2022年中考数学专题复习教学案——二次函数及其图象.pdf

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1、二次函数及其图象【课前热身】1. 向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2bx.若此炮弹在第7 秒与第 14 秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？（）A第 8 秒 B第 10 秒 C第 12 秒 D第 15 秒2. 在平面直角坐标系中，将二次函数22xy的图象向上平移2 个单位，所得图象的解析式为（）A222xy B222xy C2)2(2 xy D2)2(2 xy3. 抛物线3)2(2xy的顶点坐标是（）A（ 2，3） B（ 2，3） C（2， 3） D（ 2， 3）4. 二次函数2(1)2yx的最小值是（）A 2 B1 C 3 D235. 抛物线

2、 y=2x24x 5经过平移得到y=2x2，平移方法是（） A向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位 B向左平移1 个单位，再向上平移3 个单位 C向右平移1 个单位，再向下平移3 个单位 D向右平移1 个单位，再向上平移3 个单位【考点聚焦】【备考兵法】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 考查重点与常见题型1 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数 y(m 2)x2m2m 2额图象经

3、过原点，则m的值是2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图象，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图象，试题类型为选择题，如：如图，如果函数ykxb 的图象在第一、二、三象限内，那么函数ykx2bx1 的图象大致是（） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6) 两点，对称轴为x53，求这条抛物线的解析式. 4 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知

4、抛物线yax2bxc（a0）与 x 轴的两个交点的横坐标是1、3，与 y 轴交点的纵坐标是32（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 . 5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题. 抛物线的平移抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax2沿着 y 轴（上“”，下“”）平移k（k0）个单位得到函数y=ax2 k，将 y=ax2沿着 x 轴（右“”，左“”）平移h（h0）个单位得到y=a（xh）2?在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y?轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x 轴平移则直接在含x 的括号内进行加减（

5、右减左加）【考点链接】精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - - y x O 1. 二次函数2()ya xhk的图象和性质a0 a0 图象开口对 称 轴顶点坐标最值当 x时， y 有最值当 x ，y 有最值增减性在对称轴左侧y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而在对称轴右侧y 随 x 的增大而y 随 x 的增大而2. 二次函数cbxaxy2用配方法可化成khxay2的形式，其中h，k. 3. 二次函数2()ya xhk的图象和2axy图象

6、的关系 . 4. 二次函数cbxaxy2中cba,的符号的确定 . 【典例精析 】例 1已知：二次函数为y=x2x+m ，（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时，顶点在x 轴上方，（ 3）若抛物线与y 轴交于 A，过 A作 AB x 轴交抛物线于另一点B，当 SAOB=4时，求此二次函数的解析式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 例 2 如图，抛物线24yaxbxa经过( 10)A，、(0 4)C，两点，与

7、x轴交于另一点B（1）求抛物线的解析式；（2）已知点(1)D mm，在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；（3）在（ 2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且45DBP，求点P的坐标【迎考精练】一、选择题1. (2009 年上海市 ) 抛物线22()yxmn（mn，是常数）的顶点坐标是（）A()mn，B()mn，C()mn，D()mn，2. (2009 年陕西省 ) 根据下表中的二次函数cbxaxy2的自变量x与函数y的对应值， 可判断二次函数的图像与x 轴（）x 1 0 1 2 y x O A B C 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -

8、 - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - - y 1 472 47A只有一个交点B有两个交点，且它们分别在y 轴两侧C有两个交点，且它们均在y 轴同侧D无交点3. （2009 年湖北荆门）函数y=ax1 与y=ax2bx1（a0）的图象可能是（）4. （2009 年广东深圳） 二次函数cbxaxy2的图象如图2 所示，若点A （1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与 y2的大小关系是（）A21yyB21yyC21yyD不能确定5.（2009 年湖北孝感） 将函数2yxx的图象向右平移a(0)a

9、个单位，得到函数232yxx的图象，则a的值为A1 B 2 C3 D4 6. （2009 年天津市） 在平面直角坐标系中，先将抛物线22yxx关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A22yxxB22yxxC.22yxxD22y xx7. （2009 年四川遂宁）把二次函数3412xxy用配方法化成khxay2的形式A.22412xy B.42412xyABCD1111xo yyo xyo xxo y精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - -

10、-第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - - C.42412xy D.321212xy8.(2009年河北 ) 某车的刹车距离y（m ）与开始刹车时的速度x（ m/s）之间满足二次函数2120yx （x0），若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为（）A40 m/s B20 m/s C10 m/s D5 m/s 二、填空题1. （2009 年北京市） 若把代数式223xx化为2xmk的形式，其中,m k为常数，则mk=. 2. （2009 年安徽） 已知二次函数的图象经过原点及点（12，14），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为3.

11、（2009 年湖南郴州）抛物线23(1)5yx的顶点坐标为 _4. （ 2009 年内蒙古包头）已知二次函数2yaxbxc的图象与x轴交于点( 2 0)，、1(0)x，且112x，与y轴的正半轴的交点在(0 2)，的下方下列结论：420abc；0ab；20ac；210ab其中正确结论的个数是个5. （2009 年湖北襄樊）抛物线2yxbxc的图象如图所示，则此抛物线的解析式为6. （2009 年湖北荆门）函数(2)(3)yxx取得最大值时，x_三、解答题1. （2009 年湖南衡阳）已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，2），求这个二次函数的关系式y x O 3 x=15 题精品资

12、料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 2. （2009 年湖南株洲）已知ABC为直角三角形，90ACB，ACBC, 点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（0m），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D（1）求点A的坐标（用m表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ并延长交AC于点F，试证明：()FC ACEC为定值3. （2009 年 湖

13、南 常 德 ）已知二次函数过点A（0，2），B（1，0），C（5 94 8，）（1）求此二次函数的解析式；（2）判断点M（ 1，12）是否在直线AC上？（3）过点M（ 1，12）作一条直线l与二次函数的图象交于E、F两点（不同于A，B，C三点），请自已给出E点的坐标，并证明BEF是直角三角形第 3 题yxQPFEDCBAO精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 4.(2009年陕西省 )如图，在平面直角坐标系中，OB OA ，且 OB

14、2OA ，点 A的坐标是( 1，2) （1）求点 B的坐标；（2）求过点 A、O、B的抛物线的表达式；（3）连接 AB ，在（ 2）中的抛物线上求出点P，使得 SABPSABO5. （2009 年福建漳州） 如图 1，已知：抛物线与轴交于两点，与轴交于点C，经过B、C两点的直线是，连结（1）B、 C两点坐标分别为B（_， _） 、C（_， _） ， 抛物线的函数关系式为_；（2）判断的形状，并说明理由；（3）若内部能否截出面积最大的矩形（顶点在各边上） ？若能，求出在边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由 抛物线的顶点坐标是 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - -

15、 - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 【参考答案】选择题1.B 2.B 3.C 【解析】 本题考查函数图象与性质，当0a时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上， D是错的，函数y=ax 1 与y=ax2bx1（a0）的图象必过（0，1），所以 C是正确的，故选C4.C 5.B 6.C 7.D 8.C 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - -

16、填空题1.-3 2.2yxx，21133yx3.（1，5）4.4【解析】 本题考查二次函数图象的画法、识别理解，方程根与系数的关系筀等知识和数形结合能力.根 据 题 意 画 大 致 图 象 如 图 所 示 ， 由2yaxbxc与X 轴 的 交 点 坐 标 为 (-2,0)得2220abc，即420abc所以正确；由图象开口向下知0a，由2yaxbxc与 X 轴的另一个交点坐标为1,0 x且112x，则该抛物线的对称轴为121222xbxa由 aa, 所以结论正确；由一元二次方程根与系数的关系知12.2cx xa，结合 a0 得20ac，所以结论正确；由420abc得22cab，而 0c2, ，

17、102c -12a-b0, 所以结论正确 . 点拨 ：420abc是否成立，也就是判断当2x时，2yaxbxc的函数值是否为0；判断2yaxbxc中 a 符号利用抛物线的开口方向来判断，开口向上 a0, 开口向下a0; 判断 a、b的小关系时，可利用对称轴2bxa的值的情况来判断；判断a、c 的关系时，可利用由一元二次方程根与系数的关系12.cx xa的值的范围来判断；2a-b+1 的值情况可用420abc来判断 . 5.223yxx【解析】本题考查二次函数的有关知识，由图象知该抛物线的对称轴是1x，且过点（ 3，0），所以12930bbc，解得23bc，所以抛物线的解析式为223yxx，故填

18、223yxx6.52精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 【解析】本题考查二次函数的最值问题，可以用配方法或二次函数顶点坐标公式求出当x 为何值时二次函数取得最大值，下面用配方法，22549(2)(3)5624yxxxxx， 所以当52x时，函数(2)(3)yxx取得最大值，故填52解答题1.解：设这个二次函数的关系式为得：解得：这个二次函数的关系式是，即2.（1）由(3,)Bm可知3OC，BCm，又ABC为等腰直角三角形，ACBC

19、m，3OAm，所以点A的坐标是（3,0m）. （2）45ODAOAD3ODOAm，则点D的坐标是（0,3m）. 又抛物线顶点为(1,0)P，且过点B、D，所以可设抛物线的解析式为：2(1)ya x，得：22(31)(01)3amam解得14am抛物线的解析式为221yxx（3）过点Q作QMAC于点M，过点Q作QNBC于点N，设点Q的坐标是2( ,21)x xx，则2(1)QMCNx，3MCQNx. /QMCEPQMPECQMPMECPC即2(1)12xxEC，得2(1)ECx/QNFCBQNBFCQNBNFCBC即234(1)4xxFC，得41FCx又4AC444()42(1)(22)2(1)

20、8111FC ACECxxxxxx即()FC ACEC为定值 8. 3. （1）设二次函数的解析式为cbxaxy2（0a），把 A （0，2）， B（1，0）， C（5 94 8，）代入得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 2092558164cabcabc解得a=2 ，b=0 ，c=2，222yx（2）设直线AC的解析式为(0)ykxb k，把A （0， 2），C（5 94 8，）代入得29584bkb，解得522kb，522y

21、x当x=1 时，511222yM（1，12）在直线AC上（3）设E点坐标为（1322，），则直线EM的解析式为4536yx由2453622yxyx化简得2472036xx，即17()(2)023xx，F点的坐标为（7 136 18，）过E点作EHx轴于H，则H的坐标为（102，）3122EHBH，2223110( )( )224BE，类似地可得22213131690845()()186324162BF，222401025001250()()186324162EF，2221084512504162162BEBFEF，BEF是直角三角形4. 解：（ 1）过点 A作 AFx 轴，垂足为点F，过点 B

22、作 BEx 轴，垂足为点E，则 AF 2，OF 1第 3 题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - - OA OB ， AOF+ BOE 90又 BOE+ OBE 90， AOF OBE RtAFO RtOEB 2OAOBAFOEOFBEBE 2，OE 4B(4，2) （2）设过点A(1，2) ，B(4，2) ，O(0，0) 的抛物线为y=ax2+bx+c.0,2416, 2ccbacba解之，得.0,23,21cba所求抛物线的表达式为

23、xxy23212（3）由题意，知AB x轴设抛物线上符合条件的点P到 AB的距离为d，则 SABPAFABdAB2121d 2点 P的纵坐标只能是0或 4令y0，得023212xx，解之，得x0，或x3符合条件的点P1(0 ，0) ，P2(3 ，0) 令y4，得423212xx，解之，得2413x符合条件的点P3(2413，4) ，P4(2413， 4) 综上，符合题意的点有四个：P1(0 ，0)，P2(3 ，0)，P3(2413，4) ，P4(2413，4) （评卷时，无P1(0，0) 不扣分）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -

24、 - - - - - - - - -第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 5. 解：（ 1）当时，线段OA的函数关系式为; 当时，由于曲线AB所在抛物线的顶点为A（4， 40），设其解析式为在中，令 x=10，得； B （ 10，320）B（10，320）在该抛物线上解得当时，=综上可知，(2) 当时,当时,当时, (3) 10月份该公司所获得的利润最多, 最多利润是110 万元 . 6. 解：（ 1）根据题意得解得所求一次函数的表达式为（2），抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大，而，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -

25、欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 当时，当销售单价定为87 元时，商场可获得最大利润，最大利润是891 元（3）由，得，整理得，解得，由图象可知，要使该商场获得利润不低于500 元， 销售单价应在70 元到 110 元之间，而，所以，销售单价的范围是7. （1）（4，0），（2）是直角三角形证明：令，则解法一：是直角三角形解法二：，即精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 19 页 - - -

26、 - - - - - - - 是直角三角形（3）能当矩形两个顶点在上时，如图1，交于，解法一：设，则，=当时，最大，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 解法二：设，则当时，最大，当矩形一个顶点在上时，与重合，如图2，解法一：设，=精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 当时，最大，解法二：设，=当时，最大，综上所述：当矩形两个顶点在上时，坐标分别为，（ 2，0）；当矩形一个顶点在上时，坐标为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - - -