2022年抽象函数解题方法与技巧 .pdf

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1、抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在xR 上的函数y=f(x) ，满足 f(x+a)=f(x-a) （或 f(x-2a)=f(x) ）(a0)恒成立，则y=f(x) 是周期为 2a的周期函数；2、若 y=f(x) 的图像关于直线x=a 和 x=b 对称，则函数y=f(x) 是周期为 2|a-b|的周期函数；3、若 y=f(x)的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x) 是周期为 2|a-b|的周期函数；4、若 y=f(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b（ab） ，则函数 y=f(x) 是周期为 4|a-b|的周期函数；5、若函数y=f(x) 满足

2、f(a+x)=f(a-x) ，其中 a0，且如果y=f(x) 为奇函数，则其周期为4a；如果 y=f(x) 为偶函数，则其周期为2a；6、定义在 xR 上的函数y=f(x) ，满足 f(x+a)=-f(x)1( )fxaf x或1( )fxaf x或，则 y=f(x) 是周期为 2|a|的周期函数；7、若11fxfxafx在 xR 恒成立，其中a0，则 y=f(x) 是周期为 4a 的周期函数；8、若11fxfxafx在 xR 恒成立，其中a0，则 y=f(x) 是周期为 2a 的周期函数。（7、8 应掌握具体推导方法，如7）函数图像的对称性：1、若函数y=f(x) 满足 f(a+x)=f(b

3、-x) ，则函数y=f(x) 的图像关于直线2abx对称；2、若函数y=f(x) 满足 f(x)=f(2a-x) 或 f(x+a)=f(a-x) ，则函数y=f(x) 的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=f(x) 满足 f(a+x)+f(b-x)=c，则 y=f(x) 的图像关于点,22ab c成中心对称图形；4、曲线 f(x,y)=0 关于点 (a,b)的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0 ；5、形如0,axbycadbccxd的图像是双曲线，由常数分离法1111212112 ( )( )11fxfxafxfxafxfxaf xf xfx精品资料 - - - 欢迎下载 - -

4、 - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - - dadadaxbbacccyddccxcxcc知：对称中心是点,dac c；6、设函数y=f(x) 定义在实数集上，则y=f(x+a) 与 y=f(b-x) 的图像关于直线2bax对称；7、若函数y=f(x) 有反函数，则y=f(a+x) 和 y=f -1(x+a) 的图像关于直线y=x+a 对称。一、换元法换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知 f(1+sinx)=2+sinx+cos2x,

5、 求 f(x)二、方程组法运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。例 2.232| )(:|,)1(2)(),)(,(xfxxfxfxfxf(x)y求证且为实数即是实数函数设三、待定系数法如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。例 3已知 f(x)是二次函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x). 四、赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例 4对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且 f(1)0,则 f(2001)=_. 例 5已知 f(x)是定义在R 上的不

6、恒为零的函数，且对于任意的实数a,b 都满足精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - - f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求 f(0)，f(1)的值； (2)判断 f(x)的奇偶性 ,并证明你的结论; 五、转化法通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的方便. 例 6设函数f(x)对任意实数x,y，都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x0 时 f(x)0 且 a1) f(

7、x+y)=f(x)f(y)fxfxyfy或对数函数f(x)=logax(a0 且 a1) f(xy)=f(x)+f(y) xffxfyy或正、余弦函数f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x) 正切函数f(x)=tanx( )( )()1( )( )f xf yf xyf x f y余切函数f(x)=cotx1( )( )()( )( )f x f yf xyf xf y例 10已知实数集上的函数f(x)恒满足f(2+x)= f(2-x), 方程f(x)=0有 5 个实根 , 则这5 个根之和=_ 例 11设定义在R 上的函数f(x)，满足当x0 时，f(x)1 ，且对任意x

8、，yR，有 f(x+y)=f(x)f(y)，f(1)=2 （1）解不等式f(3x-x2)4 ； （2）解方程 f(x)2+12f(x+3)=f(2)+1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 例 12已知函数f(x)对任何正数x,y 都有 f(xy)=f(x)f(y) ，且 f(x)0，当 x1 时，f(x)0)恒成立，则y=f(x) 是周期为 2a的周期函数；2、若 y=f(x) 的图像关于直线x=a 和 x=b 对称，则函数y=f

9、(x) 是周期为 2|a-b|的周期函数；3、若 y=f(x)的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x) 是周期为 2|a-b|的周期函数；4、若 y=f(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b（ab） ，则函数 y=f(x) 是周期为 4|a-b|的周期函数；5、若函数y=f(x) 满足 f(a+x)=f(a-x) ，其中 a0，且如果y=f(x) 为奇函数，则其周期为4a；如果 y=f(x) 为偶函数，则其周期为2a；6、定义在 xR 上的函数y=f(x) ，满足 f(x+a)=-f(x)1( )fxaf x或1( )fxaf x或，则 y=f(x) 是周期

10、为 2|a|的周期函数；7、若11fxfxafx在 xR 恒成立，其中a0，则 y=f(x) 是周期为 4a 的周期函数；8、若11fxfxafx在 xR 恒成立，其中a0，则 y=f(x) 是周期为 2a 的周期函数。（7、8 应掌握具体推导方法，如7）函数图像的对称性：1、若函数y=f(x) 满足 f(a+x)=f(b-x) ，则函数y=f(x) 的图像关于直线2abx对称；2、若函数y=f(x) 满足 f(x)=f(2a-x) 或 f(x+a)=f(a-x) ，则函数y=f(x) 的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=f(x) 满足 f(a+x)+f(b-x)=c，则 y=f(x)

11、的图像关于点,22ab c成中心对称图形；4、曲线 f(x,y)=0 关于点 (a,b)的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0 ；1111212112 ( )( )11fxfxafxfxafxfxaf xf xfx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 5、形如0,axbycadbccxd的图像是双曲线，由常数分离法dadadaxbbacccyddccxcxcc知：对称中心是点,d ac c；6、设函数y=f(x) 定义在实数集

12、上，则y=f(x+a) 与 y=f(b-x) 的图像关于直线2bax对称；7、若函数y=f(x) 有反函数，则y=f(a+x) 和 y=f -1(x+a) 的图像关于直线y=x+a 对称。二、换元法换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例2. 已知 f(1+sinx)=2+sinx+cos2x, 求 f(x)解：令 u=1+sinx ，则 sinx=u-1(0u2),则 f(u)=-u2+3u+1 (0u2) 故 f(x)=-x2+3x+1 (0 x2) 二、方程组法运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。例 2.232| )(:|,)1(2)

13、(),)(,(xfxxfxfxfxf(x)y求证且为实数即是实数函数设解:xxx fxxfxfxx323)(,1)(2)1(,1联立方程组，得得代换用322323| )(|xxxf三、待定系数法如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。例 3已知 f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x). 解：由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a 0)代入 f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+c f(x-1)= a(x-1)2+b(x-1)+c=ax2+( b -2a)x+

14、a-b+c f(x+1)+ f(x-1)=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x 比较系数得：a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1. 四、赋值法精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例 4对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且 f(1)0,则 f(2001)=_. 解：令 x=y=0 ，得： f(0)=0 ,令 x

15、=0 ,y=1,得 f(0+12)=f(0)+2f(1)2, f(1)0f(1)= . 令 x=n,y=1 ，得 f(n+1)=f(n)+2f(1)2=f(n)+ 即 f(n+1)-f(n) =12，故 f(n)=2n，f(2001)=20012例 5已知 f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的实数a,b 都满足f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求 f(0)，f(1)的值； (2)判断 f(x)的奇偶性 ,并证明你的结论; (3)若 f(2)=2,un=f(2n) (nN* ),求证： un+1un(nN*). 解： (1)令 a=b=0 ,得 f(0)=0 ,令 a=b

16、=1 ,得 f(1)=0 . (2)f(x)是奇函数。因为：令a=b=-1 ,得 f(-1)(-1)=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0, 故 f(-x)=f(-1)(x)= -f(x)+xf(-1)= -f(x),故 f(x)为奇函数 . (3)先用数学归纳法证明：un=f(2n)0(nN* )(略) 五、转化法通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的方便. 例 6设函数f(x)对任意实数x,y，都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x0 时 f(x)0 ,且 f(1)= -2 ,求 f(x)在-3，3上的最大值和最小值。解

17、：令 x=y=0 ，得 f(0)=0 ,令 y=-x ,得 f(-x)+f(x)=f(0)=0,即 f(x)为奇函数 . 设 x10,由已知得f(x2-x1)0 ,故 f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1) f(x1)所以 f(x)是 R 上的减函数，又f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6，f(-3)=6故 f(x)在-3,3上的最大值为6,最小值为 -6. 例 7定义在R+上的函数f(x)满足：对任意实数m，f(xm)=mf(x) ； f(2)=1 . (1)求证： f(xy)=f(x)+f(y) 对任意正数x,y 都成立；(2)证明 f(x)是 R+上的

18、单调增函数；(3)若 f(x)+f(x-3)2,求 x 的取值范围。解： (1)令 x=2m,y=2n,其中 m,n为实数，则f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n. 又 f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以 f(xy)=f(x)+f(y)1212精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - - （2）证明：设0 x1x2，可令 mn 且使 x1=2m,x2=2n由（ 1）得 f(x1)

19、-f(x2)=12xfx=f(2m-n)=(m-n)f(2)=m-n0故 f(x1)f(x2)，即 f(x)是 R+上的增函数。(3)由 f(x)+f(x-3)2 及 f(x)的性质，得fx(x-3)2f(2)=f(4)解得 30 且 a1) f(x+y)=f(x)f(y)fxfxyfy或对数函数f(x)=logax(a0 且 a1) f(xy)=f(x)+f(y) xffxfyy或精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 正、余弦函数

20、f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x) 正切函数f(x)=tanx( )( )()1( )( )f xf yf xyf x f y余切函数f(x)=cotx1( )( )()( )( )f x f yf xyf xf y例 10已知实数集上的函数f(x)恒满足f(2+x)= f(2-x), 方程f(x)=0有 5 个实根 , 则这5 个根之和=_ 分析：因为函数 f(x)恒满足 f(2+x)= f(2-x) , 方程 f(x)=0 有 5 个实根， 可以将该函数看成是类似于二次函数 y=k(x-2)2为模型引出解题思路，即函数的对称轴是x=2， 并且函数在f(2)=0 ，

21、 其余的四个实数根关于x=2对称解：因为实数集上的函数f(x)恒满足 f(2+x)= f(2-x), 方程 f(x)=0 有 5 个实根，所以函数关于直线x=2对称，所以方程的五个实数根也关于直线x=2 对称，其中有一个实数根为2，其它四个实数根位于直线x=2两侧，关于直线x=2 对称，则这5 个根之和为10。例 11设定义在R 上的函数f(x)，满足当x0 时， f(x)1 ，且对任意x，yR，有 f(x+y)=f(x)f(y)，f(1)=2（1）解不等式f(3x-x2)4 ； （2）解方程 f(x)2+12f(x+3)=f(2)+1 分析：可联想指数函数f(x)=ax。解： (1)先证 f

22、(x)0 ，且单调递增，因为f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)，x0 时 f(x)1 ，所以 f(0)=1对于任意x0，f(x)f(-x)=f(x-x)=f(0)=1， f(x)=1fx-x0，f(-x)1 0f(x)0任取 x1,x2R 且 x10，f(x2-x1)1, 所以 f(x1)-f(x2)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)f(x1)-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-10所以 xR 时， f(x)为增函数。不等式 f(3x-x2)4可化为3x-x22 解得： x|1x1 时，f(x)0精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -

23、 - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 设 x1，x2R+，且 x1f(x2)，故 f(x)在 R+上为减函数。函数性质答案1. B 奇次项系数为2. D 3. A 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性4. A 5. A 在上递减，在上递减，在上递减，6. A 为奇函数，而为减函数 . 7. 奇函数关于原点对称，补足左边的图象8. 是的增函数，当时，9. 该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大10. 11.（1），不存在；（2）函数是特殊的映射； （3）该图象是由离

24、散的点组成的； （4）两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线. 12. 解：，则,0,20,2mm3(2)( 2),212ff()()( )( )Fxfxf xF x3yxR1yx(0,)24yx(0,)()(11)(11)( )fxxxxxxxf x222 ,12,01( ),2, 102 ,1x xxxf xxxx x( 2,0)2,5 2,)1,xyx1xmin2y21, 30,210,1,( )3kkf xx121xx且22(1)(1)(1)fafaf a2211111111aaaa01a精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳

25、 - - - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -