DAEDOA时：D 作 DMy 轴，垂足为点M， DNx 轴，垂足为点N；则可得 DAM DON，所以DMDNAMON，从而可以求出D点坐标。4.每一个情况你会求解吗？试一试！提示：让学生自己

13、计算；5.注意：. 二次函数中求解点的坐标时，通常情况下需过点作坐标轴的垂线；. 注意及时画图，体会数形结合的思想。【满分解答】 ： （1）直线 yax3 与 y 轴交于点 A，点 A 坐标为（ 0，3）AO3，矩形 ABCO 的面积为 12， AB4 点 B 的坐标为（ 4，3）抛物线的对称轴为直线x2 （2）设 DAE DAO，则 DAE DAO ，与已知条件矛盾，此情况不成立过点 D 作 DMy 轴，垂足为点M，DNx 轴，垂足为点N设点 D 坐标为（ 2，y） ，则 ONDM 2，DNOMy，AMy3 BCO y Ax D （图六）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -

14、 - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品办公文档设 DAE DOA，则 DAE DOA， DAM DON DMA DNO90， DAM DON DMDNAMON，232yy，2340yy11y（舍），24y点 D 坐标为（ 2，4）设抛物线解析式为2()ya xmk顶点坐标为（2，4） ，m 2，k4，则解析式为2(2)4ya x将（ 0，3）代入，得a41，抛物线解析式为21(2)44yx（引导学生对前面例题中的一些解题方法总结，大概5 分钟左右）（该部分需要学生在15 分钟内独立完

15、成，之后再评分并讲评）1.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线22yx沿y轴向上平移1 个单位，再沿x轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线3x与平移后的抛物线相交于B，与直线 OA 相交于 C。 （1）求平移后抛物线的函数解析式；（4 分）（2）点 P 在平移后抛物线的对称轴上，如果 ABP 与 ABC 相似， 求所有满足条件的P 点坐标。（） （10 分）12345-1-2-3-4-5-1-2-3-4-512345x y 0 二次函数背景下相似三角形的解题方法和策略：1.根据题意，先求解相关点的坐标和相关线段的长度；2.待定系数法求解相关函数的解析式；3.相似三角形中，注意寻

16、找不变的量和相等的量（角和线段）；4.当三角形的三边不能用题目中的未知量表示时，注意利用相似三角形的转化求解；5.根据题目条件，注意快速、正确画图，用好数形结合思想；6.注意利用好二次函数的对称性；7.利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品办公文档【解法点拨】 ：1. 注意题目中的不变量以及所得到的相关结论：点ABC、 、的坐标不变；点 P 在平移后抛物线的对称轴上；PABC

17、，得到 PAB=ABC。2. 根据题目可求得平移后的抛物线解析式为22(2)1yx；3.根据题目求ABC、 、的坐标（可让学生自己求解）；4.当 ABP 与 ABC 相似时注意分类讨论，PABC， PAB=ABC，则分两个情况讨论：当 PBA=BAC 时： PBAC，四边形PACB 是平行四边形；当 APB=BAC 时：APABABBC，则2ABAPBC，直接计算。5.二次函数中当点的坐标已知时，注意计算各线段的长度；6.注意及时画图，体会数形结合的思想。【满分解答】 ： （1）平移后抛物线的解析式为22(2)1yx .4 分（2） A 点坐标为（ 2，1） ，.1 分设直线 OA 解析式为y

18、kx，将 A（2，1）代入得12k，直线 OA 解析式为12yx.1 分将3x代入12yx得32y， C 点坐标为（ 3，32） .1 分将3x代入22(2)1yx得3y， B 点坐标为（ 3，3） .1 分PABC， PAB=ABC.1 分1当 PBA=BAC 时，PBAC，四边形 PACB 是平行四边形，.1 分32PABC15(2,)2P.1 分2当 APB=BAC 时，APABABBC，2ABAPBC.1 分又22(32)(31)5AB，103AP213(2,)3P.1 分综上所述满足条件的P点有5(2,)2，13(2,)3.1 分x y 0 12345-1-2-3-4-5-1-2-3

19、-4-512345A B C P 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 精品办公文档批注：学生完成测试后，教师批改给出得分，并进行点评总结. 建议时间2-3 分钟。【说明】：本部分为“专题小结” ，由“专题知识点或是方法回顾+教师寄语”组成。先让学生说说本节课的收获，之后是教师寄语。教师寄语可以是：需要完成的作业、需要总结的知识点、名言名句、提醒学生需要做的事情等等。教师：本专题你有哪些收获和感悟？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - - -