2022年中考数学专题复习3.pdf

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1、2012 中考数学专题复习二次函数有关四边形的问题一、知识要点：1、熟悉特殊四边形的性质和判定，把问题进行转化，转化为边、角之间的关系，主意要保证条件充分；2、合理选择方法，如相似、勾股定理、三线合一等，往往能使过程变得简单；3、解题过程往往要用到分类讨论，理解题意要准确、分析问题要到位。二、例题分析：例 1、 如图，抛物线与 y 轴交于点A，过点 A 的直线与抛物线交于另一点 B，过点 B 作 BCx 轴，垂足为点C（3，0）. （1）求直线 AB 的函数关系式；（2）动点 P 在线段 OC 上，从原点O 出发以每钞一个单位的速度向C 移动，过点P 作 x轴，交直线AB 于点 M，抛物线于点

2、N，设点 P 移动的时间为t 秒， MN 的长为 s 个单位，求 s与 t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设（ 2）的条件下（不考虑点P 与点 O，点 C 重合的情况），连接CM，BN，当 t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 的值，平行四边形BCMN 是否为菱形？说明理由 . 分析：第（ 1）根据 A、B 两点坐标，用待定系数法易得。第（2）s 即为线段MN 的长度，因P在 OC 上移动，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 24 页 - - -

3、- - - - - - - 所以点 N 必在 M 的上方，所以s 就是 N 点的纵坐标减去M 点的纵坐标。第（3）要四边形 BCMN 为平行四边形，因BC MN ，只要BC MN 即可；平行四边形BCMN 是否为菱形，只要把所求 t 的值代入，看邻边是否相等。例 2、如图，已知抛物线ya(x1)2(a0)经过点A( 2，0)，抛物线的顶点为D，过 O作射线 OMAD过顶点 D 平行于轴的直线交射线OM 于点 C，B在轴正半轴上， 连结BC（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线OM 运动， 设点 P 运动的时间为 t（s）问：当t 为何值时

4、，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若 OCOB，动点 P 和动点 Q 分别从点O 和点 B 同时出发，分别以每秒1 个长度单位和 2 个长度单位的速度沿OC 和 BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为t（ s），连接 PQ，当 t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 分析：（ 2）关键是合理转化为相应线

5、段之间的关系；（3）把不规则最值图形转化为规则图形，利用二次函数求最值。例 3、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y =+1，点 C 的坐标为 ( 4，0)，平行四边形OABC 的顶点 A，B 在抛物线上，AB 与 y 轴交于点 M，已知点 Q(x，y)在抛物线上，点P(t， 0)在 x 轴上 . (1) 写出点 M 的坐标；(2) 当四边形 CMQP 是以 MQ，PC 为腰的梯形时 . 求 t 关于 x 的函数解析式和自变量x 的取值范围；当梯形 CMQP 的两底的长度之比为1：2 时，求 t 的值 . 分析：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - -

6、- 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 分析：（ 2）有两边平行的四边形并不一定是平行四边形，要把这两条边重合及另两边也平行的情况排除掉；（3）因两边大小不定，要进行分类讨论，巩固练习1、如图，已知二次函数yx22x1 的图象的顶点为A，二次函数yax2bx 的图象与 x 轴交于原点O 及另一点 C，它的顶点B 在函数yx22x1 的图象的对称轴上（1）求点 A 与点 C 的坐标；（2）当四边形AOBC 为菱形时，求函数yax2bx 的关系式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -

7、 - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 2、如图，抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点C（0， 1），且对釉轴 x=1(1)求出抛物线的解析式及A、B 两点的坐标；(2)在 x 轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC 的面积为3若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由(使用图 1)；(3)点 Q 在 y 轴上，点 P 在抛物线上，要使Q、P、A、B 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标 (使用图 2)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -

8、 - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 图 1 图 2 3、如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，正方形OABC 的边长为2cm，点 A、C 分别在 y轴的负半轴和x 轴的正半轴上，抛物线经过点 A、B 和 D（4，）。（1）求抛物线的表达式。（2）如果点P 由点 A 出发沿 AB 边以 2cm/s 的速度向点B 运动，同时点Q 由点 B 出发，沿 BC 边以 1cm/s 的速度向点C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设S=PQ2（cm2）。试求出 S 与运动时间t 之间

9、的函数关系式，并写出t 的取值范围；当 S 取时，在抛物线上是否存在点R，使得以点P、B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R 点的坐标；如果不存在，请说明理由。（3）在抛物线的对称轴上求点M，使得 M 到 D、 A 的距离之差最大，求出点M 的坐标。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 4、已知顶点为A(1,5) 的抛物线经过点 B(5,1). (1)求抛物线的解析式; (2)如图 (15.1),设 C,D 分别是

10、x 轴、 y 轴上的两个动点，求四边形ABCD 周长的最小值（3）在（ 2）中，当四边形ABCD 的周长最小时，作直线CD.设点 P(x,y)(x0) 是直线y=x上的一个动点， Q 是 OP 的中点，以PQ 为斜边按图（ 15.2）所示构造等腰直角三角形PRQ. 当 PBR 与直线 CD 有公共点时 ,求 x 的取值范围；在的条件下，记PBR 与 COD 的公共部分的面积为S.求 S 关于 x 的函数关系式，并求 S 的最大值。5、 已知抛物线与 y 轴交于点 A，它的顶点为B，点 A、B 关于原点O 的对称点分别是点C、D。若点 A、B、C、D 中任何三点都不在一直线上，则称四边形ABCD

11、为抛物线的伴随四边形，直线AB 为抛物线的伴随直线。（1）如图 1，求抛物线的伴随直线的解析式；（2）如图 2，若（m0）的伴随直线是y=x3，伴随四边形的面积为 12，求此抛物线的解析式；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 24 页 - - - - - - - - - - （3）如图 3，若抛物线的伴随直线是y= 2x+b（b0），且伴随四边形 ABCD 是矩形。 用含 b 的代数式表示m,n 的值； 在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得 PBD是一个等腰三角形？若存在，请直接写

12、出点 P的坐标（用含b 的代数式）；若不存在，请说明理由。5、已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x=4. 设顶点为点 P，与 x 轴的另一交点为点B. （1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）如图 1，在直线y=2x 上是否存在点D，使四边形OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，点 M 是线段 OP 上的一个动点（ O、P 两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P 向点 O 运动，过点M 作直线 MNx 轴，交 PB 于点 N.将 PMN 沿直线 MN 对折，得到 P1MN. 在动点 M 的运动过程

13、中，设P1MN 与梯形 OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t 秒. 求 S关于 t 的函数关系式 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 6、已知二次函数y=a（x2-6x+8）（ a0）的图象与x 轴分别交于点A、 B，与 y 轴交于点C.点 D 是抛物线的顶点. （1）如图，连接AC ，将 OAC 沿直线 AC 翻折，若点O 的对应点O恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a 的值；精品资料 - - - 欢迎下载 - - -

14、- - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 24 页 - - - - - - - - - - （2）如图，在正方形EFGH 中，点 E、F 的坐标分别是（4,4）、（ 4,3），边 HG 位于边EF 的右侧 .小林同学经过探索后发现一个正确的命题：“若点P 是边 EH 或边 HG 上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、 PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）.”若点 P 是边 EF 或边 FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；（3）如图，当点P 在抛物线

15、对称轴上时，设点P 的纵坐标t 是大于 3 的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能够成平行四边形）？请说明理由. 参考答案例 1：解（ 1）把 x=0 代入，得把 x=3 代入，得，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 24 页 - - - - - - - - - - A、B两点的坐标分别（0，1）、（ 3，）设直线 AB的解析式为，代入 A、B的坐标，得，解得所以，（2）把 x=t 分别代入到和分别得

16、到点M 、N的纵坐标为和MN=- （）=即点 P在线段 OC上移动，0t 3.(3) 在四边形 BCMN 中， BC MN当 BC=MN 时，四边形BCMN 即为平行四边形由，得即当时，四边形BCMN 为平行四边形当时， PC=2 ，PM=，PN=4 ，由勾股定理求得CM=BN= ,此时 BC=CM=MN=BN，平行四边形BCMN 为菱形；当时， PC=1 ，PM=2 ，由勾股定理求得CM=,精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 此

17、时 BC CM ，平行四边形BCMN 不是菱形；所以，当时，平行四边形BCMN 为菱形例 2：解：（ 1）把 A(2，0)代入ya(x1)2，得 0a(21)2a该抛物线的解析式为y(x1)2即yx2x（2）设点 D 的坐标为(xD，yD)，由于 D 为抛物线的顶点xD1，yD121点 D 的坐标为(1，)如图，过点D 作 DNx 轴于 N，则 DN，AN3，AD6 DAO60OMAD当 ADOP 时，四边形 DAOP 为平行四边形OP6 t6（s）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页

18、，共 24 页 - - - - - - - - - - 当 DPOM 时，四边形DAOP 为直角梯形过点 O 作 OEAD 轴于 E在 RtAOE 中， AO2， EAO60 ， AE1（注：也可通过RtAOERtAND 求出 AE1）四边形 DEOP 为矩形， OPDE615t5（s）当 PDOA 时，四边形DAOP 为等腰梯形，此时OPAD2AE624t4（s）综上所述， 当 t6s、5s、4s 时，四边形DAOP 分别为平行四边形、直角梯形、等腰梯形（3） DAO60 ，OMAD， COB 60 又 OCOB， COB 是等边三角形，OBOCAD6BQ2t， OQ62t（0t3）过点 P

19、 作 PFx 轴于 F，则 PFtS四边形BCPQSCOBSPOQ6(62t)t( t)2当 t（s）时， S四边形BCPQ的最小值为此时 OQ62t623， OP， OF， QF 3， PFPQ例 3：解 (1) OABC 是平行四边形，ABOC，且 AB = OC = 4 ，A，B 在抛物线上， y 轴是抛物线的对称轴， A，B 的横坐标分别是2 和 2，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 代入 y =+1 得，A(2, 2

20、) ，B( 2，2)，M (0，2)，(2) 过点 Q 作 QHx 轴，设垂足为H，则 HQ = y，HP = x t，由 HQP OMC ，得：, 即： t = x 2y , Q(x,y) 在 y = +1 上， t = + x 2. 当点 P 与点 C 重合时，梯形不存在，此时，t = 4，解得 x = 1, 当 Q 与 B 或 A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x = 2 x 的取值范围是x 1, 且 x 2 的所有实数 . 分两种情况讨论：1）当 CM PQ 时，则点 P 在线段 OC 上，CMPQ，CM = 2PQ ，点 M 纵坐标为点Q 纵坐标的 2 倍，即 2 = 2(+1)

21、，解得 x = 0 ，t = + 0 2 = 2 . 2）当 CM PQ 时，则点 P 在 OC 的延长线上，CMPQ，CM = PQ， 点Q纵 坐 标 为 点M纵 坐 标 的2倍 ， 即+1=2 2 ， 解 得 ：x = . 当 x = 时，得 t = 2 = 8 , 当 x =时，得 t = 8. 习题答案1、解：（ 1）yx22x1(x1)22顶点 A 的坐标为(1，2)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 二次函数yax2b

22、x 的图象经过原点， 且它的顶点B 在二次函数yx22x1 图象的对称轴上点 C 与点 O 关于对称轴对称点 C 的坐标为(2，0)（2）四边形AOBC 为菱形，点B 与点 A 关于直线OC 对称点 B 的坐标为(1，2)二次函数yax2bx 的图象经过点B(1，2)，C(2，0)解得二次函数yax2bx 的关系式为y2x24x2、（ 1）由得，又，所以抛物线的解析式为由得 x=1 或 x=3，所以 A（ 1，0）， B（3，0）（2）假设存在符合条件的点D，设 D（x，）作 DE x 轴于点 E，则 OE=x ，DE=，BE=3 x，得化简得，解得 x=1 或 x=2故存在符合条件的点D，为

23、 D（1，）或 D（2， 1）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 24 页 - - - - - - - - - - （3）当 PQ平行等于 AB时，PQ=4 ，当 P在 y 轴右侧时， P的横坐标为4，当 P在 y 轴左侧时，P的横坐标为 4；当 PQ与 AB互相平分时， PQ过 AB的中点（ 1，0），可得 P的横坐标为2故 P的坐标为（ 4，）或（ 4， 7）或（ 2， 1）3、（ 1）由题意得A（0， 2）， B（2， 2），抛物线过 A、B、D 三点得解得精品资料 - -

24、 - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 抛物线的表达式为（2） S=PQ2=（0t1）由解得 t=或 t=（不合题意，舍去）此时， P（1， 2），B（2， 2），Q（2，）若以点 P、B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形，则R（3，）或（ 1，）或（ 1，）经代入抛物线表达式检验，只有点R（3，）在抛物线上所以抛物线上存在点R（3，）使得以点P、B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形。（3）过 B、D 的直线交抛物线对称轴于点M，则该点即为所求。

25、因为如在对称轴上另取一点 N，则NDNA=ND NB0 m=2 当 m=2 时， y=-1，顶点为（ 2，-1），且过点 C（0，3）抛物线的解析式为y=。 (3) 如图，作 BEx 轴，由题意，得： A（0,b）,C (0,-b) 抛物线的顶点B（m,n）在 y=2x+b （b0）上，n=-2m+b B(m, -2m+b) 在矩形 ABCD 中，OC=OB OC2=OB2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 即 ： m(5m-4b

26、)=0 m1=0( 舍 去 ) ， m2= n=-2m+b=,；存在，有 4 个点： (，),( ，),( ，),( ，) 5、（ 1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c由题意得解得二次函数的解析式为y= x28x+12，点 P 的坐标为（ 4， 4）（2）存在点 D，使四边形OPBD 为等腰梯形 . 理由如下：当 y=0 时， x2-8x+12=0 x1=2 ，x2=6，点 B 的坐标为（ 6，0）设直线 BP 的解析式为y=kx+m则解得直线 BP 的解析式为y=2x1，直线OD BP顶点坐标P（4， 4）OP=4设 D(x，2x) 则 BD2=（2x）2+(6x)2当 BD=OP

27、时，（ 2x）2+(6 x)2=32，解得： x1=，x 2=2 当 x2=2 时，OD=BP=，四边形 OPBD 为平行四边形，舍去精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 当 x=时四边形 OPBD 为等腰梯形当 D(，)时，四边形OPBD 为等腰梯形（3） 当 0t2 时，运动速度为每秒个单位长度，运动时间为t 秒，则 MP=tPH=t，MH=t，HN=tMN=tS=tt=t2 当 2t4 时， P1G=2t4，P1H=tMNOB

28、 =3t212t+12 S=t2(3t212t+12)= t2+12t12 当 0t2 时， S=t2，当 2t4 时， S=t2+12t12 。6、解：（ 1）令 y=0，由 a（x2-6x+8）=0 解得 x1=2，x2=4；令 x=0，解得 y=8a. 点 A、B、C 的坐标分别是（2,0）、（ 4,0）、（ 0,8a），该抛物线对称轴为直线x=3. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 24 页 - - - - - - - - - - OA=2，如图，设抛物线对称轴与x 轴

29、的交点为M，则 AM=1. 由题意得OA=OA=2. OA=2AM ， OAM=60 . OAC= OAC=60 . OC=AO=2，即 8a=2， a=.（2）若点 P 是边 EF 或边 FG 上的任意一点，结果同样成立. （I）如图，设P 是边 EF 上的任意一点（不与点E 重合），连接PM. 点 E（4,4）、 F（4,3）与点 B（4,0）在一直线上，点C 在 y 轴上，PB4，PC4，PCPB. 又 PDPMPB，PAPMPB，PBPA，PBPC，PBPD，此时线段PA、PB、PC、PD 不能构成平行四边形. （II ）设 P 是边 FG 上的任意一点（不与点G 重合），点 F 的坐

30、标是（ 4,3）点 G 的坐标是（ 5,3）. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 24 页 - - - - - - - - - - FB=3，GB=， 3PB，PC4， PCPB. 又 PDPMPB，PAPMPB，PBPA，PBPC，PBPD，此时线段PA、PB、PC、PD 不能构成平行四边形. （3）存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能够成平行四边形）. 如图，点A、B 是抛物线与 x 轴交点，点P 在抛物线对称

31、轴上，PA=PB. 当 PC=PD 时，线段 PA、PB、PC、PD 能构成平行四边形. 点 C 的坐标是（ 0,8a），点 D 的坐标为（ 3，-a），点 P的坐标是（ 3，t），PC2=32+（t-8a）2，PD2=（t+a）2，由 PC=PD 得 PC2=PD2， 32+（t-8a）2=（t+a）2，整理得 7a2-2ta+1=0， =4t2-28. t 是大于 3 的常数， =4t2-280，方程 7a2-2ta+1=0 有两个不相等的实数根a=，显然， a=0，满足题意 . 当 t 是一个大于 3 的常数时，存在一个正数a=，使得线段 PA 、PB 、PC 、PD能构成平行四边形. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 24 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 24 页 - - - - - - - - - -