2022年人教版八年级数学上册教案八年级数学整式的乘法 .pdf

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1、152 整式的乘法复习新课指南1. 知识与技能： (1) 掌握同底数幂的乘法；(2) 幂的乘方； (3) 积的乘方； (4) 整式的乘法法则及运算规律. 2. 过程与方法：经历探索同底数幂的乘法公式的过程，在乘法运算的基础上理解同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的运算公式，从而熟练地掌握和应用整式的乘法. 3. 情感态度与价值观：通过本节的学习，全面体现转化思想的应用，也使学生认识到数学知识来源于实际生活的需求，反过来又服务于实际生产、生活的需求. 4. 重点与难点：重点是同底数幂的乘法及幂的乘方、积的乘方运算. 难点是整式的乘法. 教材解读精华要义数学与生活著名诺贝尔奖获得者法国科学家居里夫

2、人发明了“ 镭” ，据测算：1 千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75 105千克煤放出的热量. 估计地壳里含有1 1010千克镭，试问这些镭蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？思考讨论由题意可知，地壳里1 1010千克镭完全蜕变后放出的热量相当于（3.75 105） （1 1010）千克煤放出的热量，所以，如何计算这个算式呢？由乘法的交换律和结合律可进行如下计算： （3.75 105） （1 1010）=3.75 105 1010=(3.75 1) (105 1010)=3.75 (105 1010) ，那么如何计算105 1010呢？知识详解知识点 1 同底数幂的乘法法则am

3、an=am+n(m，n 都是正整数 ). 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 例如：计算 . (1)23 24； (2)105 102；解： (1)23 24=(2 2 2) (2 2 2 2)=2 2 2 2 2 2 2=27. (2)105 102=(10 10 10 10 10) (10 10) =10 10 10 10 10 10 10 =107. 由 23 24=27，105 102=107可以发现 :23 24=23+4， 105 102=105+2. 猜测一下： am an=m+n(m ，n 为正整数 ), 推导如下：am an=相乘个amaaaaa)( EMBED Equati

4、on.3 相乘个anaaaaaa)(=am+n知识点 2 幂的乘方( am)n=amn(m，n 都是正整数 ). 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 【说明】（1）幂的乘方法则是由同底数幂的乘法法则和乘方的意义推导的. （2）( am)n与的 anm区别. 其中， ( am)n表示 n 个 am相乘，而anm表示 mn个 a 相乘，例如： (52)3=523=56，532=58.因此， ( am)nanm，要仔细区别 .精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - -

5、- - - - - 知识点 3 积的乘方( ab)n=anbn(n 为正整数 ). 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 探究交流填空，看看运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？(1)( ab)2=( ab) ( ab)=( a a)(b b)= a( )b( )(2)( ab)3= = =a( )b( )点拨 由积的乘方法则得知：(1)2 2 (2)(ab) ( ab) ( ab) ( a a a)(b b b) 3 3 【说明】在运用积的乘方计算时，要注意灵活，如果底数互为倒数时，可适当变形.如 ： (21)10 210=(21 2)10=110=1 ； 42

6、(-21)5=24 (-21)5=24 (-21)4 (-21)=(-21) 24 (-21) =1 (-21)=-21. 知识点 4 单项式的乘法法则单项式乘法是指单项式乘以单项式. 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 为了防止出现系数与指数的混淆，同底数幂的乘法性质与幂的乘方性质的混淆等错误，同学们在初学本节解题时，应该按法则把计算步骤写全，逐步进行计算. 如21x2y 4xy2=(21 4) x2+1y1+2=2x3y3. 在许多单项式乘法的题目中，都包含有幂的乘方、积的乘方等，解题时要注意综合运用所学的知

7、识 . 【注意】 (1)运算顺序是先乘方，后乘法，最后加减. (2) 做每一步运算时都要自觉地注意有理有据，也就是避免知识上的混淆及符号等错误. 知识点 5 单项式与多项式相乘的乘法法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 例如： a(m+n+p)=am+ an+ap. 【说明】 (1)单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用. (2) 在应用乘法分配律时，要注意单项式分别与多项式的每一项相乘. 探究交流下列三个计算中，哪个正确？哪个不正确？错在什么地方？(1)3 a(b-c+ a)=3ab-c+ a(2)-2x(x2-3x+2)=-2x3-6x2+4x

