2022年对数与对数运算第1课时教案 .pdf

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1、2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算整体设计教学分析我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“ 阅读与

2、思考 ” 的内容 ,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 三维目标1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,并掌握化简求值的技能 ;运用对数运算性质解决有关问题.培养学生分析、 综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质；让学生经历并推理

3、出对数的运算性质;让学生归纳整理本节所学的知识. 3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;通过对数的运算法则的学习 ,培养学生的严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性,增加学生的成功感,增强学习的积极性. 重点难点教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质,对数运算的性质与对数知识的应用. 教学难点 :对数概念的理解,对数运算性质的推导及应用. 课时安排3 课时教学过程第 1 课时对数与对数运算(1) 导入新课思路 1.1.庄子：一尺之棰,日取其半 ,万世不竭 .（1）取 4 次 ,还有多长？（2）取多少次 ,还有0.125 尺

4、？2.假设 2002 年我国国民生产总值为a 亿元 ,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是 2002 年的 2 倍？抽象出： 1.(21)4？ (21)x0.125x=? 2.(1+8%)x=2x=?都是已知底数和幂的值,求指数 .你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子 ,已知底数和幂的值,求指数 ,这就是我们这节课所要学习的对数引出对数的概念,教师板书课题 :对数与对数运算(1). 思路 2.我们前面学习了指数函数及其性质,同时也会利用性质解决问题,但仅仅有指数函数还不够 ,为了解决某些实际问题,还要学习对数函数,为此我们先学习对数 引出对数的概念,教师板书课题 :对数与对数运

5、算(1). 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 推进新课新知探究提出问题(对于课本 P572.1.2 的例 8) 利用计算机作出函数y=131.01x的图象 . 从图象上看 ,哪一年的人口数要达到18 亿、 20 亿、 30 亿?如果不利用图象该如何解决,说出你的见解？即1318=1.01x,1320=1.01x,1330=1.01x,在这几个式子中,x 分别等于多少？你能否给出一个一般性的结论? 活动： 学生讨论并作图,教师适时提示

6、、点拨. 对问题 ,回忆计算机作函数图象的方法,抓住关键点 . 对问题 ,图象类似于人的照片,从照片上能看出人的特点,当然从函数图象上就能看出函数的某些点的坐标. 对问题 ,定义一种新的运算. 对问题 ,借助 ,类比到一般的情形. 讨论结果： 如图 2-2-1-1. 图 2-2-1-1 在所作的图象上,取点 P,测出点 P 的坐标 ,移动点 P,使其纵坐标分别接近18,20,30,观察这时的横坐标 ,大约分别为32.72,43.29,84.04,这就是说 ,如果保持年增长率为1 个百分点 ,那么大约经过 33 年,43 年,84 年,我国人口分别约为18 亿,20 亿,30 亿. 1318=1

7、.01x,1320=1.01x,1330=1.01x,在这几个式子中,要求x 分别等于多少,目前我们没学这种运算 ,可以定义一种新运算,即若1318=1.01x,则 x 称作以 1.01为底的1318的对数 .其他的可类似得到,这种运算叫做对数运算. 一般性的结论就是对数的定义: 一般地 ,如果 a(a0,a1) 的 x 次幂等于 N,就是 ax=N,那么数 x 叫做以 a为底 N 的对数 (logarithm),记作 x=logaN,其中 a叫做对数的底数,N 叫做真数 . 有了对数的定义,前面问题的x 就可表示了 : x=log1.011318,x=log1.011320,x=log1.0

8、11330. 由此得到对数和指数幂之间的关系: a N b 指数式 ab=N 底数幂指数对数式 logaN=b 对数的底数真数对数例如： 42=162=log416;102=1002=log10100;421=221=log42;10-2=0.01-2=log100.01 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 提出问题为什么在对数定义中规定a0,a1?根据对数定义求loga1 和 logaa(a0,a 1)的值 . 负数与零有没有对数?

9、 Naalog=N 与 logaab=b(a0,a 1)是否成立 ? 讨论结果： 这是因为若a0,则 N 为某些值时 ,b 不存在 ,如 log（2）21; 若 a=0,N 不为 0 时,b 不存在 ,如 log03,N 为 0 时,b 可为任意正数,是不唯一的 ,即 log00 有无数个值; 若 a=1,N 不为 1 时,b 不存在 ,如 log12,N 为 1时,b 可为任意数 ,是不唯一的 ,即 log11 有无数个值 .综之 ,就规定了 a0 且 a1.loga1=0,logaa=1. 因为对任意a0 且 a1, 都有 a0=1,所以 loga1=0. 同样易知： logaa=1. 即

10、 1 的对数等于0,底的对数等于1. 因为底数a0 且 a1, 由指数函数的性质可知,对任意的bR,ab0 恒成立 ,即只有正数才有对数 ,零和负数没有对数. 因为 ab=N,所以 b=logaN,ab=aNaalog=N,即 aNaalog=N. 因为 ab=ab,所以 logaab=b.故两个式子都成立.(aNaalog=N 叫对数恒等式) 思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解,但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用,你们知道是哪两类吗? 活动： 同学们阅读课本P68的内容 ,教师引导 ,板书 . 解答：常用对数： 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.

11、为了简便 ,N 的常用对数log10N简记作 lgN. 例如： log105 简记作 lg5;log103.5 简记作 lg3.5. 自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数e=2.718 28 为底的对数 ,以 e 为底的对数叫自然对数 ,为了简便 ,N 的自然对数logeN 简记作 lnN. 例如： loge3简记作 ln3;loge10 简记作 ln10. 应用示例思路 1 例 1 将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式：（1）54=625;（2）2-6=641;（3）(31)m=5.73; (4)log2116=-4;(5)lg0.01=-2;(6)ln10=2.303. 活动：学生

12、阅读题目 ,独立解题 ,把自己解题的过程展示在屏幕上,教师评价学生 ,强调注意的问题. 对（ 1）根据指数式与对数式的关系,4 在指数位置上 ,4 是以 5 为底 625 的对数 . 对（ 2）根据指数式与对数式的关系,-6 在指数位置上 ,-6 是以 2 为底641的对数 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 对（ 3）根据指数式与对数式的关系,m 在指数位置上 ,m 是以31为底 5.73 的对数 . 对(4)根据指数式与对数式

13、的关系,16 在真数位置上 ,16 是21的-4 次幂 . 对(5)根据指数式与对数式的关系,0.01 在真数位置上 ,0.01 是 10 的 -2 次幂 . 对(6)根据指数式与对数式的关系,10 在真数位置上 ,10 是 e 的 2.303 次幂 . 解： （1）log5625=4;（2）log2641=-6;（3）log315.73=m; （4）(21)-4=16;(5)10-2=0.01;(6)e2.303=10. 思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题? 活动： 学生考虑指数式与对数式互化的依据,回想对数概念的引出过程,理清对数与指数幂的关系 ,特别是位置的对照. 解答： 若是指数式

14、化为对数式,关键要看清指数是几,再写成对数式.若是对数式化为指数式,则要看清真数是几,再写成幂的形式.最关键的是搞清N 与 b在指数式与对数式中的位置,千万不可大意 ,其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据. 变式训练课本 P64练习1、2. 例 2 求下列各式中x 的值: （1）log64x=32;（2）logx8=6; （3）lg100=x; （4）-lne2=x. 活动： 学生独立解题 ,教师同时展示学生的作题情况,要求学生说明解答的依据,利用指数式与对数式的关系 ,转化为指数式求解. 解： （1）因为 log64x=-32,所以 x=6432=(2)32(6=2-4=161. （2）

15、因为 logx8=6,所以 x6=8=23=(2)6.因为 x0,因此 x=2. （3）因为 lg100=x,所以 10 x=100=102.因此 x=2. （4）因为 -lne2=x,所以 lne2=-x,e-x=e2.因此 x=-2. 点评： 本题要注意方根的运算,同时也可借助对数恒等式来解. 变式训练求下列各式中的x：log4x=21;logx27=43;log5（log10 x）=1. 解： 由 log4x=21,得 x=421=2; 由 logx27=43,得 x43=27,所以 x=2734=81; 由 log5（log10 x）=1,得 log10 x=5,即 x=105. 精品

16、资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 点评： 在解决对数式的求值问题时,若不能一下子看出结果,根据指数式与对数式的关系,首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果. 思路 2 例 1 以下四个命题中,属于真命题的是（）（1）若 log5x=3,则 x=15 （2）若 log25x=21,则 x=5 （ 3）若 logx5=0,则 x=5（4）若 log5x=3,则 x=1251A.（2） （3）B.（1） （ 3）C.（2）

17、（4）D.（3） （4）活动： 学生观察 ,教师引导学生考虑对数的定义. 对数式化为指数式,根据指数幂的运算性质算出结果. 对于（ 1）因为 log5x=3,所以 x=53=125,错误 ; 对于（ 2）因为 log25x=21,所以 x=2521=5,正确 ; 对于（ 3）因为 logx5=0,所以 x0=5,无解 ,错误 ; 对于（ 4）因为 log5x=3,所以 x=5-3=1251,正确 . 总之（ 2） （4）正确 . 答案： C 点评： 对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据. 例 2对于 a0,a 1, 下列结论正确的是（）（1）若 M=N, 则 logaM=logaN （2）

18、若 logaM=logaN,则 M=N （3）若 logaM2=logaN2,则M=N （4）若 M=N, 则 logaM2=logaN2A.（1） （3）B.（2） （4）C.（2）D.（1） （2） （4）活动： 学生思考 ,讨论 ,交流 ,回答,教师及时评价 . 回想对数的有关规定. 对（ 1）若 M=N, 当 M 为 0 或负数时 logaM logaN,因此错误 ; 对（ 2）根据对数的定义,若 logaM=logaN,则 M=N, 正确 ; 对（ 3）若 logaM2=logaN2,则 M= N,因此错误 ; 对（ 4）若 M=N=0 时,则 logaM2与 logaN2都不存在

19、,因此错误 . 综上 ,（2）正确 . 答案： C 点评： 0 和负数没有对数,一个正数的平方根有两个. 例 3 计算：(1)log927;(2)log4381;(3)log)32(2-3);(4)log345625. 活动： 教师引导 ,学生回忆 ,教师提问 ,学生回答 ,积极交流 ,学生展示自己的解题过程,教师及时评价学生 .利用对数的定义或对数恒等式来解.求式子的值 ,首先设成对数式,再转化成指数式或指数方程求解.另外利用对数恒等式可直接求解,所以有两种解法. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

20、- -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 解法一： (1)设 x=log927,则 9x=27,32x=33,所以 x=23; (2)设 x=log4381,则(43)x=81,34x=34,所以 x=16; (3)令 x=log)32(2-3)=log)32(2+3)-1, 所以 (2+3)x=(2+3)-1,x=-1; (4)令 x=log345625,所以(345)x=625,534x=54,x=3. 解法二： (1)log927=log933=log9923=23; (2)log4381=log43(43)16=16; (3)log)32(2-3)=log)

21、32(2+3)-1=-1; (4)log345625=log345(345)3=3. 点评： 首先将其转化为指数式,进一步根据指数幂的运算性质算出结果,对数的定义是转化和对数恒等式的依据. 变式训练课本 P64练习3、4. 知能训练1.把下列各题的指数式写成对数式: (1)4216;（2）30=1;（3）4x2;（ 4）2x0.5;(5)54=625;(6)3-2=91;(7)(41)-2=16. 解： (1)2log416;(2)0log31;(3)log4;(4) log20.5;(5)4=log5625; (6)-2=log391;(7)-2=log4116. 2.把下列各题的对数式写成

22、指数式: (1) log527;(2) log87;(3) log43;(4) log731; (5)log216=4;(6)log3127=-3;(7)logx3=6;(8)logx64=-6; (9)log2128=7;(10)log327=a. 解： (1)5x27;(2)8x ;(3)4x3;(4)7x31;(5)24=16;(6)(31)-3=27;(7)(3)6 =x;(8)x-6=64;(9)27=128;(10)3a=27. 3.求下列各式中x 的值: (1)log8x=32;(2)logx27=43;(3)log2（log5x）=1;(4)log3（lgx）=0. 精品资料

23、- - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 解： (1)因为 log8x=32,所以 x=832=(23)32=)32(32=2-2=41; (2)因为 logx27=43,所以 x43=27=33,即 x=(33)34=34=81; (3)因为 log2（log5x）=1,所以 log5x=2,x=52=25; (4)因为 log3（lgx）=0,所以 lgx=1,即 x=101=10. 4.(1)求 log84 的值 ; (2)已知 loga2=m

24、,loga3=n,求 a2m+n的值 . 解： (1)设 log84=x,根据对数的定义有8x=4,即 23x=22,所以 x=32,即 log84=32; (2)因为 loga2=m,loga3=n,根据对数的定义有am=2,an=3, 所以 a2m+n=(am)2 an=(2)2 3=4 3=12. 点评： 此题不仅是简单的指数与对数的互化,还涉及到常见的幂的运算法则的应用. 拓展提升请你阅读课本75 页的有关阅读部分的内容,搜集有关对数发展的材料,以及有关数学家关于对数的材料 ,通过网络查寻关于对数换底公式的材料,为下一步学习打下基础. 课堂小结(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；

25、(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式； (6)两种特殊的对数. 作业课本 P74习题 2.2A 组1、2. 【补充作业】1.将下列指数式与对数式互化,有 x 的求出 x 的值 . （1）521=51;（2）log24=x;（3）3x=271; （4）(41)x=64;（5）lg0.000 1=x; （ 6）lne5=x. 解： （1）521=51化为对数式是log551=21; （2）x=log24 化为指数式是 (2)x=4,即 22x=22,2x=2,x=4; （3）3x=271化为对数式是x=log3271,因为 3x=(31)3=3-3,所以 x=-3; （

26、4）(41)x=64 化为对数式是x=log4164,因为(41)x=64=43,所以 x=-3; （5）lg0.0001=x 化为指数式是10 x=0.0001, 因为 10 x=0.000 1=10-4,所以 x=-4; （6）lne5=x 化为指数式是ex=e5,因为 ex=e5,所以 x=5. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 2.计算51log53log333的值 . 解： 设 x=log351,则 3x=51,(321)

27、x=(51)21,所以 x=log513. 所以 351log5log3333=513log35=515=556. 3.计算Ncbcbaalogloglog?(a0,b0,c0,N0). 解：Ncbcbaalogloglog?=Nccbbloglog?=Ncclog=N. 设计感想本节课在前面研究了指数函数及其性质的基础上,为了运算的方便,引进了对数的概念,使学生感受到对数的现实背景,它有着丰富的内涵,和我们的实际生活联系密切,也是以后学习对数函数的基础 ,鉴于这种情况 ,安排教学时 ,无论是导入还是概念得出的过程,都比较详细 ,通俗易懂 ,要反复练习 ,要紧紧抓住它与指数概念之间的联系与区别

28、,结合指数式理解对数式,强化对数是一种运算,并注意对数运算符号的理解和记忆,多运用信息化的教学手段,顺利完成本堂课的任务 ,为下一节课作准备. (设计者：路致芳)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -