2022年中考数学真题动点问题.pdf

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1、20XX 年中考数学压轴测试题专题动点问题1. （2012 上海市 14 分）如图，在半径为2 的扇形AOB中，AOB=90，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）ODBC，OEAC，垂足分别为D、E（1）当BC=1 时，求线段OD的长；（2）在DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域【答案】 解： （1）点O是圆 心，ODBC，BC=1，BD=12BC=12。又OB=2，2222115OD=OBBD222。（2）存在，DE是不变的。如图，连接AB，则22AB=OB

2、+OA2 2。D和E是中点，DE=1AB=22。（3）BD=x，2OD4x。1=2，3=4，AOB=900。2+3=45。过D作DFOE，垂足为点F。DF=OF=24x2。由BODEDF，得BDOD=EFDF，即22x4x=EF4x2，解得EF=12x。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 45 页 - - - - - - - - - - OE=2x+4x2。2222114xx+4x4x +x4xyDF OE=0 x222422（）。【考点】 垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定

3、和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由ODBC，根据垂径定理可得出BD=12BC=12，在RtBOD中利用勾股定理即可求出OD的长。（2）连接AB，由AOB是等腰直角三角形可得出AB的长， 再由D和E是中点，根据三角形中位线定理可得出DE= 2。（3）由 BD=x，可知2OD4x，由于 1=2， 3=4，所以 2+3=45 ，过D 作 DFOE，则 DF=OF=24x2，EF=12x，OE=2x+4x2，即可求得y 关于 x的函数关系式。22AB=OB +OA2 2，点 C 是弧 AB 上的一个动点（不与点A、B 重合），0 x2。2. （2012 福建南平14 分

4、） 如图，在 ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AC 上，连接AD、DE，且 1=B=C（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一：；结论二：；结论三：（2）若 B=45 ，BC=2，当点 D 在 BC 上运动时（点D 不与 B、C 重合），求 CE 的最大值；若 ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - -

5、 - - -第 2 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 【答案】 解：（ 1）AB=AC；AED=ADC；ADE ACD。（2） B=C， B=45 ， ACB 为等腰直角三角形。22ACBC2222。 1=C， DAE=CAD， ADE ACD。AD：AC=AE：AD，22ADADAEAC222AD2。当 AD 最小时， AE 最小，此时ADBC，AD=12BC=1。AE 的最小值为222122。 CE 的最大值 = 22222。当 AD=AE 时， 1=AED =45 ， DAE =90 。点 D 与 B 重合，不合题意舍去。当 EA=ED 时，如图 1， EAD =

6、1=45 。AD 平分 BAC，AD 垂直平分BC。 BD=1。当 DA=DE 时，如图 2， ADE ACD， DA：AC=DE：DC。DC=CA=2。BD=BCDC=22。综上所述，当ADE 是等腰三角形时，BD 的长的长为1或 22。【考点】 相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性质。【 分 析 】 （ 1 ） 由 B=C ， 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 可 得AB=AC ； 由 1=C ，AED =EDC+C 得到 AED=ADC；又由 DAE=CAD，根据相似三角形的判定可得到ADE ACD。（ 2 ） 由 B=C ， B=45可 得 ACB为 等

7、 腰 直 角 三 角 形 ， 则22ACBC2222，由 1=C， DAE =CAD ，根据相似三角形的判定可得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 45 页 - - - - - - - - - - ADE ACD，则有 AD：AC=AE：AD，即22ADADAEAC222AD2，当 ADBC，AD 最小，此时AE 最小，从而由CE=ACAE 得到 CE 的最大值。分当 AD=AE，EA=ED，DA=DE 三种情况讨论即可。3. （2012 甘肃兰州12 分） 如图， RtABO 的

8、两直角边OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和y轴的正半轴上，O 为坐标原点， A、B 两点的坐标分别为(3，0)、(0，4)，抛物线y23x2bxc 经过点 B，且顶点在直线x52上(1)求抛物线对应的函数关系式；(2)若把 ABO 沿 x 轴向右平移得到DCE，点 A、B、O 的对应点分别是D、C、E，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P 使得 PBD 的周长最小，求出P 点的坐标；(4)在(2)、(3)的条件下，若点M 是线段 OB 上的一个动点 (点 M 与点 O、B 不重合 )，过点

9、M作 BD 交 x 轴于点 N，连接 PM、PN，设 OM 的长为 t，PMN 的面积为 S，求 S和 t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围， S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由【答案】 解：（ 1）抛物线y23x2bxc 经过点 B(0，4)， c4。顶点在直线x52上，b5=2223，解得10b=3。所求函数关系式为2210y=xx+433。（2）在 RtABO 中，OA3，OB 4，22ABOAOB5=。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4

10、 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 四边形 ABCD 是菱形， BC CDDAAB 5。C、D 两点的坐标分别是(5， 4)、 (2，0)，当 x5 时，2210y=55+4=433；当 x2 时，2210y=22+4=033。点 C 和点 D 都在所求抛物线上。（3）设 CD 与对称轴交于点P，则 P 为所求的点，设直线 CD 对应的函数关系式为ykxb，则5k+b=42k+b=0，解得，4k=38b=3。直线 CD 对应的函数关系式为48y=x33。当 x52时，4582y=3233。 P(5223，)。（4） MNBD， OMN OBD。OMONOBOD，即tON

11、42，得tON2。设对称轴交x于点F，则PFOM112555SPFOMOF=+t=t+223246梯形。2MON1111SOM ON=tt=t2224，PME1151215SNF PF=t=t+2222366，MONPMEPFOMS=SSS梯形2255115117t+tt+t +t46466412(0t4)。22117117289S=t +t=t+41246144，104，01764，当17t=6时， S取最大值是289144。此时，点M 的坐标为 (0，176)。【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质。精品资料 -

12、 - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 【分析】 （1）根据抛物线y23x2bxc 经过点 B(0，4)，以及顶点在直线x52上，得出b，c 即可。（2）根据菱形的性质得出C、D 两点的坐标分别是(5， 4)、(2，0)，利用图象上点的性质得出x5 或 2 时， y 的值即可。（3）首先设直线CD 对应的函数关系式为ykxb，求出解析式，当x52时，求出 y 即可。（4）利用 MNBD，得出 OMN OBD，进而得出OMONOBOD，得到tON2，

13、从而表示出 PMN 的面积，利用二次函数最值求出即可。4. （2012 广东省 9 分） 如图，抛物线213y=xx922与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D设AE的长为m，ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（ 2）的条件下，连接CE，求CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留） 【答案】 解： （1）在213y=xx922中，令x=0，得y= 9，C（0，9） ；令y=0，即21

14、3xx9=022，解得：x1=3，x2=6，A（ 3，0） 、B（ 6，0） 。AB=9，OC=9。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 45 页 - - - - - - - - - - （2）EDBC，AEDABC，2AEDABCSAESAB，即：2sm199 92。s=12m2（0m9） 。（3）S AEC=12AE?OC=92m，S AED=s=12m2，SEDC=SAECSAED=12m2+92m=12（m92）2+818。CDE的最大面积为818，此时，AE=m=92，BE

15、=ABAE=92。又22BC6 +9 =3 13，过E作EFBC于F， 则RtBEFRtBCO， 得：EFBEOCBC， 即：9EF293 13。27EF1326。以E点为圆心，与BC相切的圆的面积SE=?EF2=72952。【考点】 二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0 时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。（2）直线lBC，可得出AEDABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不

16、重合，可确定m的取值范围。（3）首先用m列出AEC的面积表达式， AEC、 AED的面积差即为CDE的面积，由此可得关于SCDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到SCDE的最大面积以及此时m的值。过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的E的半径， 可根据相似三角形BEF、BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。5. （2012 贵州毕节16 分） 如图，直线l1经过点 A（ 1，0），直线l2经过点 B(3，0), l1、l2均为与 y 轴交于点 C(0，3)，抛物线2y=a x+bx+c(a0)经过 A、B、C 三点。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - -

17、 - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 45 页 - - - - - - - - - - （1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴依次与x轴交于点D、与 l2交于点 E、与抛物线交于点F、与 l1交于点 G。求证： DE=EF=FG; (3)若 l1l2于 y 轴上的 C 点处，点P 为抛物线上一动点，要使PCG 为等腰三角形，请写出符合条件的点P 的坐标，并简述理由。【答案】 解：（1）抛物线2y=ax +bx+c(a0)经过 A（ 1，0），B（3，0），C（0，3）三点，abc09a3bc0 c3，解得3a323b3

18、c3。抛物线的解析式为：232 3y=x +x333（2）证明：设直线l1的解析式为y=kx+b，由直线l1经过 A（ 1，0），C（0，3），得kb0 b3， 解得k3 b3， 直线 l1的解析式为： y=-3x3。直线 l2经过 B（3，0）， C（0，3）两点，同理可求得直线l2解析式为： y= 33x3。抛物线2232 334 3y=x +x3=x13333，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 对称轴为 x=1，D（1，0）

19、，顶点坐标为F（1，4 33）。点 E 为 x=1 与直线 l2：y= 33x3的交点， 令 x=1，得 y=2 33，E（1，2 33）。点 G 为 x=1 与直线 l1：y=-3x3的交点，令x=1，得 y=2 3，G（1，2 3）。各点坐标为： D（1，0），E（1，233），F（1，4 33）， G（ 1，2 3），它们均位于对称轴x=1 上。DE=EF=FG=2 33。（3）如图，过 C 点作 C 关于对称轴x=1 的对称点P1，CP1交对称轴于H 点，连接 CF，PG。PCG 为等腰三角形，有三种情况：当 CG=PG 时，如图，由抛物线的对称性可知，此时P1满足 P1G=CG。C（

20、0，3），对称轴x=1， P1（2，3）。当 CG=PC 时，此时P 点在抛物线上，且CP 的长度等于 CG。如图， C（1，3），H 点在 x=1 上， H（1，3）。在 RtCHG 中， CH=1，HG=|yG yH|=|2 3（3） |= 3，由勾股定理得：22CG132。 PC=2如图， CP1=2，此时与中情形重合。又 RtOAC 中，22AC132，点 A 满足 PC=2 的条件， 但点 A、C、G 在同一条直线上，所以不能构成等腰三角形。当 PC=PG 时，此时 P 点位于线段CG 的垂直平分线上. l1l2， ECG 为直角三角形。由（ 2）可知， EF=FG，即 F 为斜边

21、EG 的中点。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 45 页 - - - - - - - - - - CF=FG，F 为满足条件的P 点， P2（1，4 33）。又CG3cos CGEEG2， CGE=30 。 HCG=60 。又 P1C=CG， P1CG 为等边三角形。P1点也在 CG 的垂直平分线上，此种情形与重合。综上所述， P 点的坐标为P1（2，3）或 P2（1，4 33）。【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰三角形的性质，

22、勾股定理， 直角三角形斜边上中线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）已知A、B、C三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。（2）D、E、F、G 四点均在对称轴x=1 上，只要分别求出其坐标，就可以得到线段DE、EF、FG 的长度。 D 是对称轴与x 轴交点， F 是抛物线顶点，其坐标易求；E 是对称轴与直线 l2交点，需要求出l2的解析式， G 是对称轴与l1的交点， 需要求出l1的解析式， 而 A、B、C 三点坐标已知，所以l1、l2的解析式可以用待定系数法求出。从而问题得到解决。（3）PCG 为等腰三角形，需要分三种情况讨论：CG=PG，CG=PC，PC=PG。

23、6. （2012 贵州遵义12 分） 如图，ABC是边长为6 的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PEAB于E，连接PQ交AB于D（1）当BQD=30时，求AP的长；（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由【答案】 解： （1）ABC是边长为 6 的等边三角形，ACB=60。BQD=30，QCP=90。设AP=x，则PC=6x，QB=x，QC=QB+C=6+x。在RtQCP中，BQD=30，PC=12QC，即 6x=12（

24、6+x） ，解得x=2。当BQD=30时，AP=2。（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。理由如下：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 作QFAB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF。PEAB于E，DFQ=AEP=90。点P、Q做匀速运动且速度相同，AP=BQ。ABC是等边三角形，A=ABC=FBQ=60。在APE和BQF中，A=FBQ，AP=BQ，AEP=BFQ=90，APEBQF（AAS） 。AE=BF，PE=

25、QF且PEQF。四边形PEQF是平行四边形。DE=12EF。EB+AE=BE+BF=AB，DE=12AB。又等边ABC的边长为 6，DE=3。当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。【考点】 动点问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30 度角的直角三角形的性质。【分析】 （1）由 ABC 是边长为 6 的等边三角形，可知ACB=60 ，再由 BQD=30 可知QCP=90 ，设 AP=x，则 PC=6 x，QB=x，在 RtQCP 中， BQD=30 ，PC=12QC，即6x=12（6+x），求出x 的值即可。（2）作QFAB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、

26、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出APEBQF，再由AE=BF，PE=QF且PEQF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=12AB，由等边ABC的边长为 6 可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。7. （2012 湖北宜昌12 分） 如图，在平面直角坐标系中，直线y=33x+1 分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1 个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边CDE，点D和点E都在x轴上，以点C为顶点的抛物线y=a（xm）2+n经过点EM与x轴、直线AB都相切，其

27、半径为3（ 13）a（1）求点A的坐标和ABO的度数；（2）当点C与点A重合时，求a的值；（3）点C移动多少秒时，等边CDE的边CE第一次与M相切？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 【答案】 解： （1）当x=0 时，y=1；当y=0 时，x=3，OA=1，OB=3。A的坐标是（ 0，1） 。tanABO=OA13OB33。ABO=30。（2）CDE为等边三角形，点A（0，1） ，tan30=ODOA，OD=33。D的坐标是（3

28、3，0） ，E的坐标是（33，0） ，把点A（0，1） ，D（33，0） ，E（33，0）代入y=a（xm）2+n，得2221=am +n30=am+n330=am+n3，解得a=3m=0n=1。a=3。（3）如图，设切点分别是Q，N，P，连接MQ，MN，MP，ME，过点C作CHx轴，H为垂足，过A作AFCH，F为垂足。CDE是等边三角形，ABO=30，BCE=90，ECN=90。CE，AB分别与M相切，MPC=CNM=90。四边形MPCN为矩形。MP=MN，四边形MPCN为正方形。MP=MN=CP=CN=3（13）a（a0） 。EC和x轴都与M相切，EP=EQ。NBQ+NMQ=180，PMQ

29、=60。EMQ，=30。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 在RtMEP中，tan30=PEPM，PE=（33）a。CE=CP+PE=3（ 13）a+（33）a= 23 a。DH=HE=3 a，CH=3a，BH=33 a。OH=33 a3，OE=43 a3。E（ 43 a3，0） ，C（ 33 a3， 3a） 。设二次函数的解析式为：y=a（x+33a+3）23a，E在该抛物线上，a（ 43 a3+33 a+3）23a=0，得：a

30、2=1，解之得a1=1，a2=1。a0，a= 1。AF=23，CF=2，AC=4。点C移动到 4 秒时，等边CDE的边CE第一次与M相切。【考点】 动点问题，二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的性质，直线与圆相切的性质。【分析】 （1）已知直线AB的解析式，令解析式的x=0，能得到A点坐标；令y=0，能得到B点坐标；在RtOAB中，知道OA、OB的长，用正切函数即可得到ABO的值。（2）当C、A重合时，可知点C的坐标，然后结合OC的长以及等边三角形的特性求出OD、OE的长，即可得到D、E的坐标，利用待定系数即可确定a的值。（

31、3）作出第一次相切时的示意图，已知的条件只有圆的半径，那么连接圆心与三个切点以及点E，首先能判断出四边形CPMN 是正方形， 那么 CP 与 M 的半径相等， 只要再求出PE 就能进一步求得C 点坐标；那么可以从PE=EQ，即RtMEP 入手，首先CED =60 ，而 MEP =MEQ，易求得这两个角的度数，通过解直角三角形不难得到PE的长，即可求出PE 及点 C、E 的坐标然后利用C、E 的坐标确定a 的值，从而可求出AC的长，由此得解。8. （2012 湖南常德10 分） 已知四边形ABCD 是正方形， O 为正方形对角线的交点，一动点 P 从 B 开始，沿射线BC 运动，连结DP，作 C

32、NDP 于点 M，且交直线AB 于点 N，连结 OP，ON。（当 P 在线段 BC 上时，如图1：当 P 在 BC 的延长线上时，如图2）（1）请从图 1，图 2 中任选一图证明下面结论：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 45 页 - - - - - - - - - - BN=CP：OP=ON，且 OPON(2) 设 AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N 为顶点的四边形的面积y 与 x 的函数关系。【答案】 （1）证明：如图1，四边形ABCD 是正方形，OC=OB，DC=

33、BC，DCB=CBA=90 ，OCB=OBA=45 ， DOC=90 ，DCAB。DPCN， CMD=DOC=90 。BCN+CPD=90 ， PCN+DCN=90 。 CPD=CNB。DCAB， DCN=CNB=CPD。在 DCP 和CBN 中， DCP=CBN， CPD=BNC，DC=BC，DCP CBN（AAS）。 CP=BN。在 OBN 和OCP 中， OB=OC， OCP=OBN， CP=BN ，OBN OCP（SAS ）。 ON=OP， BON= COP。BON+BOP=COP+BOP，即 NOP=BOC=90 。ONOP。（2）解： AB=4，四边形 ABCD 是正方形，O 到

34、BC 边的距离是2。图 1 中，OBNBOPOPBN11SSS4x2x 240 x422四形（）（）边。以 O、P、B、N 为顶点的四边形的面积y 与 x 的函数关系是：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 240 x4y=1 xxx42（）（）。【考点】 正方形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，两线垂直的判定，多边形的面积的分解，函数解析式的确定，分段函数，点到直线的距离。【分析】 （1）对于图 1，证明线段相等，一

35、般情况下找全等。根据BN，CP 的分布情况可以观察 CNB 和DPC， 然后证明两三角形全等。 也可以观察 CAN 和DBP， 证明 AN=BP，从而有 BN=CP。对于图 2，证明如下：ABCD 为正方形， AC，BD 为对角线，DCP=90o 。CMDP， PCM =PDC。 PDB =CAN。又 DPB=ANC，BD=AC， PDB NCA（ ASA）。PB=AN，DP=CN。 CP=BN。 PDB=CAN，OD=OC， CP=BN， PDO NCO（SAS）。OP=ON， DOP=CON。DOC=90o ， PON=NOC+POC=DOP+POC=DOC=90o 。OPON。（2）求以

36、 O、P、B、N 为顶点的四边形的面积，则要把四边形分解为两个三角形去解决问题。图1 中，S四边形OPBN=SOBN+SBOP，；图2 中， S四边形OBNP=S POB+SPBN，代入求出即可。9. （2012 湖南张家界10 分）如图，O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作O的切线DC，P点为优弧?CBA上一动点（不与AC重合） （1）求APC与ACD的度数；（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形（3）P点移动到什么位置时，APC与ABC全等，请说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

37、 - - - - - - - -第 15 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 【答案】 解： （1）连接AC，如图所示：AB=4，OA=OB=OC=12AB=2。又AC=2，AC=OA=OC。ACO为等边三角形。AOC=ACO=OAC=60，APC=12AOC=30。又DC与圆O相切于点C，OCDC。DCO=90。ACD=DCOACO=9060=30。（2）连接PB，OP，AB为直径，AOC=60，COB=120。当点P移动到弧CB的中点时，COP=POB=60。COP和BOP都为等边三角形。AC=CP=OA=OP。四边形AOPC为菱形。（3）当点P与B重合时，ABC与A

38、PC重合，显然ABCAPC。当点P继续运动到CP经过圆心时，ABCCPA，理由为：CP与AB都为圆O的直径，CAP=ACB=90。在RtABC与RtCPA中，AB=CP，AC=ACRtABCRtCPA（HL） 。综上所述， 当点P与B重合时和点P运动到CP经过圆心时， ABCCPA。【考点】 切线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，菱形的判定。【分析】 （1）连接 AC，由直径AB=4，得到半径OA=OC=2，又 AC=2，得到 AC=OC=OA，即AOC 为等边三角形， 可得出三个内角都为60 ，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的 2 倍，得到 APC 为

39、30 ，由 CD 为圆 O 的切线，得到OC 垂直于 CD，可得出 OCD 为直角，用 OCD-OCA 可得出 ACD 的度数。（2）由AOC为 60，AB为圆O的直径，得到BOC=120，再由P为CB的中点，得到两条弧相等， 根据等弧对等角，可得出COP=BOP=60，从而得到COP与BOP都为等边三角形，可得出OC=OB=PC=PB，即四边形OBPC为菱形。（3）点P有两个位置使APC与ABC全等，其一：P与B重合时，显然两三角形全等；第二：当CP为圆O的直径时，此时两三角形全等。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -

40、 - - - - - -第 16 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 10. （2012 江苏无锡10 分） 如图，菱形ABCD的边长为2cm，DAB=60点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s的速度，沿射线AB作匀速运动当P运动到C点时，P、Q都停止运动设点P运动的时间为ts（1）当P异于AC时，请说明PQBC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，P与边BC分别有 1 个公共点和2 个公共点？【答案】 解： （1）四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2，AB=BC=

41、2，BAC=12DAB。又DAB=60，BAC=BCA=30。如图 1，连接BD交AC于O。四边形ABCD是菱形，ACBD，OA=12AC。OB=12AB=1。OA=3，AC=2OA=23。运动ts后，AP=3t，AO=t，APAC=3AQAB。又PAQ=CAB，PAQCAB. APQ=ACB. PQBC. （2）如图 2，P与BC切于点M，连接PM，则PMBC。在RtCPM中，PCM=30，PM=13PC=3t22。由PM=PQ=AQ=t，即33t2=t，解得t=4 36，此时P与边BC有一个公共点。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归

42、纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 如图 3，P过点B，此时PQ=PB，PQB=PAQ+APQ=60PQB为等边三角形。QB=PQ=AQ=t。t=1。当4 36t1时，P与边BC有 2 个公共点。如图 4，P过点C，此时PC=PQ，即2 33t =tt=33。当 1t33时，P与边BC有一个公共点。当点P运动到点C，即t=2 时，Q、B重合，P过点B，此时，P与边BC有一个公共点。综上所述，当t=4 36或 1t33或t=2 时，P与菱形ABCD的边BC有 1 个公共点；当4 36t1，则m1n ，解出不等式组的解为10

43、a2。若a0，则n1m 。由题设，n0m2，解出不等式组的解为1a02。综上所述，数a 的取值范围为1a02，10a2和a0，此时，点E 已在边 DA 延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根）。当22x2时，y=222225+22+4=2222，此时，点E 在边 AD 上，符合题意。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 当22x2时，点 D 关于直线PE 的对称点D落在边 AB 上。【考点】 矩形的性质， 相似三角形的判定

44、和性质，勾股定理， 折叠对称的性质，解无理方程。【分析】 （1） CM=1，CP=x，DE=y，DP=4x，且 MCP PDE，DEDPCPCM，即y4xx1。 y=x24x。（2）当点 E 与点 A 重合时， y=2，即 2=x24x，x24x2=0。解得x22。（3）过点 P 作 PHAB 于点 H，则由点 D 关于直线PE 的对称点 D落在边 AB 上，可得 E D A 与DP H 相似，由对应边成比例得得关于x 的方程即可求解。注意检验。14. （2012 江苏徐州8 分） 如图 1，A、B、C、D 为矩形的四个顶点，AD=4cm， AB=dcm。动点 E、F 分别从点 D、B 出发，

45、点 E 以 1 cm/s 的速度沿边DA 向点 A 移动，点F 以 1 cm/s的速度沿边BC 向点 C 移动， 点 F 移动到点 C 时， 两点同时停止移动。以 EF 为边作正方形EFGH ，点 F 出发 xs 时，正方形EFGH 的面积为ycm2。已知 y 与 x 的函数图象是抛物线的一部分，如图2 所示 。请根据图中信息，解答下列问题：（1）自变量 x 的取值范围是 ；（2）d= ，m= ， n= ；（3）F 出发多少秒时，正方形EFGH 的面积为 16cm2？【答案】 解：（ 1）0 x4 。（2）3，2，25（3）过点 E 作 EIBC 垂足为点 I。则四边形DEIC 为矩形。EI=

46、DC=3，CI=DE=x。BF=x，IF =42x。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 在 RtEFI 中，22222EFEIIF342 x。y 是以 EF 为边长的正方形EFGH 的面积，22y342 x。当 y=16 时，22342 x16，解得，124747xx22，。F 出发472或472秒时，正方形EFGH 的面积为16cm2。【考点】 动点问题，矩形的判定和性质，平行线间垂直线段的性质，勾股定理，解一元二次方程。【分析

47、】 （1）自变量 x 的取值范围是点F 从点 C 到点 B 的运动时间，由时间=距离 速度，即可求。（2）由图 2 知，正方形EFGH 的面积的最小值是9，而正方形EFGH 的面积最小时，根据地两平行线间垂直线段最短的性质，得d=AB=EF=3。当正方形 EFGH 的面积最小时，由BF=DE 和 EFAB 得， E、F 分别为 AD、BC 的中点，即m=2。当正方形 EFGH 的面积最大时， EF 等于矩形ABCD 的对角线， 根据勾股定理，它为 5，即 n=25。（3）求出正方形EFGH 的面积 y 关于 x 的函数关系式，即可求得F 出发472或472秒时，正方形EFGH 的面积为 16c

48、m2。15. （2012 四川乐山13 分） 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m） ，点B的坐标为（n，n） ，抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C已知实数m、n（mn）分别是方程x22x3=0 的两根（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合） ，直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD当OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；求BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

49、- -第 25 页，共 45 页 - - - - - - - - - - 【答案】 解： （1）解方程x22x3=0，得x1=3，x2=1。mn，m= 1，n=3。A（ 1， 1） ，B（3， 3） 。抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx。ab=19a3b=3，解得：1a=21b=2。抛物线的解析式为211y=x +x22。（2）设直线AB的解析式为y=kx+b。k+b=13k+b=3，解得：1k=23b=2。直线AB的解析式为13y=x22。C点坐标为（ 0，32） 。直线OB过点O（0，0） ，B（3， 3） ，直线OB的解析式为y=x。OPC为等腰三角形，OC=OP或OP=P

50、C或OC=PC。设P（x，x） 。（i）当OC=OP时，229x +x=4，解得123 23 2x =x =44，（舍去）。P1（3 23 244，） 。（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，P2（3344，） 。（iii）当OC=PC时，由2239x +x+=24，解得123x =x =02，（舍去）。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 26 页，共 45 页 - - - - - - - - - - P3（3322，） 。综上所述，P点坐标为P1（3 23 244，）或P2（33