8、 (3)2m(m2-mn+1)=2m3-2m2n+2m 点拨 (1)(2)不正确， (3) 正确 .(1) 题错在没有将单项式分别与多项式的每一项相乘.(2)题错在没有将 -2x 中的负号乘进去. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 知识点 6 多项式相乘的乘法法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 . 【说明】多项式相乘的问题是通过把它转化为单项式与多项式相乘的问题来解决的，渗透了转

9、化的数学思想. ( a+b)(m+n)=( a+b)m+(a+b)n=am+bm+ an+bn. 计算时是首先把(a+b) 看作一个整体，作为单项式，利用单项式与多项式相乘的乘法法则计算 . 典例剖析师生互动基本概念题本节有关基本概念的题目包括以下几个方面：(1) 同底数幂的乘法；(2) 幂的乘方与积的乘方； (3) 整式的乘法 . 例 1 计算 . (1) 103 104； a a3； a a3 a5； (m+n)2 (m+n)3. (2) (103)5； (b3)4； (-4)3 (-41)3. (3) (2b)3； (2 a3)2； (- a)3； (-3x)4. ( 分析 ) 本题主要

10、考查三个公式：am an=am+n，( am)n=amn，( ab)n=anbn，其中， m ， n 均为正整数 . 解： (1) 103 104=103+4=107. a a3=a1+3=a4. a a3 a5=a1+3+5=a9. (m+n)2 (m+n)3=(m+n)2+3=(m+n)5. (2) (103)5=1035=1015. (b3)4=b34=b12. (-4)3 (-41)3=(-4) (-41)3=13=1. (3) (2b)3=23b3=8b3. (2 a3)2=22(a3)2=4a6. (- a)3=(-1)3a3=-a3. (-3x)4=(-3)4x4=81x4. 小

11、结在应用这三个公式时要准确，尤其是公式( am)n=amn，不要写成 ( am)n=anm，这是不正确的 . 基本知识应用题本节的基础知识应用包括：(1) 经历探索整式乘法运算法则的过程；(2) 会进行简单的整式乘法运算 . 例 2 计算 . (1)3x2y (-2xy3) ； (2)(-5a2b3) (-4b2c). ( 分析 ) 单项式乘法，其实质就是同底数幂乘法与乘法交换律和结合律. 解： (1)3x2y (-2xy3)= 3 (-2) (x2 x)(y y3)=-6x3y4. (2)(-5a2b3) (-4b2c)=(-5)(-4)a2 (b3 b2) c=20a2b5c. 例 3 计

12、算 . (1)2 a2(3a2-5b) ； (2)(-2a2)(3 ab2-5 ab3). ( 分析 ) 单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用. 解： (1)2 a2(3 a2-5b) =2a2 3a2-2 a2 5b 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - =6a4-10 a2b. 解法 1：(2)(-2a2)(3 ab2-5 ab3)=(-2 a2) 3ab2-(-2 a2) 5ab3=-6 a3b2+10a3b3. 解法

13、 2：(2)(-2a2)(3 ab2-5 ab3) =-(2 a2 3ab2-2 a2 5ab3) =-(6 a3b2-10 a3b3) =-6 a3b2+10a3b3. 小结单项式与多项式相乘时，要注意两个问题：(1) 要用单项式与多项式的每一项相乘，避免漏乘；(2) 单项式带有负号时，如(2) 小题，乘的时候容易弄错符号，为了避免这一错误出现，可以用 (2) 小题的第二种解法，就能有效地解决. 例 4 计算 . (1)(x-3y)(x+7y)； (2)(5x+2y)(3x-2y). ( 分析 ) 先用多项式乘法法则计算，最后要合并同类项. 解： (1)(x-3y)(x+7y)=x2+7xy

14、-3xy-21y2=x2+4xy-21y2. (2)(5x+2y)(3x-2y)=15x2-1Oxy+6xy-4y2=15x2-4xy-4y2. 学生做一做计算 . (1)(x+2)(x-3)； (2)(3x-1)(2x+1). 老师评一评 (1)(x+2)(x-3)=x2-3x+2x-6=x2-x-6. (2)(3x-1)(2x+1)=6x2+3x-2x-1=6x2+x-1. 综合应用题本节知识的综合应用包括：(1) 整式乘法与方程的综合应用；(2) 整式乘法与不等式的综合应用； (3) 整式乘法与整式加减的综合应用. 例 5 化简 . (1)( a+b)( a-2b)-(a+2b)( a-

15、b) ；(2)5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5). ( 分析 ) 整式加减与整式乘法的混合计算，要依照先乘法，后加减的顺序计算. 解： (1)( a+b)( a-2b)-(a+2b)( a-b) =( a2- ab-2b2)-( a2+ab-2b2) =a2- ab-2b2-a2- ab+2b2=-2ab. (2)5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5) =(5x3+10 x2+5x)-(2x2-7x-15) =5x3+10 x2+5x-2x2+7x+15 =5x3+8x2+12x+15. 学生做一做化简 . (1)(3y+2)(y-4)-3(y-2)(y-3)；(2)(3x

16、-2)(x-3)-2(x+6)(x-5)+31x2-7x-13. 老师评一评 (1)原式 =5y-26. (2) 原式 =32x2-20 x+53. 例 6 解方程 (3x-2)(2x-3)=(6x+5)(x-1). ( 分析 ) 解方程时，有括号的先去括号. 解： (3x-2)(2x-3)=(6x+5)(x-1)，6x2-13x+6=6x2-x-5 ，6x2-13x-6x2+x=-5-6 ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - - -1

17、2x=-11 ， x=1211. 学生做一做解下列方程 . (1)3x(7-x)=18-x(3x-15)； (2)21x(x+2)=1-x(3-21x). 老师评一评 (1)x=3；(2)x=41. 小结在解存在整式乘法的方程时，依照先乘法，后加减的顺序，其他步骤没有变化. 例 7 解不等式 (3x+4)(3x-4)9(x-2)(x+3). 解： (3x+4)(3x-4)9(x-2)(x+3)，9x2-16 9(x2+x-6) ，9x2-16 9x2+9x-54 ，9x2-9x2-9x 16-54 ，-9x 38, x938. 学生做一做解不等式 (x+3)(x-7)+8(x+5)(x-1).

18、 老师评一评 x -1. 探索与创新题主要考查灵活解决问题和创新的能力. 例 8 已知 mba mba=m12，求 a 的值 . ( 分析 ) 由同底数幂乘法法则可把原式变形为m)()(baba=m12，由此得到( a+b)+( a-b)=12 ，进而求出a 的值 . 解：mba mba=m12，m)()(baba=m12. ( a+b)+( a-b)=12 ， 2a=12. a=6. 学生做一做 (1)若 644 83=2x，则 x= ；(2) 若 x2n=4，x6n= ，(3x3n)2= ；(3) 已知 am=2，an=3，则 am+n= . 老师评一评 (1)33 (2)64 576 (

19、3)6 小结在应用同底数幂乘法、幂的乘方及积的乘方运算解决问题时，贵在灵活，尤其是公式： am an=am+n，(am)n=amn,( ab)m= ambm(m，n 为正整数 ) ，它们的逆应用非常广泛，大家要引起充分的重视. 例 9 计算 (-3)2004 (31)2005. ( 分析 ) 按照本 题的运算级别，应先乘方后乘法，但是我们看到，要计算出(-精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 3)2004 (31)2005的具体值是相

20、当困难的，也是不必要的. 因此我们不妨仔细观察本题的特点，虽然两个乘方运算的指数都很大，但是它们两者却只相差1，而且它们的底数互为负倒数，而且互为负倒数的乘积是-1 ，因此考虑公式( ab)m=ambm的逆应用，即把指数大的乘方运算中的指数进行变化. 解： (-3)2004 (31)2005=(-3)2004 (31)2004+1=(-3)2004 (31)200431=(-3)3120043131=(-1)200431=131=31. 学生做一做 (1)(51)5993 252996= ；(2)(-32)2001(241)1000= ；(3)(131)2001(-141)2002 (-53)

21、2003= . 老师评一评(1)(51)5993 252996=(51)5993 (52)2996=(51)5993 55992=51 (51)5992 55992=51.(2)(-32)2001(241)1000=(-32)2001(49)1000=(-32) (-32)2000(23)21000=(-32) (-32)2000 (23)2000=(-32) (-32) 232000=(-32) (-1)2000=(-32) 1=-32. (3) 原式 =(34)2001 (-45)2002 (-53)2003=34 (-45) (-53)2001 (-45) (-53)2=12001 (-

22、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 45)259=-209. 例 10 已知 2x=3，2y=5，2z=15. 求证 x+y=z. ( 分析 ) 要说明 x+y=z，只需说明2x+y=2z即可 . 证明：2x=3，2y=5， 2x+y=2x 2y=3 5=15. 又 2z=15，2x+y=2z. x+y=z. 例 11 比较大小 . (1)1625与 290；(2)2100与 375. ( 分析 ) 比较两个正数幂的大小，一种是指数

23、相同，比较底数大小，另一种是底数相同，比较指数大小. 解： (1) 1625=(24)25=2100，290=290，又 21， 2902100，即 1625290. (2) 2100=(24)25=1625，375=(33)25=2725，且 1627， 16252725，即 2100375. 学生做一做比较 355，444，533的大小 . 老师评一评 355=(35)11=24311， 444=(44)11=25611， 533=(53)11=12511，且256 243125， 256112431112511，即 444355533. 例 12 如果 (x+q)(x+51) 的积中不含

24、x 项，那么q= . ( 分析 ) 欲求 q 的值，则需化简(x+q)(x+51)=x2+(51+q)x+51q, 因为积中不含x 项，即 x 项的系数是0，所以51+q=0，所以 q=-51. 小结欲求多项式中不含某项，即某项的系数为0. 例 13 若 n 为自然数，试说明n(2n+1)-2n(n-1)的值一定是3 的倍数 . 解：n(2n+1)-2n(n-1) =2n2+n-(2n2-2n) =2n2+n-2n2+2n =3n，且 n 为自然数， n(2n+1)-2n(n-1)一定是 3 的倍数 . 学生做一做用你所学的知识，说明523-521能被 120 整除 . 老师评一评 523-5

25、21=521+2-521=521 52-521=521 (52-1)=24 521=24 5 520=120 520，是120 的整数倍， 523-521能被 120 整除 . 例 14 设 m2+m-1=0，求 m3+2m2+2004 的值 . ( 分析 ) 欲求代数式的值，从m2+m-1=0 中求 m 的值是比较困难的，也是不必要的，只需利用单项式与多项式的积的逆运算即可. 解：m2+m-1=0，m2+m=1. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - -

26、- - - - - m3+2m2+2004 =m(m2+m)+m2+2004 =m 1+m2+2004 =m2+m+2004 =1+2004 =2005. m3+2m2+2004=2005. 学生做一做若 2x+5y-3=0 ，则 4x 32y= . 老师评一评 2x+5y-3=0 ，2x+5y=3， 4x 32y=(22)x (25)y-22x 25y=22x+5y=23=8. 中考展望点击中考中考命题总结与展望历年中考多为填空题、选择题或化简求值题，经常与函数、方程等知识综合出题. 中考试题预测例 1 化简 (-x)3 (-x)2的结果正确的是( ) A.-x6B.x6C.x5D.-x5(

27、 分析 ) 本题主要考查幂的乘方与单项式的乘法，解法有两种：原式 =(-x3) x2=-x5； 原式 =(-x)5=-x5. 故正确答案为D项. 例 2 下列运算中，正确的是( ) A.x2 x3=x6B.( ab)3=a3b3C.3a+2a=5a2D.( a-1)2=a2-1 ( 分析 ) 本题主要考查整式的乘法与合并同类项. 其中A 项不正确， x2 x3=x5，主要考查同底数幂的乘法公式；B 项正确，主要考查积的乘方；C 项不正确，主要考查合并同类项； D项不正确，主要考查多项式相乘，故选择B项. 例 3 下列运算正确的是( ) A.x2 x3=x6B.x2+x2=2x4C.(-2x)2

28、=-4x2D.(-2x2)(-3x3)=6x5( 分析 ) 本题主要考查整式的加减和乘法. 答案 :D 例 4 计算： 4x2 (-2xy)= . ( 分析 ) 本题旨在检测单项式乘法法则.4x2 (-2xy)=-8x3y. 例 5 计算： (-21x3y)2= . ( 分析 ) 本题旨在考查积的乘方与幂的乘方.(-21x3y)2=(-21)2(x3)2y2=41x6y2. 例 6 下列各式正确的是( ) A.(- a)2=a2B.(-a)3=a3C.2a=- a2D.3a=a3答案 :A 例 7 化简： a3 a2b= . 答案： a5b 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -

29、- - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 例 8 计算： 9xy (-31x2y)= . 答案： -3x3y2课堂小结本节归纳1. 本节主要学习了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方公式. 整式的乘法，包括单项式乘法、单项式乘以多项式及多项式乘法. 2. 必须掌握每种情况的运算法则，计算时一定要正确运用法则和有关知识. 自我评价知识巩固1. 如果 xm-3 xn=x2，那么 n 等于 ( ) A.m-1 B.m+5 C.4-m D.5-m 2. 下列计算错误的是( ) A.(- a) (-

30、a)2=a3B.(- a)2 (- a)2=a4C.(- a)3 (- a)2=-a5D.(- a)3 (- a)3=a63. 计算( a3)2+a2 a4的结果为 ( ) A.2a9B.2a6C.a6+a8D.a124. 计算(32)2003 1.52002 (-1)2004的结果是 ( ) A.32B.23C.-32D.-235. 方程 x(x-3)+2(x-3)=x2-8 的解为 ( ) A.x=2 B.x=-2 C.x=4 D.x=4 6. 若 3x(xn+5)=3xn+1-7 ，则 x= . 7. 若( an bm b)3=a9b15，则 m= ，n= . 8. 计算： (-21x2

31、y)3 (-3xy2)2= . 9. 计算： (4 106) (8 103)= . 10. 当 x=2 时，代数式ax3+bx-7 的值为 5，则 x=-2 时，这个代数式的值为 . 11. 计算 . (1)(-x)3(-y)2-(-x3y2) ；(2)890 (21)90 (21)180；(3)24 45 (-0.125)4；(4)(x-6)(x2+x+1)-x(2x+1)(3x-1)；(5)2( a-4)( a+3)-(2 a+1)( a-1) ；(6)(2x+1)(x-1)-(x+2)(2x-1). 12. 已知 2x=a，2y=b，求 2x+y+23x+2y的值. 精品资料 - - -

32、 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 13. 要使 x(x2+a)+3x-2b=x3+5x+4 成立，则 a,b 的值分别为多少？14. 若(3x2-2x+1)(x+b)中不含 x2项，求 b 的值 . 15. 若 3k(2k-5)+2k(1-3k)=52，求 k 的值 . 16. 解不等式 x2+21x(3-2x)241. 17. 观察下列等式：13=1213+23=3213+23+33=6213+23+33+43=102想一想，等式左边各项的底数与等

33、式右边的底数有什么关系？猜一猜，可以得出什么规律？18. 计算 (101918121 1)10 (10 9 8 73 2 1)10. 参考答案1.D 2.A 3.B 4.A 5.A 6.-157 7.4 3 8.-89x8y7 9.3.2 1010 10.-19 11.(1) 原式 =0；(2) 解：原式 =(23)90 (21)90 (21)180=2270 (21)270=(2 21)270=1. (3) 解：原式 =(2 4 0.125)4 4=14 4=4. (4) 原式 =-5x3-6x2-4x-6 ；(5) 原式 =- a-23 ；(6) 原式 =1-4x. 12. 提示：2x=a

34、，2y=b， 2x+y+23x+2y=2x 2y+23x 22y=2x 2y+(2x)3 (2y)2=ab+ a3b2. 13. 解：原等式可化为x3+(a+3)x-2b=x3+5x+4，14. 提示： (3x2-2x+1)(x+b)=3x3+(3b-2)x2+(1-2b)x+b ， 多项式中不含x2项，(3b-2)=0, b=32. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 15.k=-4. 16.x23. 17. 提示：由上述等式可

35、以发现：13=1213+23=32=(1+2)213+23+33=62=(1+2+3)213+23+33+43=102=(1+2+3+4)2综上所述，有 :13+23+33+ +n3=(1+2+3+4+ +n)2. 18. 解： (101918121 1)10 (10 9 8 73 2 1)10=(1019181 21 10 9 8 73 2 1)10=1. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -