2022年人教A版高中数学选修1-1课时提升作业十一2.1.2椭圆的简单几何性质第2课时椭圆方程及性质的应用精讲优 .pdf

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1、温馨提示：此套题为Word版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word文档返回原板块。课时提升作业十一椭圆方程及性质的应用一、选择题 ( 每小题 5 分, 共 25 分)1.(2016 聊城高二检测) 过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点 F 作倾斜角为的弦 AB,则弦 AB的长为( ) A.B.C.D.【解析】选B.椭圆的方程可化为+=1, 所以 F(-,0). 又因为直线AB的斜率为, 所以直线 AB的方程为 y=x+. 由得 7x2+12x+8=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=-, x1x2=, 所以 |AB|=. 精

2、品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 2.AB 为过椭圆+=1(ab0) 中心的弦 ,F(c,0)为椭圆的右焦点,则 AFB面积的最大值为( ) A.b2B.ab C.ac D.bc 【解析】选D.由 AB过椭圆中心 , 则 yA+yB=0, 故 S AFB=(yA-yB) c=|2yA| c=|yA| cbc, 即当 AB为 y 轴时面积最大. 3.(2016 济宁高二检测 ) 如果椭圆+=1 的弦被点 (4,2) 平分 ,则这条弦所

3、在的直线方程是( ) A.x-2y=0 B.x+2y-4=0 C.2x+3y-12=0 D.x+2y-8=0 【解析】选D.设这条弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2), 斜率为 k, 则两式相减再变形得+k=0. 又弦中点为 (4,2),故 k=-, 故这条弦所在的直线方程为y-2=-(x-4), 整理得 x+2y-8=0. 4.(2016 衡水高二检测) 如果 AB是椭圆+=1(ab0) 的任意一条与x 轴不垂直的弦,O为椭圆的中心 ,e 为椭圆的离心率,M 为 AB的中点 , 则 kABkOM的值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载

4、 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 为( ) A.e-1 B.1-e C.e2-1 D.1-e2【解析】选C.设 A(x1,y1),B(x2,y2), 中点 M(x0,y0), 由点差法 ,+=1,+=1,作差得=, 所以 kABkOM=-=e2-1. 【补偿训练】椭圆+=1 中, 以点 M(-1,2) 为中点的弦所在的直线斜率为( ) A.B.C.D.-【解析】选B.设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2), 则- 得+=0, 又因为弦中点为M(-1,2), 所以 x1+x2=-2,y1+y2=4, 所

5、以+=0, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 所以 k=. 5.(2016 郑州高二检测 ) 在区间和上分别取一个数, 记为 a,b, 则方程+=1 表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为( ) A.B.C.D.【解析】选B.因为+=1 表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆 , 所以 ab0,ab0). 因为 e=,所以=.根据 ABF2的周长为 16 得 4a=16, 因此 a=4,b=2, 所以椭圆方程为+=1. 答案 :

6、+=1 7.(2016 沈阳高二检测) 椭圆+=1 上有 n 个不同的点P1,P2,P3, ,Pn, 椭圆的右焦点为F,数列 |PnF| 是公差大于的等差数列 , 则 n 的最大值为. 【解题指南】 |P1F|=|a-c|=1,|PnF|=a+c=3,|PnF|=|P1F|+(n-1)d,再由数列 |PnF| 是公差大于的等差数列 , 可求出 n 的最大值 . 【解析】 |P1F|=|a-c|=1,|PnF|=a+c=3, |PnF|=|P1F|+(n-1)d. 若 d=,n=201,d,nb0) 的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于 A,B 两点, 连接 AF,BF. 若|AB|=10,|

7、BF|=8,cosABF= , 则 C的离心率为. 【解题指南】 由余弦定理解三角形, 结合椭圆的几何性质(对称性 ) 求出点 A(或 B)到右焦点的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 距离 , 进而求得 a,c. 【解析】在 ABF中, 由余弦定理得 |AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB|BF|cosABF, 又|AB|=10,|BF|=8,cosABF= , 解得 |AF|=6. 在 ABF中,|AB|2=102=82+

8、62=|BF|2+|AF|2, 故 ABF为直角三角形. 设椭圆的右焦点为 F,连接 AF,BF, 根据椭圆的对称性, 四边形 AFBF 为矩形 , 则其对角线 |FF |=|AB|=10,且|BF|=|AF |=8, 即焦距 2c=10, 又据椭圆的定义, 得|AF|+|AF |=2a, 所以 2a=|AF|+|AF |=6+8=14. 故离心率 e= =. 答案 : 三、解答题 ( 每小题 10 分, 共 20 分 )9. 在平面直角坐标系xOy 中, 点 P到两点 (0,-),(0,) 的距离之和等于4, 设点 P的轨迹为 C. (1) 求 C的方程 . (2) 设直线 y=kx+1 与

9、 C交于 A,B 两点 ,k 为何值时?此时 |AB| 的值是多少 . 【解析】 (1) 设 P(x,y),由椭圆的定义知, 点 P的轨迹 C是以 (0,-),(0,) 为焦点 ,长半轴长为 2 的椭圆 , 它的短半轴长b=1. 故曲线 C的方程为+x2=1. (2) 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 其坐标满足消去 y, 并整理 , 得(k2+4)x2+2kx-3=0. 由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=-. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - -

10、 - - - - - - - - 若, 则 x1x2+y1y2=0. 因为 y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1, 所以 x1x2+y1y2=-+1=-=0, 所以 k=. 当 k=时,x1+x2=?,x1x2=-. 所以 |AB|=. 而(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=+4=, 所以 |AB|=. 10.(2016 烟台高二检测 ) 设椭圆+=1(ab0) 的左焦点为F, 离心率为, 过点 F且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. (1) 求椭圆的方程 . (2) 设 A,B 分别为椭圆的左、右顶点, 过点 F 且斜率为k 的直线与椭

11、圆交于C,D 两点 . 若+=8, 求 k 的值 . 【解析】 (1) 设 F(-c,0),由=, 知 a=c. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 过点 F 且与 x 轴垂直的直线为x=-c, 代入椭圆方程有+=1, 解得 y=, 于是=, 解得 b=, 又 a2-c2=b2, 从而 a=,c=1, 所以椭圆方程为+=1. (2) 设点 C(x1,y1),D(x2,y2), 由 F(-1,0)得直线 CD的方程为 y=k(x+1)

12、, 由方程组消去 y, 整理得 (2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0. 所以 x1+x2=-,x1x2=. 因为 A(-,0),B(,0), 所以+=(x1+,y1) (-x2,-y2)+(x2+,y2) (-x1,-y1) =6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1) =6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+. 由已知得 6+=8, 解得 k=. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - -

13、- - - - 一、选择题 ( 每小题 5 分, 共 10 分)1.(2016 济南高二检测) 若直线 ax+by+4=0 和圆 x2+y2=4没有公共点 , 则过点 (a,b)的直线与椭圆+=1 的公共点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.需根据 a,b 的取值来确定【解题指南】 根据直线 ax+by+4=0 和圆 x2+y2=4没有公共点 ,可推断点 (a,b) 是以原点为圆心,2为半径的圆内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=4 内切于椭圆 , 进而可知点P是椭圆内的点 ,进而判断可得答案. 【解析】选C.因为直线 ax+by+4=0 和圆 x2+y2=4 没有公共点 ,

14、 所以原点到直线ax+by+4=0 的距离d=2, 所以 a2+b2b0) 的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 若椭圆上存在点P 使=成立 , 则该椭圆的离心率的取值范围为. 【解析】由正弦定理及=, 得=. 在 PF1F2中, 设|PF2|=x, 则|PF1|=2a-x. 则上式为=, 即 cx+ax=2a2,x=. 又 a-cxa+c, 所以 a-ca+c. 由 a-c-c2

15、, 显然恒成立 . 由a+c, 得 a20, 即 e2+2e-10, 解得 e-1+或 e-1-( 舍). 又 0e1 时, 设切线l的方程为 y=k(x-m). 由得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0. 设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则 x1+x2=,x1x2=. 由l与圆 x2+y2=1相切 , 得=1, 即 m2k2=k2+1. 所以 |AB|=精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - -

16、- =. 当 m= 1 时,|AB|=, 所以 |AB|=,m(- ,-1=(2-m2), 所以=. 关闭 Word 文档返回原板块精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -