2022年多米诺骨牌上的数学——数学归纳法 .pdf

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1、1 多米诺骨牌上的数学数学归纳法五十多年前， 清华大学数学系赵访熊教授在给大学一年级学生讲高等数学课，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他在讲解数学归纳法的时候，先讲了这样一个故事：某主妇养小鸡十只，公母各半。 她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐。天天早晨她拿米喂鸡。到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，, 第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃。”这时，该主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了。这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米， 反而被杀了， 虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃。（赵访熊，

2、 1908 年 1996 年，我国最早提倡和从事应用数学与计算数学的教学与研究的学者之一。）赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”。显然这是一种错误的不完全归纳法。我们经常会遇到涉及全体自然数的命题，对待这种问题， 如果要否定它， 你只要能举出一个反例即可。 如果要证明它，由于自然数有无限多个，若是一个接一个地验证下去，那永远也做不完。 怎么办？数学家想出了一种非常重要的数学方法来解决这类问题，那就是数学归纳法。【数学史话】欧几里得的开端实际上， 人们很早就遇到了无限集合的问题，而当时具体的推导或计算都只是针对有限对象， 实施有限次论证。 怎样在具体的推导或计算中把握无限的难题，很早就摆在

3、数学家面前了。（欧几里得，公元前330 年 公元前 275 年，古希腊伟大的数学家，被称为数学之父）最先是古希腊数学家欧几里得在他的几何原本中采用了近似于数学归纳法的思想。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 2 该书第九卷第20 命题是： “ 素数比任何给定的一批素数都多。”欧几里得在证明这一命题时采用了独特的“ 几何 ” 方式，他把数视为线段：设有素数a、b、c，另设 da b c1，则 d 或是素数或不是素数。如果d 是素数，则

4、d 是与 a、b、c 三者都不同的素数。如 d 不是素数，则它必有素因数e，并且 e 与 a、b、c 都不同，所以一定有比给定的素数更多的素数。这一证明里隐涵了：若有n 个素数，就必然存在n1 个素数，因而自然推出素数有无限多个。这里一种试图用有限推导把握无限的作法。虽然它不是很完善，但由于它隐涵着这个命题，人们还是普遍接受了它。这可以说是数学归纳法思想产生的早期，人们沟通有限和无限的一种初步的尝试。帕斯卡的工作欧几里得之后， 似乎是由于数学的发展长期没有进一步提出涉及无限集合的问题，所以在漫长的 18 个世纪中没有人在这个问题上前进一步。直到 16 世纪，一位意大利数学家毛罗利科在他的 算术

5、 一书中明确地提出了一个“ 递归推理 ” 原则， 并提出了一个例子：“ 证明1 3 5（2k 1）k2 对任何自然数k 都成立 ” 。他用这一例子来说明这一原则的应用。不过他并没有对这一原则作出清晰的表述，所作的证明也仅限于对k2、3、4 时进行的计算。 他仍像欧几里得那样，隐涵地表示出原则的必要性。但由于他第一次正式提出这一原则，并以例子说明，所以人们认为毛罗利科是第一个正式应用数学归纳法的人。明确而清晰地阐述并使用了数学归纳法的是法国数学家、物理学家帕斯卡。 帕斯卡发现了一种被后来称作“ 帕斯卡三角形 ” 的数表，即二项展开式系数表，中国称为“ 贾宪三角形 ” 。它是宋代贾宪于公元11 世

6、纪最先发现的。而帕斯卡在研究证明这个“ 算术三角形 ” 等三个命题时，他最先准确而清晰地指出了证明过程所必须且只需的两个步骤，他称之为第一条引理和第二条引理。第一条引理该命题对于第一个底（即n1）成立，这是很显然的。第二条引理如果该命题对任一底（对任一n）成立， 它必对其下一底 （对 n1）也成立。由此可见，该命题必定对所有n 值都成立。数学归纳法证明的第一个数学命题。帕斯卡的证明方法正是现在的数学归纳法，他所提出的两个引理就是数学归纳法的两个步骤，他在1654 年写出的著作论算术三角形中做了详尽的论述。因此，在数学史上，人们认为帕斯卡是数学归纳法的创建人。（布莱士帕斯卡（Blaise Pas

7、cal ）公元 1623 年 6 月 19 日出生于多姆山省奥弗涅地区的克莱蒙费朗，法国数学家、物理学家、哲学家、散文家。）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 3 归纳法的完善由于帕斯卡的时代，尚没有建立表示自然数的符号，所以帕斯卡证明的第二步仍然只能以例子来陈述。1686 年，瑞士数学家J 伯努利提出了表示任意自然数的符号，在他的猜度术一书中，给出并使用了现代形式的数学归纳法。这样， 数学归纳法开始得到世人的承认并得到数学界日益广

8、泛的应用。后来， 英国数学家德 摩根给定了 “ 数学归纳法（ mathematical Induction ）的名称。1889 年，意大利数学家皮亚诺建立自然数的公理体系时，把数学归纳法作为自然数的公理之一（称为递归公理或数学归纳法公理） 确立起来。 这才为数学归纳法奠定了坚实的理论基础。那么数学归纳法与人们通常说的逻辑学中的“ 归纳法 ” 有什么关系呢？对这一问题曾有过数学归纳法是归纳方法还是演绎方法的争论。这主要缘于“ 数学归纳法 ” 的名称有误，实际上，它应称为“ 递归方法” 或“ 递推方法 ” ，是一种 “ 从 n 过渡到 n1” 的证明方法，与逻辑学中的归纳法没有什么关系。严格地说，

9、它倒属于演绎方法：递归公理是它的一个大前提以有限把握无限。数学归纳法中的递推思想在我们的生活实践中经常会遇到。比如家族的姓氏，我们知道通常按父系姓氏遗传，即下一代的姓氏随上一代父亲的姓确定，并且知道了有个家族第一代姓李，只要明确了这两点，我们就可以得出结论：这个家族世世代代都姓李。再比如，我们经常玩的多米诺骨牌，把骨牌按一定的间隔距离竖立起来，假定将其中任何一块推倒都可以波及下一块，这时你如果推倒了第一块，后面无论有多少块骨牌，肯定全部会倒掉。这两个事例告诉我们这样一个道理：在证明一个包含无限多个对象的问题时，不需要也不可能逐个验证下去，只要能明确肯定两点：一是问题所指的头一个对象成立，二是假

10、定某一个对象成立时， 则它的下一个也必然成立，这两条合起来就足以证明原问题。数学归纳法就是在这个简单道理的基础上抽象而成的，它的现代表述是： 证明关于自然数n 的命题 P （n） ，只要：一证明P（l）为真；二假设P（k）为真，则P（k l）为真。两项都得到证明，则P（n）为真。依赖于自然数的命题在数学中普遍存在，用数学归纳法证明这类命题，两步缺一不可。第一步叫奠基， 是基础； 第二步叫归纳， 实际上是证明某种递推关系的存在。这是以有限来把握无限，通过有限次的操作来证明关于无限集合的某些命题。数学界把数学归纳法视为沟通有限和无限的桥梁，假如没有这个桥梁，很难想象人类如何认识无限集合问题，数学的

11、发展也将会大打折扣。所以，数学家非常重视并经常使用它，正是这座桥梁使人类通向了认识的彼岸！【数学应用】数学归纳法在概率论方面的应用在概率问题中常会遇到一些与试验次数有关的重要结论，这些结论在使用数学归纳法证明时， 常常需要配合使用全概率公式，从而使概率论中的数学归纳法具有自己的特色下面我们一起来看一个具体的例子。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 4 例 1. 设有n个罐子，在每个罐子里各有m个白球和k个黑球，从第一个罐子中人任取一

12、球放到第二个罐子里，并以此类推，求从最后一个罐子里取出一个白球的概率解：先探索规律，设2n令1H“从第一个罐子里取出一个球，是白球”；2H“从第二个罐子中取出一个球，是白球”显然 P(1H)kmm所求概率 P(2H)H(P1P(2H1H)+P(1H)P(2H1H) 111kmmkmkkmmkmmkmm这恰与1n时的结论是一样的，于是可以预见，无论n为什么自然数，所求的概率都应是kmm， 则 当1tn时 ， 有P(1Ht)H(PtP(1HttH)+P(tH)P(1HttH)111kmmkmkkmmkmmkmm于是，结论kmmHPn)(对所有自然数都成立数学归纳法在生物学中的应用数学归纳法不仅在数

13、学中有广泛的应用，在生物学应用数学归纳法也有重要的意义。下面我们一起来研究一个生物学中的例子。例 2. 求含 n对等位基因的杂合子1F产生配子的种类nT(n 对等位基因位于n 对同源染色体上 ) 。解：当杂合子1F只含 1 对等位基因时，如Aa，则它只能产生2 种配子，即Aa、当杂合子1F含 2 对等位基因时，如AaBb，则它只能产生4 种配子，即AbaBABab、当杂合子1F含 3 对等位基因时，如AaBbCc，则它只能产生8 种配子，即AbCaBCABCabCAbcaBcABcabc、由此猜想，含n 对等位基因的杂合子1F产生配子的种类数2nnT用数学归纳法证明如下：精品资料 - - -

14、欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 5 （1）当1n时，前面已证（2）假设nk时，2kkT，即AaBbCcKk（共 k 对等位基因）可产生2k种配子那么当1nk时，AaBbCcKkMm（共 k+1 对等位基因）可产生2k种含M的配子，也可产生2k种含 m的配子。即AaBbCcKkMm可产生1222kkk种配子。由（ 1） （2）可知，含n 对等位基因的杂合子1F产生配子的种类数2nnT【思维导航】假使我们证得特殊命题1P （），2P （ ）成立，用不完全

15、归纳法，断言对于所有自然数n，命题P n（ ）都成立。这样的论断是不可靠的。而用完全归纳法进行列举，往往又不可能。数学归纳法正是解决这类矛盾的一种推理方法，数学归纳法从本质上说是一种演绎推理的方法，但又不能和归纳推理等同。一个和自然数有关的命题，我们记P n（ ），如果它实际上是一个包含无数个特殊命题，这命题序列即(1),(2),(n)PPP， ，而且每一个特殊命题均可由它的前一个命题导出。对于这类命题的证明，我们通常要用到数学归纳法。一、数学归纳法及其步骤: 设P n（ ）是一个表示与正整数n有关的命题。归纳奠基：当0nn（0n*N）时，P n（ ）成立；递推的依据：假设当0n= k kn（

16、）时，P n（ ）成立，由此可推出P n（ ）在n= k + 1时成立，那么P n（ ）对一切正整数0nn时都成立。特别要说明的是， 数学归纳法中的两步缺一不可，第一步是数学归纳法的推理的基础和根据， 如果缺了第一步，即使证明了第二步，命题也不一定成立。第二步在命题序列中建立了推理链的关系，在0P n成立的前提下，保证了命题序列中递推关系的成立，使推理链一环扣一环，直至对不小于0n的所有自然数nP n，（ ）都成立。二、数学归纳法证明的典型问题1. 有关代数恒等式的证明等式的证明， 我们一般采用的方法是在等式两边同时加上或同乘以第1k项，然后适当变形可证得精品资料 - - - 欢迎下载 - -

17、 - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 6 例 1. 求证：cos2cos22cos12cosnsin22sinnn（0sin） 证明： （1） 当1n时， 左边cos， 右边cos2sincossin2sin22sin， 所以当1n时，命题成立（2）假设当kn(1k) 时命题成立，即cos2cos22cos12cosksin22sinkk，将此式的两边同时乘以k2cos，得cos2cos22cos12coskk2cossin22sinkkk2cossin22sinsin2

18、22cos2sin211kkkkk所以当1kn时命题成立综合（1） （2）可知对于任意自然数命题都成立2. 有关数列命题的证明利用数学归纳法证明数列问题是高中数学最常见问题，下面我们以等差数列的前n项和的公式为例来看看如何应用数学归纳法例 2.求证：等差数列前n 项和的公式d) 1n(n21naS1n，其中1a为首项，d为公差证明： （ 1）当1n，11aS，等式成立（2）假设当kn(1k) 命题成立，即d)1k(k21kaS1k，那么，1kS1kkaSddd) 1k(k21a) 1k(11ka) 1k(k21ka111）（所以当1kn时命题成立综合（1） （2）可知对于任意自然数命题都成立3

19、. 有关不等式的证明要由“假设不等式”成立推正到“目标不等式”成立，可先尽早使用“假设不等式”，再利用辅助条件通过合理的放缩，逐步向“目标不等式”逼近例 3.证明不等式：312112n1n（nN）证明： （1）当1n时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 7 （2）假设当kn(1k) 不等式成立，即312112k1k当1kn时，则3121121k1k11k1k（现关键证明1k21k1k2）01k2

20、1k1) 1k(k1k21k1kk21k21k1k21k21k1k2，即当1kn时，不等式成立综合（ 1） （2）可知对于任意自然数不等式都成立等价转化，降低难度当给出的不等式不容易直接用数学归纳法证明时，可以对命题进行等价转化，化归为证明相对容易的不等式4.应用数学归纳法证明整除问题应用数学归纳法证明整除问题，是数学归纳法的重要应用之一这类问题涉及到整除性的知识，如果a能被c整除，那么a的倍数ma也能被c整除，如果a、b都能被c整除，那么它们的和或差ba也能被c整除，从整数的基本入手，通过添项去项进行配凑，使之能够获证例 4 证明1( )52 31nnf n能被 8 整除证明： （1）当1n

21、时，01( )52 318f n显然能被8 整除，命题成立（2）假设当kn时，原命题成立，即1( )52 31kkf k能被 8 整除，那么，当1kn时，kkkkkkkf3434361551325) 1(11)13(4)(53445325551kkkkkf这里的第一项由归纳假设能被8 整除，第二项中k3为奇数，则13k为偶数，故第二项4) 13(k能被 8 整除，由整除性质可知，它们的差也能被8 整除，这就是说：当1kn时命题也成立即原命题对于所有自然数n都成立数学归纳法在一些困难的问题中发挥着主要作用，它不仅在中学数学中有用，在我们的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

22、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 8 基础学科： 数学分析高等代数等学科中也发挥着其作用因此， 数学归纳法不仅贯穿于我们数学的各门学科中， 而且在我们的日常生活中也起着不同凡响的正如华罗庚老先生在其 数学归纳法一书中指出的那样：数学归纳法正是体现了人的认识从有限到无限的飞跃. 在人类数学的进步中起着非常广泛的作用【拓展提升】数学归纳法是用于证明与正整数n有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法在数学学习， 尤其是竞赛中占有很重要的地位那么数学归纳法除了我们研究的这种形式，还有没有其他形

23、式呢？1数学归纳法的基本形式（1）第一数学归纳法设)(nP是一个与正整数有关的命题，如果当0nn（Nn0）时，)(nP成立；假设),(0Nknkkn成立，由此推得1kn时，)(nP也成立，那么，根据对一切正整数0nn时，)(nP成立（2）第二数学归纳法设)(nP是一个与正整数有关的命题，如果当0nn（Nn0）时，)(nP成立；假设),(0Nknkkn成立，由此推得1kn时，)(nP也成立，那么，根据对一切正整数0nn时，)(nP成立2数学归纳法的其他形式（1）跳跃数学归纳法当ln, 3 ,2, 1时，)(,),3(),2(),1(lPPPP成立，假设kn时)(kP成立， 由此推得lkn时，)(

24、nP也成立，那么，根据对一切正整数1n时，)(nP成立（2）反向数学归纳法设)(nP是一个与正整数有关的命题，如果)(nP对无限多个正整数n成立；假设kn时，命题)(kP成立，则当1kn时命题)1(kP也成立，那么根据精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 9 对一切正整数1n时，)(nP成立3应用数学归纳法的技巧（1）起点前移：有些命题对一切大于等于1 的正整数正整数n都成立，但命题本身对0n也成立，而且验证起来比验证1n时容易，因此

25、用验证0n成立代替验证1n，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以因而为了便于起步，有意前移起点（2）起点增多：有些命题在由kn向1kn跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多（4）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设kn时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用（5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才

26、能满足归纳的需要，才能顺利进行证明5归纳、猜想和证明在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法【数学欣赏】帽子游戏与数学归纳法华罗庚先生1963 年写了一本数学归纳法小册子，其中讲到如何建立归纳假设。他从一个有趣的数学游戏开始：问题是这样的： 有一位老师， 想辨别出他的三个得意门生中那一个更聪明一些，它采用了以下的方法。事先准备好5 顶帽子，其中3 顶是白的， 2 顶是黑的。在试验时，他先

27、把这些帽子让学生们看了一看，然后要他们闭上眼睛，替每个学生戴上一顶白色的帽子，并且把2 顶黑帽子藏了起来，最后再让他们张开眼睛，请他们说出自己头上戴的帽子，究竟是哪一种颜色。相互看了一看，踌躇了会儿，然后他们异口同声地说，自己头上戴的是白色的帽子。他们是怎样推算出来的呢？他们怎样能够从别人头上戴的帽子的颜色，正确地推断出自己头上戴的帽子的颜色的呢？建议同学们读到这儿，暂时把书搁下来，自己想一想。能够想出来吗？如果一时想不出，可以多想一些时候。现在，谜底揭晓一下：甲、乙、丙三个学生是怎样想的。甲这样想： 如果我头上戴的是黑帽子，那么乙一定会这样想：如果我头上戴的是黑帽子，那么丙一定会这样想：（甲

28、乙两人都带了黑帽子，而黑帽子只有两顶，所以自己头上戴的一定是白帽子。 ）这样丙就会脱口而出地说出他自已头上戴的是白帽子。但是他为什么踌躇？可见自己 头上戴的是白帽子。如果这样乙也会脱口而出地说他自己头上戴的是白帽子。但是他为什么也要踌躇呢？可见自己头上戴的不是黑帽子。 （为了方便阅读，现将文中出现的括号说明一下：里的是甲的想法，里的是甲设想乙应当有的想法， （）里的是甲设想乙应当为丙设想的想法）经过这样思考，于是三人都推出了自己头上戴的是白帽子。读者读到这儿，请再想一精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

29、- -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 10 下，想通了没有？有些伤脑筋吧！学过数学归纳法的人会怎样想呢？他会先退一步，（善于 “ 退 ” ，足够地 “ 退” ，“ 退” 到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀巧！）不考虑三个人而仅仅考虑两个人一顶黑帽子的问题。这个问题谁都会解，黑帽子只有一顶，我戴了，他立刻会说：“ 自己戴的是白帽子 ” 。但是，他为什么会踌躇呢？可见我戴的不是黑帽子而是白帽子。这就是说， “ 两个人，一顶黑帽子，不管多少（当然要不少于2）顶白帽子 ” 的问题，是一个轻而易举的问题。现在我们来解上面这个复杂的：“ 三个人，两顶黑帽子，

30、不管多少（当然要不少于3）顶白帽子 ” 的问题也就容易了。为什么呢？如果我头上戴的是黑帽子，那么对于他们两个人来说，就变成 “ 两个人，一顶黑帽子” 的问题，这是他们两人应当立刻解决的问题，是不必踌躇的。现在他们在踌躇，就说明了我头上戴的不是黑帽子而是白帽子。这里可以看到，学会了数学归纳法，就会得运用“ 归纳技巧 ” 从原来问题里减去一个人、一顶黑帽子，把它转化为一个简单的问题。倘使我们把原来的问题再搞得复杂一些：“ 四个人，三顶黑帽子，若干（不少于4）顶白帽子 ” 。解这个问题，如果仍旧用我们开始时的叙述方法，那么一定要说成：“ 甲想 .等等” 。这样讲起来多费事，简直象“ 拗口令 ” ，使

31、人不易听清，不易搞懂。但是掌握了数学归纳法，善于 “ 退” ，那就只要用几句话就可了事，“ 如果我头上戴的是黑帽子，那么对他们三个人来说，是 三个人，两顶黑帽子，若干顶白帽子 的问题。这个问题他们立刻会解决而不必踌躇。现在他们要踌躇，正是说明我戴的不是黑帽子而是白帽子。” 换句话说， “ 如果我头上戴的是黑帽子” 就是这里的归纳假定。岂特四个人三顶黑帽子，即使象“n 个人， n-1 顶黑帽子，若干（不少于n)顶白帽子 ” 这样复杂的问题，我们也可以很简单地解决了。因为当n=2 时已经解决了，假设当n=k 时问题已经解决，那么当n=k+1 时，只要有1 人戴的是黑帽子，就变成n=k 的问题，大家

32、都会应用数学归纳法，他们应当都说出他们自己头上戴的是白帽子，但是他们要踌躇，所以这个人就可以判断出自己头上戴的是白帽子。读到这儿，同学们可能领会到两点：（1）应用归纳法可以处理多么复杂的问题！懂得它的人，比不懂得它的人岂不是“ 聪明 ” 得多。（2）归纳法的原则，不但指导我们“ 进” ，而且还教会我们“ 退” 。把问题 “ 退” 到最朴素易解的情况， 然后再应用归纳法飞跃前进。这样比学会了“ 三人问题 ” ，搞“ 四人问题 ” ，搞通了 “ 四人问题 ” 再尝试 “ 五人问题 ” 的做法，不是要爽快得多！【推荐阅读】数学归纳法精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -

33、- - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 11 出版社 : 上海教育出版社书号 : 7150-1457 发行时间 : 1963 年 11 月地区 : 大陆语言 : 简体中文 ,繁体中文简介：高中代数教科书里，讲过数学归纳法， 也有不少的数学参考书讲到数学归纳法。但是，华罗庚先生为什么还要写这本小册子呢？首先，当然是由于这个方法的重要。学好了、 学透了，对进一步学好高等数学有帮助，甚至对认识数学的性质，也会有所裨益。但更主要的，这本书对有些看法、有些材料进行了详细完整的补充。而这些看法和材料，对同学们理解

34、数学归纳法作用是巨大的。华罗庚（ 1910.11.121985.6.12） ， 出生于江苏省常州市金坛区，祖籍江苏省丹阳市。世界著名数学家，中国科学院院士，美国国家科学院外籍院士，第三世界科学院院士，联邦精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 12 德国巴伐利亚科学院院士。中国第一至第六届全国人大常委会委员1-2 。华罗庚早年的研究领域是解析数论，他在解析数论方面的成就尤其广为人知，国际间颇具盛名的 “ 中国解析数论学派” 即华罗庚开

35、创的学派，该学派对于质数分布问题与哥德巴赫猜想做出了许多重大贡献。华罗庚也是中国解析数论、矩阵几何学、 典型群、 自守函数论等多方面研究的创始人和开拓者。华罗庚在多复变函数论，典型群方面的研究领先西方数学界10 多年，是国际上有名的“ 典型群中国学派” 。【参考文献】数学归纳法华罗庚，1963 年，上海教育出版社数学归纳法的原理及应用刘艳，山西经济管理干部学院学报2011 年 09 期沟通有限和无限的桥梁数学归纳法的发现程飞，数学爱好者( 高二新课标人教版) 2008 年 05 期数学归纳法的发展历程冯进，常熟理工学院学报（自然科学）2008 年 08 期例谈高中数学知识在生物学解题中的应用祝远超，生物学通报2011 年第 46 卷第 4期精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -