2022年二次函数图象特征专题 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载二次函数图象特征专题见证考题【考题】 (2004 年福建卷 ) 已知f(x)=(xR) 在区间 1，1上是增函数 . (1) 求实数a的值所组成的集合A；(2) 设关于x的方程f(x)=的两根为x1、x2. 试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1|x1x2| 对任意aA及t 1，1恒成立 ?若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由. 解： (1)f(x)=，f(x) 在 1，1上是增函数，f(x)0 对x 1，1恒成立，即x2ax20 对x 1，1恒成立. 设 (x)=x2ax2. 方法一：1a1.对x1，1，f(x)是连续函数， 且只有当a=1时，f( 1)=

2、0，以及当a= 1时，f(1)=0 ，A=a1a1 . 方法二：或0a1 或1a01a1. 对x 1，1，f(x)是连续函数，且只有当a=1 时，f(1)=0 以及当a=1 时，f(1)=0 ，A=a1a1 . (2) 由=，得x2ax2=0. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载=a2+80，x1、x2是方程x2ax2=0 的两实根 . 从而 |x1x2|= . 1a1，|x1x2|=3. 要使不等式m2+tm+

3、1|x1x2| 对任意aA及t1，1恒成立，当且仅当m2+tm+13 对任意t 1，1恒成立，即m2+tm20 对任意t 1，1恒成立. 设g(t)=m2+tm2=mt+(m22). 方法一：m2 或m2. 所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1|x1x2| 对任意aA及t 1，1恒成立，其取值范围是 mm2或m 2. 方法二：当m=0 时，显然不成立；当m0时，或m2或m2. 所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1|x1x2| 对任意aA及t 1，1恒成立，其取值范围是mm2或m2. 点拨：一次函数、二次函数在闭区间大于等于零恒成立，利用单调性、对称轴及区间端点求解是通法. 知识链接1.

4、 二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象形状、对称性、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据 . 2. 对于函数f(x)=a(xh)2+k(a0)，xp，q的最值问题 . 若hp，q，则x=h时有最小值k，最大值是f(p) 与f(q) 中较大者 . 若hp，q，则f(p) 、f(q)中较小者为最小值，较大者为最大值. 3. 根的分布的基本原理是：设函数y=ax2+bx+c(a0)，若对区间a，b有f(a) f(b) 0，则曲线必与x轴相交 (至少有一交点，且交点必在a，b上 ). 设x1、x2是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) 的两根，根的分布与对应函数y=a

5、x2+bx+c图象，与其等价不等式组的关系是：(1) 若x1x2m，则精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载(2) 若mx1x2，则(3) 若x1mx2，则f(m) 0；(4) 若x1、x2(m1，m2) ，则(5) 若x1、x2有且仅有一个在 (m1，m2) 内，则f(m1)f(m2) 0. 4.f(x)=a(xx1)(xx2) ，应用于二次函数和x轴交点及一元二次方程的根等方面问题精品资料 - - - 欢迎下载

6、- - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载重点、难点、疑点剖析一、二次函数在给定区间上的最值问题是重点【例 1】 已知函数y=4x24mx+m22m+2 在区间 0，2上有最小值3，求实数m的取值范围 . 分析：要考虑二次函数的对称轴x=与给定区间 0，2的位置关系 . 解：f(x)=4(x)22m+2 的图象开口向上，对称轴为x=. 当2(如图)，即m4 时，最小值为f(2) ，令f(2)=3 ，即 4224m2+m2+22m=3，解得m=5( 舍去

7、 5); 当0，2( 如图)，即 0m4 时，最小值为f() ，令f()=3 ，即2m+2=3，解得m=( 舍); 当0，( 如图)即m0 时，最小值为f(0) ，令f(0)=3 ，4024m0+m22m+2=3，解得m=1( 舍去m=1+). m=5+或m=1. 归纳：本题考查了二次函数性质、配方法、图象法及分类讨论的思想；要注意函数的定义域，要考虑对称轴是否在函数所给的定义域之内. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习好资料

8、欢迎下载【类题演练1】 求函数f(x)=2x26x+1在区间 1，1上的最值 . 解：f(x)=2(x)2，对称轴x=1，1，故f(x) 在 1，1上递减 . f(x)min=f(1)= 3，f(x)max=f( 1)=9. 二、用图象来研究二次方程根的分布情况是难点【例 2】 若关于x的方程 3x25x+a=0 的一个根属于 (2，0)，另一个根属于 (1，3) ，求a的取值范围 . 分析：转化为二次函数y=3x25x+a与x轴的交点的分布情况. 解：设f(x)=3x25x+a. 12a0. 归纳：本题利用数形结合之思想，特值法定位，建立不等式组求解. 【类题演练2】 方程f(x)=ax2+

9、bx+c=0(a0) 的两个根都大于1 的充要条件是A.0且f(1) 0 B.f(1) 0 且2 C.0且2，1 D.0且f(1) 0，2 解析：利用f(x)=ax2+bx+c的图象可知选 D. 答案： D 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载三、解定有范围限制时的变量问题是疑点【例 3】 若不等式 8x4+8(a2)x2a+ 5 0 对于任意实数x均成立，求实数a的取值范围 . 分析：转化为函数问题进行解决. 解

10、：令t=x2，则有 8t2+8(a2)ta+50 对任意t0均成立 . 令f(t)=8t2+8(a2)ta+5，则有 0 或即a3 或即a3 或 3a5，a(，5). 归纳：注意换元后变量的取值范围发生改变. 【类题演练3】 已知关于x的方程 lg(ax)lg(ax2)=4 的所有解都大于1，求实数a的取值范围 . 解： (lga+lgx)(lga+2lgx)=4，x1，lgx0，令t=lgx0，2t2+3lgat+lg2a4=0 (t0) 的两解均大于0，令f(t)=2t2+3 lgat+lg2a4(t0)，则有即即即 lga2，0a. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -

11、 - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载四、备用题1. 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，如果f(x1)=f(x2) ，其中 (x1x2) ，则f() 等于A. B. C.c D.解析：ax12+bx1+c=ax22+bx2+ca(x1+x2)(x1x2)=b(x1x2). x1x2，x1+x2=. f()=f( )=. 答案： D 归纳：本题考查函数与方程的思想. 2. 设x、y是关于m的方程m22am+a+6=0的两个实根，则 (x1)2+(y1)2的最小

12、值是A.12 B.18 C.8 D.解析： =4a24(a+6)0a 2 或a3， (x1)2+(y1)2=x22x+1+y22y+1=(x+y)22(x+y)2xy+2=(2a)22(2a) 2(a+6)+2=4a26a10=4(a)2. 当a=3时， (x1)2+(y1)2min=8. 答案： C 归纳：此题要注意变量a的取值范围 . 解题方法归纳1. 配方法； 2. 图象法； 3. 根系法； 4. 公式法. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - -

13、 - - - - 学习好资料欢迎下载考点训练一、选择题1. 若不等式ax2+5x+b0 的解集为 x| x ，则a、b值分别为A.6，1 B.6 ， 1 C.1，6 D. 1， 6 解析：由题意知x1=，x2=是方程ax2+5x+b=0(a0) 的两实根，a=6，b=1.s 故选 A. 答案： A 2. 已知函数y=x(x2)在区间a，b (ab) 上的值域为 1，3，那么以a为横坐标，b为纵坐标的点 (a，b) 的轨迹为图中A.点B(1，1)，D(1，3) B.线段AB、CDC.线段AD、BCD.线段AB、AD解析：y=x(x2)=(x1)21，ymin=1，对称轴x=1. 故 1a，b.

14、又y=3时，x=1 或x=3. 故a、b必有一个值取 1 或 3. 选 D. 答案： D 3. 方程x2+(m2)x+5m=0的两根都大于2，则m的取值范围是A.( 5，4B.( ， 4C.( ， 2D.( ， 5)( 5，4精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解析：或 5m 4. 答案： A 4. 若方程 2sin2xsinx+(a1)=0 有实数解，则a的取值范围是A.( ,B.2，C.0，D.1，解析：a=2

15、sin2x+sinx+1=2(sinx)2+ 2，. 故选 B. 答案： B 二、填空题5. 设f(x)=x22mx+m2+n，则其关于原点对称的图象的函数的解析式为_. 解析：f(x)=(xm)2+n，以x、f(x) 代替x、f(x) 即可. 答案：f(x)=x22mxm2n6. 已知关于x的方程x2+(m2)x+2m1=0 有一实根在0 和 1 之间，则m取值范围是 _. 解析：图象法，由f(0)f(1) 0m. 又由得m=62(m=6+2时，其根不在0 和 1之间，故舍去 ). 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -

16、 - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载答案：m或m=627. 函数f(x)=x2bx+c满足f(1+x)=f(1 x) ， 且f(0)=3 ， 则f(bx)与f(cx)的大小关系是 _. 解析：f(1+x)=f(1 x)x=1 为对称轴，=1b=2，f(0)=3c=3. 若x0，则 12x3x. 又f(x) 在 1，+)上是增函数，f(2x)f(3x); 若x=0，则f(1)=f(1) ；若x0，则 12x3x. 又f(x) 在( ， 1上递减，f(2x)f(3x). 答案：f(bx)f(cx) 三、解答题8. 已知A=(x

17、，y)|y=x2+ax+2 ，B=(x，y)|y=x+1，0 x2，AB，求实数a的取值范围 . 解：由x2+ax+2=x+1x2+(a1)x+1=0 在0，2上有实根，设f(x)=x2+(a1)x+1，f(x)=0 在0，2上有实根的条件是或解之得a 1 或a，a 1. 9. 设f(x)为定义在 R上的偶函数，当x1 时，y=f(x) 的图象是经过点 ( 2，0)，斜率为 1的射线 . 又在y=f(x) 的图象中有一部分是顶点在(0，2) ， 且过点 ( 1， 1) 的一段抛物线 . 试写出函数f(x)的表达式，并作出其图象. 解：当x 1 时，易知f(x)=x+2; 当x1 时，x 1，f

18、(x)=f( x)=x+2. 当 1x1 时，图象为抛物线且顶点为(0，2). 可设函数为f(x)=ax2+2，点 (1，1) 在图象上，则有1=a( 1)2+2，a=1，f(x)= x2+2. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载f(x)=图象如下图所示 . 10. 若关于x的方程 25| x+1|45| x+1|m=0有实根，求m的取值范围 . 解：令t=5| x+1|50=1，t(0， 1，则t24tm=0

19、 在t0，1上有实根 . 令f(t)=t24tm与横坐标在t(0，1上有交点 . 对称轴t=2，需满足即即m 3，0. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -