2022年对数与对数函数知识点及例题讲解教师版 .pdf

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1、基础例题1.函数 f（x）=|log2x|的图象是1 1 1 -11 1 1 1 1 xxxxyyyyOOOOABCD解析： f（x）=.10,log, 1,log22xxxx答案： A 2.若 f1（x）为函数f（x）=lg（x+1）的反函数，则f1（x）的值域为 _. 解析： f1（x）的值域为f（x）=lg（x+1）的定义域 .由 f（x）=lg（x+1）的定义域为（1，+） ， f1（x）的值域为（ 1，+） . 答案： （ 1，+）3.已知 f（x）的定义域为0，1 ，则函数 y=flog21（3x） 的定义域是 _. 解析：由 0log21（3x）1log211log21（3x）

2、log2121213x12x25. 答案：2，254.若 logx7y=z，则 x、y、z之间满足A.y7=xzB.y=x7zC.y=7xzD.y=zx解析：由 logx7y=zxz=7yx7z=y，即 y=x7z. 答案： B 5.已知 1mn，令 a=（lognm）2，b=lognm2，c=logn（lognm） ，则A.abc B.acbC.b acD.cab解析： 1mn， 0lognm1. logn（ lognm） 0. 答案： D 6.若函数 f（x）=logax（0a1）在区间 a，2a上的最大值是最小值的3 倍，则 a 等于A.42B.22C.41D.21解析： 0a1， f（

3、x）=logax 是减函数 .logaa=3loga2a. loga2a=31.1+loga2=31.loga2=32.a=42. 答案： A 7.函数 y log2ax1（ a0）的对称轴方程是x2，那么 a 等于A. 21B.21C.2 D.2 解析： y=log2|ax1|=log2|a（xa1）|，对称轴为x=a1，由a1=2 得 a=21. 答案： B 注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f（0）=f（4） ，可得 0=log2|4a1|.|4a+1|=1.4a+1=1 或 4a+1=1. a0， a=21. 8.函数 f（x）=log2|x|，g（x）=x2+2，则 f（x） g（

4、x）的图象只可能是精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - OxyOxyOxyOxyA B C D解析： f（x）与 g（x）都是偶函数，f（x） g（x）也是偶函数，由此可排除A、D.又由 x+时， f（x） g（x），可排除B. 答案： C 9.设 f 1（x）是 f（ x）=log2（x+1）的反函数，若1+ f 1（a） 1+ f 1（b） =8，则 f（a+b）的值为A.1 B.2 C.3 D.log23 解析： f1（x）=2x

5、1， 1+ f1（a） 1+ f1（b） =2a2b=2a+b.由已知 2a+b=8， a+b=3. 答案：C 10.方程 lgx+lg（x+3）=1 的解 x=_. 解析：由 lgx+lg（x+3）=1，得 x（x+3）=10，x2+3x10=0. x=5 或 x=2.x0， x=2. 答案： 2 典型例题【例 1】 已知函数 f（x）=,4),1(,4,)21(xxfxx则 f（2+log23）的值为A.31B.61C.121D.241剖析： 32+log234，3+log234，f（2+log23）=f（3+log23）=（21）3+log23=241. 答案： D 【例 2】 求函数

6、ylog2x的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 解： x 0，函数的定义域是xxR 且 x0.显然 ylog2x是偶函数，它的图象关于y 轴对称 .又知当 x0 时，ylog2xylog2x.故可画出 ylog2x的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（，0） ，递增区间是（ 0，） . 1-1Oxy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观. 【例 3】 已知 f（x）=log313（ x1）2 ，求 f（x）的值域及单调区间. 解：真数3（x1）23，log313（x1）2log313=1，即 f（x）的值域是 1，+）.又 3（x1）20，得 13x1+3，x（ 13，1时，3（

7、 x1）2单调递增，从而f（x）单调递减； x1，1+3）时， f（x）单调递增 . 注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例 4】已知 y=loga（3ax）在 0，2上是 x 的减函数，求a 的取值范围 . 解： a0 且 a 1， t=3ax 为减函数 .依题意 a1，又 t=3ax 在 0，2上应有t0， 32a0.a23.故 1a23. 【例 5】设函数f（x）=lg（1x） ，g（x）=lg（1+x） ，在 f（x）和g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小 . 解： f（x） 、g（x）的公共定义域为（1，1）. |f（x）|g（x）|=|lg（1x）|l

8、g（1+x）|. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - （1）当 0 x1 时， |lg（1x）|lg（1+x） |=lg（1x2） 0；（2）当 x=0 时，|lg（1x）|lg（1+x）|=0；（3）当 1x0 时， |lg（ 1x）|lg（1+x）|=lg（1x2） 0. 综上所述，当0 x1 时， |f（x）|g（x）|；当 x=0 时， |f（x）|=|g（x）|；当 1x0 时， |f（x）|g（x） |. 【例 6】 求函

9、数 y=2lg（x2）lg（x3）的最小值 . 解：定义域为x3，原函数为ylg3)2(2xx. 又3)2(2xx3442xxx31)3(2)3(2xxx（ x3）31x24，当 x4 时， yminlg4. 【例 7】 （ 北京宣武第二次模拟考试）在f1（x）=x21，f2（x）=x2，f3（x）=2x，f4（ x）=log21x 四个函数中， x1x21时，能使21f（x1）+f（x2） f（221xx）成立的函数是A.f1（x）=x21B.f2（x）=x2C.f3（x）=2x D.f4（x）=log21x解析：由图形可直观得到：只有f1（x）=x21为“上凸”的函数. 答案： A 探究创

10、新1.若 f（x）=x2x+b，且 f（log2a）=b，log2f（a） =2（a1）. （1）求 f（log2x）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时， f（log2x） f（1）且 log2f（x） f（1）？解： （1） f（x）=x2x+b， f（log2a）=log22alog2a+b. 由已知有 log22alog2a+b=b，（ log2a1）log2a=0. a1， log2a=1.a=2.又 log2f（a） =2， f（a）=4. a2a+b=4，b=4a2+a=2.故 f（x）=x2x+2，从而 f（log2x）=log22xlog2x+2=（log2x21）2+

11、47. 当 log2x=21即 x=2时， f（log2x）有最小值47. （2）由题意2)2(log22loglog22222xxxx21102xxx或0 x1. 2.已知函数f（x）=3x+k（k 为常数）， A（ 2k，2）是函数 y= f1（x）图象上的点. （1）求实数 k 的值及函数f1（x）的解析式；（2）将 y= f1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（ x）的图象，若2 f1（x+m3） g（x） 1 恒成立，试求实数m 的取值范围 . 解： （1） A（ 2k，2）是函数 y= f1（x）图象上的点，B（ 2， 2k）是函数y=f（x）上的点 . 2k=3

12、2+k.k=3. f（x）=3x3.y= f1（x）=log3（x+3） （x 3）. （2）将 y= f1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）=log3x（x0） ，要使 2 f1（x+m3） g（x）1 恒成立，即使2log3（x+m） log3x1 恒成立，所以有x+xm+2m3 在精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - x0 时恒成立，只要（x+xm+2m）min3. 又 x+xm2m（当且仅当x=xm，即

13、x=m时等号成立） ，（ x+xm+2m）min=4m，即 4m3.m169. 小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的. 2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与 1 比较分出大于1 还是小于 1，然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -