2022年中考数学压轴题解题策略直角三角形的存在性问题解题策略.pdf

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1、中考数学压轴题解题策略（3）直角三角形的存在性问题解题策略挑战压轴题中考数学的作者上海马学斌专题攻略解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便在平面直角坐标系中，两点间的距离公式常常用到怎样画直角三角形的示意图呢？如果已知直角边，那么过直角边的两个端

2、点画垂线，第三个顶点在垂线上；如果已知斜边， 那么以斜边为直径画圆，直角顶点在圆上（不含直径的两个端点）例题解析例?如图 1-1，在 ABC 中，ABAC10， cosB45 D、E 为线段 BC 上的两个动点，且 DE3（E 在 D 右边），运动初始时D 和 B 重合， 当 E 和 C 重合时运动停止过E作 EF/AC 交 AB 于 F，连结 DF设 BDx，如果 BDF 为直角三角形，求x 的值图 1-1 【解析】 BDF 中， B 是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF 存在两种情况 如果把夹 B的两条边用含有x 的式子表示出来， 分两种情况列方程就可以了如图 1-2，作

3、AHBC，垂足为H，那么 H 是 BC 的中点在 RtABH 中，AB10，cosB45，所以 BH8所以 BC16由 EF/AC，得BFBEBABC，即31016BFx所以 BF5(3)8x图 1-2 图 1-3 图 1-4 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 如图 1-3，当 BDF90时，由4cos5BDBBF，得45BDBF解方程45(3)58xx，得 x3如图 1-4，当 BFD90时，由4cos5BFBBD，得45BFBD

4、解方程5154885xx，得757x我们看到，在画示意图时，无须受到ABC 的“限制”，只需要取其确定的B例?如图 2-1，已知 A、B 是线段 MN 上的两点，以 A 为中心顺时针旋转点M，以 B 为中心逆时针旋转点N，使 M、N 两点重合成一点C，构成ABC，设 ABx，若 ABC 为直角三角形，求x 的值图 2-1 【解析】 ABC 的三边长都可以表示出来，AC1，ABx，BC3x如果用斜边进行分类，每条边都可能成为斜边，分三种情况：若 AC 为斜边，则22)3(1xx，即0432xx，此方程无实根若 AB 为斜边，则1)3(22xx，解得35x（如图 2-2） 若 BC 为斜边，则22

5、1)3(xx，解得34x（如图 2-3） 因此当35x或34x时， ABC 是直角三角形图 2-2 图 2-3 例?如图 3-1，已知在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（ - 2, 0） ，点 B 是点 A 关于原点的对称点， P 是函数)0(2xxy图象上的一点，且ABP 是直角三角形，求点P 的坐标图 3-1 【解析】 A、B 两点是确定的，以线段AB 为分类标准，分三种情况4MN1MA1MB精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 如

6、果线段 AB 为直角边，那么过点A 画 AB 的垂线，与第一象限内的一支双曲线没有交点；过点 B 画 AB 的垂线，有1 个交点以 AB 为直径画圆，圆与双曲线有没有交点呢？先假如有交点，再列方程，方程有解那么就有交点如果是一元二次方程，那么可能是一个交点，也可能是两个交点由题意，得点B 的坐标为（ 2，0） ，且 BAP 不可能成为直角如图 3-2，当 ABP90时，点 P 的坐标为（ 2，1） 方法一：如图3-3，当 APB90时， OP 是 RtAPB 的斜边上的中线，OP2设 P2( ,)xx，由 OP24，得2244xx解得2x此时 P(2,2)图 3-2 图 3-3 方法二：由勾股

7、定理，得PA2PB2AB2解方程2222222(2)( )(2)( )4xxxx，得2x方法三：如图3-4，由 AHPPHB ，得 PH2AHBH解方程22( )(2)(2)xxx，得2x图 3-4 图 3-5 这三种解法的方程貌似差异很大，转化为整式方程之后都是(x22)20这个四次方程的解是 x1x22， x3x42， 它的几何意义就是以AB 为直径的圆与双曲线相切于P、P 两点（如图3-5） 例?如图 4-1，已知直线y kx6 经过点 A(1,4)，与 x 轴相交于点B若点 Q 是 y轴上一点，且ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -

8、 - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 图 4-1 【解析】和例题3 一样，过A、B两点分别画AB 的垂线，各有1 个点 Q和例题 3 不同，以 AB 为直径画圆，圆与y 轴有没有交点，一目了然而圆与双曲线有没有交点，是徒手画双曲线无法肯定的将 A(1,4)代入 ykx6，可得 k2所以 y2x 6，B(3,0)设 OQ 的长为 m分三种情况讨论直角三角形ABQ：如图 4-2，当 AQB90时， BOQ QHA，BOQHOQHA所以341mm解得 m1 或 m3所以 Q(0,1)或(0,3)

9、如图 4-3，当 BAQ90时， QHA AGB，QHAGHAGB所以4214m解得72m此时7(0,)2Q如图 4-4，当 ABQ90时， AGB BMQ，AGBMGBMQ所以243m解得32m此时3(0,)2Q图 4-2 图 4-3 图 4-4 三种情况的直角三角形ABQ， 直角边都不与坐标轴平行，我们以直角顶点为公共顶点，构造两个相似的直角三角形，这样列比例方程比较简便已知 A(1,4)、B(3,0)，设 Q(0, n)，那么根据两点间的距离公式可以表示出AB2，AQ2和 BQ2，再按照斜边为分类标准列方程，就不用画图进行“盲解”了例?如图 5-1， 抛物线233384yxx与 x 轴交

10、于 A、 B 两点 （点 A 在点 B 的左侧） 若直线 l 过点 E(4, 0)，M 为直线 l 上的动点，当以A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l 的解析式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 图 5-1 【解析】有且只有三个直角三角形ABM 是什么意思呢？过 A、B 两点分别画AB 的垂线，与直线l 各有一个交点，那么第三个直角顶点M 在哪里？以 AB 为直径的 G 与直线 l 相切于点 M 啊！由23333

11、(4)(2)848yxxxx，得 A(4, 0)、B(2, 0)，直径 AB6如图 5-2，连结 GM，那么 GMl在 RtEGM 中， GM3，GE5，所以 EM4因此3tan4GEM设直线 l 与 y 轴交于点 C，那么 OC3所以直线l（直线 EC）为334yx根据对称性，直线l 还可以是334yx图 5-2 例?如图 6-1，在 ABC 中， CACB，AB8，4cos5A点 D 是 AB 边上的一个动点，点 E 与点 A 关于直线 CD 对称，连结CE、DE（1）求底边 AB 上的高；（2）设 CE 与 AB 交于点 F，当 ACF 为直角三角形时，求AD 的长；（3）连结 AE，当

12、 ADE 是直角三角形时，求AD 的长图 6-1 【解析】这道题目画示意图有技巧的，如果将点 D 看作主动点， 那么 CE 就是从动线段 反过来画图，点E 在以 CA 为半径的 C 上，如果把点E 看作主动点，再画ACE 的平分线精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - - 就产生点 D 了（1）如图 6-2，设 AB 边上的高为CH，那么 AHBH 4在 RtACH 中，AH4，4cos5A，所以 AC5，CH3（2）如图 6-3，当 AFC

13、 90时， F 是 AB 的中点， AF4，CF 3在 RtDEF 中，EFCECF 2，4cos5E，所以52DE此时52ADDE如图 6-4，当 ACF90时， ACD45，那么 ACD 的条件符合“角边角” 作 DGAC，垂足为 G设 DGCG3m，那么 AD5m， AG4m由 CA5，得 7m5解得57m此时2557ADm图 6-2 图 6-3 图 6-4 （3）因为 DADE，所以只存在ADE 90的情况如图 6-5，当 E 在 AB 下方时，根据对称性，知 CDA CDE135，此时 CDH是等腰直角三角形，DHCH3所以 ADAHDH 1如图 6-6，当 E 在 AB 上方时，根据对称性，知CDA CDE45，此时 CDH是等腰直角三角形，DHCH3所以 ADAHDH 7图 6-5 图 6-6 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -