2022年中考数学第三编综合专题闯关篇题型二解答题重难点突破专题一猜想证明与探究试题.pdf

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1、1 题型二解答题重难点突破专题一猜想证明与探究专题命题规律1猜想与证明问题河北中考近8 年共考查 8 次，为每年必考内容，都是以解答题的形式出现，分值为914分2考查类型：(1) 与图形的位似有关，探究两条边之间的关系，此类题在2012 年考查过一次，主要是利用三角形的性质来解决，分值为9 分； (2) 与尺规作图有关，利用正方形的性质探究边与边之间的关系，其中有一问会涉及到如何作图，此题在2011 年考查过一次，分值为9 分； (3) 与旋转有关，主要是利用旋转前后的性质，分别涉及到直线和正方形，在2010 年和 2009 年考查过，分值为10 分，在 2013 年考查过，分值为11 分；

2、(4) 折叠问题主要是折叠过程中对图形变化具体情况的分析，此题在2014 年考查过，分值为11 分；与图形的折叠、平移有关， 2015 年考查，分值14 分，平移问题主要是用到了平移前后的性质和三角形的性质，探究边与边之间的关系，在 2008 年考查过，分值为10 分.2016 年在此题型上来考查2017预测预计 2017 年河北中考很有可能考查此内容，在训练时多做涉及利用三角形全等、三角形相似等有关的知识的综合题, 中考重难点突破) 与图形旋转有关的证明【经典导例】【例 1】( 2010 河北中考 ) 在图至图中，直线MN与线段 AB相交于点 O ， 12 45 . (1) 如图，若AO O

3、B ，请写出 AO与 BD的数量关系和位置关系；(2) 将图中的MN绕点 O顺时针旋转得到图，其中AO OB.求证： AC BD ，ACBD ；(3) 将图中的OB拉长为 AO的 k 倍得到图，求BDAC的值【学生解答】(1)AOBD ，AO BD ；(2) 如图，过点B 作 BE CA 交 DO于点 E， ACO BEO. 又AO OB ， AOC BOE ， AOC BOE ， AC BE.又 145， ACO BEO 135. DEB 45，245， BE BD ， EBD 90. AC BD.延长 AC交 DB的延长线于点F， BE AC ， AFD 90， AC BD ；(3) 如图

4、，过点B作 BE CA 交 DO于点 E， BEO ACO. 又BOE AOC ，BOE AOC.BEACBOAO.又OB kAO ，由 (2) 的方法易得BE BD ，BDACk. 【方法指导】(1) 在探索两线段的数量关系时常以三角形全等或者相似为工具，由对应角的关系得到两线段相等或者对应成比例有时需先进行等量代换，将两线段放到相似三角形或全等三角形中，若出现直角三角形，则利用直角三角形的性质求解精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - -

5、- 2 (2) 两线段的位置关系通常为平行或垂直先观察图形，根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直若平行，则常通过以下方法进行证解：平行线的判定定理；平行四边形对边平行；三角形中位线性质等若垂直，则可考虑以下途径：证明两线段所在直线夹角为90；两线段是矩形的邻边；两线段是菱形的对角线；勾股定理的逆定理；利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明1( 2015 重庆中考 ) 在ABC中， AB AC ， A60，点 D是线段 BC的中点， EDF 120， DE与线段 AB相交于点 E，DF与线段 AC(或 AC的延长线 ) 相交于点 F. (1) 如图 1，若 DF AC ，垂足为点F，AB

6、4，求 BE的长；(2) 如图 2，将 (1) 中的EDF 绕点 D 顺时针旋 转一定的角度，DF 仍与线段AC相交于点F.求证： BE CF12AB ；(3) 如图3，将 (2) 中的 EDF 继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交与点F，作DN AC于点 N，若 DN FN，求证： BE CF3(BECF)解： (1) 由四边形AEDF的内角和为360，可知 DE AB ，故 BE 1；(2) 取 AB的中点 G，连接 DG.易证： DG为ABC 的 中 位 线 ， 故DG DC， BGD C 60 ， 又 四 边 形AEDF 的 对 角 互 补 ， 故 GEDD

7、FC.DEG DFC ，故EG CF.BE CFBE EG BG 12AB ； (3) 取 AB 的中点G ，连接DG ，同 (2) ，易证DEG DFC ，故EG CF ，故 BE CFBE EG BG 12AB.设 CN x，在RtDCN中， CD 2x，DN 3x，在RtDFN 中， NFDN 3x，故EG CF(31)x.BE BG EG DC CF 2x (31)x (3 1)x. 故 BE CF(31)x (31)x 23x.3(BECF)3(31)x (31)x 23x. 故 BECF3(BECF)2( 2016 河北中考 ) 如图， OAB中， OA OB 10， AOB 80

8、，以点O 为圆心， 6 为半径的优弧 MN分别交OA ，OB于点 M ，N. (1) 点 P在右半弧上 ( BOP 是锐角 )，将 OP绕点 O逆时针旋转80得 OP . 求证： AP BP ；(2) 点 T 在左半弧上，若AT与弧相切，求点T 到 OA的距离；(3) 设点 Q在优弧 MN上，当 AOQ的面积最大时，直接写出BOQ 的度数解：(1) AOP AOB BOP 80BOP ，BOP POP BOP 80 BOP ， AOP BOP ，又 OA OB ，OP OP ，在 AOP 和BOP 中，OA OB ，AOP BOP ，OP OP . AOP BOP (SAS), AP BP ；

9、精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 3 (2) 如图1，连接OT ，过点T 作 TH OA 于点H, AT 与 MN相切，ATO 90， ATOA2 OT2102628，12OA TH12ATOT, 即1210TH1286，即 TH 8 610，T245，即为所求的距离；(3) 如图 2，当 OQ OA 时， AOQ的面积最大理由： OQ OA, QO是AOQ中最长的高，则 AOQ 的面积最大， BOQ AOQ AOB 9080 1

10、70，当 Q 点在优弧 MN右侧上， OQ OA, QO是AOQ中最长的高，则 AOQ 的面积最大， BOQ AOQ AOB 90 80 10，综上所述：当 BOQ的度数为 10或 170时， AOQ 的面积最大 . 3 (2016 廊坊二模 ) 如图，已知 ABC 是等腰直角三角形，BAC 90，点D 是 BC 的中点作正方形DEFG ，使点 A，C分别在 DG和 DE上，连接 AE ，BG. (1) 试猜想线段BG和 AE的数量关系是 _；(2) 将正方形DEFG 绕点 D逆时针方向旋转(0 360 ) 判断 (1) 中的结论是否仍然成立？请利用图证明你的结论；若 BC DE 4，当 AE

11、取最大值时，求AF的值解：图(1)AE BG ；(2) 成立， BG AE.如图，连接AD.在RtBAC 中，AB AC ， D 为斜边BC的中点， AD BD，AD BC ， ADG BDG 90. 四边形EFGD为正方形，DE DG ，且GDE 90， ADG ADE 90， BDG ADE. 在BDG和ADE中，BD AD ，BDG ADE ，GD ED.BDG ADE(SAS) ， GD AE ；图 BG AE ，当 BG取得最大值时AE取得最大值，如图，当旋转面为270时， BG AE.BC DE 4，D精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎

12、下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 4 为 BC 的中点，四边形DEFG为正方形， BD CD 12BC 2，EFDG DE4， BG BD GD 246，AE BG6， AF6242213. 4( 2016 沧州八中模拟) 如图，将两个完全相同的三角形纸片ABC和 DEC重合放置，其中 C 90，BE 30. (1) 操作发现如图，固定 ABC ，使 DEC 绕点 C旋转，当点D恰好落在 AB边上时，填空：线段 DE与 AC的位置关系是 _；设 BDC的面积为S1，AEC的面积为 S2，则 S1与 S2的数量

13、关系是 _(2) 猜想论证当DEC绕点 C 旋转到图所示的位置时，小明猜想(1) 中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC 中 BC ，CE边上的高，请你证明小明的猜想(3) 拓展探究已知 ABC 60，点 D 是其角平分线上一点，BDCD 4，DE AB交 BC于点 E(如图 )若在射线BA上存在点 F，使 SDCFSBDE, 请直接写出相应的BF的长解：(1) DE AC ；S1S2；(2) 如图： DEC是由ABC绕点 C旋转得到， BC CE ， AC CD.ACN BCN 90， DCM BCN 180 90 90， ACN DCM ，在ACN 和DCM中，

14、ACN DCM ，NCMD 90，AC CD ，ACN DCM(AAS) ， ANDM ，又 BC CE ， BDC的面积和 AEC 的面积相等 ( 等底等高的两个三角形面积相等) ，即 S1S2；(3)BF 433或833. 5( 2016 岳阳中考 ) 已知直线m n，点 C 是直线 m上一点，点D是直线 n 上一点， CD与直线 m 、n 不垂直，点 P为线段 CD的中点(1) 操作发现：直线l m ，l n，垂足分别为A，B，当点 A 与点 C重合时 (如图所示 ) ，连接 PB，请直接写出线段 PA与 PB的数量关系： _；(2) 猜想证明：在图的情况下，把直线l 向上平移到如图的位

15、置，试问(1) 中的 PA与 PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由(3) 延伸探究：在图的情况下，把直线l 绕点 A旋转，使得 APB 90( 如图所示 ) ，若两平行线m 、n 之间的距离为2k. 求证： PA PB kAB.解： (1)PA PB ；(2) 成立证明略；(3) 证明略精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 5 与图形的相似、位似有关的证明【经典导例】【例 2】( 2014 河北中考 ) 如图

16、，点E是线段 BC的中点，分别以B，C为直角顶点的 EAB 和EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧(1)AE 和 ED的数量关系为 _，AE和 ED的位置关系为 _；(2) 在图中，以点E 为位似中心，作EGF与EAB位似，点H是 BC所在直线上的一点，连接GH ，HD ，分别得到了图和图.在图中，点F 在 BE上， EGF与EAB的相似比是12， H是 EC的中点求证：GH HD ，GH HD. 在图中，点F 在 BE的延长线上，EGF与EAB的相似比是k1，若 BC 2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GH HD且 GH HD.(用含 k 的代数式表示 ) 【解析】 (1) 由AB

17、E DCE 可得， AEDE.由 AB BE EC CD ，可知 AEB DEC 45，所以 AED 90，故 AE ED ； (2) 由HGF DHC可证 GH HD ，GH HD ；由 BC 2，可知 BE EC 1，又EF k，当 CH k 时可得 CH FG k，从而证明 HFG DCH ，得到GH HD ，GH HD. 【学生解答】(1)AE ED ，AE ED ；(2) 由题意，BC 90， AB BEEC DC.EGF 与EAB 位似且相似比是12， GFE B 90， GF 12AB ，EF 12EB. GFE C.EH HC 12EC.GF HC ，FH FEEH12EB12

18、EC12BCEC CD.HGF DHC. GH HD ， GHF HDC. 又HDC DHC 90， GHF DHC 90， GHD 90， GH HD ；CH 的长为k. GH HD ，GH HD ， FHG DHC 90， FHGFGH 90， FGH CHD ，DH GH ，FGH CHD ，DCH HFG ，GFH HCD(AAS) ， CH FG， EF FG ， EF CH ， EGF与EAB的相似比是k1， BC 2， BE EC 1， EFk， CH的长为 k. 6 (2016 河北石家庄四十二中模拟)(1) 如图，已知 EAC 90， AE AC ，点 A 在直线BD 上，过

19、E 作ED AB于点 D，过 C作 CB BD 于点 B，证明：以点A为位似中心作 AMN 与ABC位似， AMN 与ABC位似比为12，则MNAD_；(2) 如图， ABC中， AG BC于点 G ，分别以 AB ，AC为一边，向外作正方形ABME 和正方形 ACNF ，分别过点E，F 作射线 GA的垂线，垂足分别为P，Q.以点 A为位似中心，作 AQH 与APE位似， AQH与APE的位似比为1k，猜想 CG与 BG的数量关系并证明；(3) 如图， ABC中，AG BC于点 G ，分别以AB ，AC为一边，向外作矩形ABME 和矩形 ACNF ，分别过点E，F 作射线 GA的垂线，垂足分别

20、为P，Q.若 AB m AE ， AC m AF ，以点A 为位似中心，作 AQH 与APE位似，AQH与APE的位似比为1k，则 CG与 BG的数量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立，说明理由解： (1)12；(2)CGBG1k. 理由如下：四边形ABME是正方形，AB AE， BAE 90， BAG EAP 90. AG BG ， BAG ABG 90， ABG EAP.EP AG ，AGB EPA 90， ABG EAP ， BG AP.同理可得 ACG FAQ ，即CG AQ.AQH与APE的位似比为1k，AQAP1k，CGBG1k；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -

21、 - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 6 (3)CGBG1k. 理由如下：四边形ABME是矩形，BAE 90， BAG EAP 90 . AG BC ， BAG ABG 90，ABG EPA.AGB EPA 90，ABG EAP ，BGAPABEA. AB m AE ，BGAPm AEEA，即BG m AP ，同理 ACG FAQ ，CGAQACFA. AC m AF ，CGAQm AFFA，即 CG m AQ ，CGBGm AQm APAQAP. AQH 与APE位似比为 1k，A

22、QAP1k，CGBG1k. 7( 2016 保定十七中二模) 如图，RtABC中， BAC 90， AB AC，ABC的平分线交直线AC于点 D，过点 C作 CE BD ，交直线BD于点 E.请探究线段BD与 CE的数量关系 ( 事实上，我们可以延长CE与直线 BA相交，通过三角形的全等等知识解决问题) (1) 结论：线段BD与 CE的数量关系是 _；( 请直接写出结论) (2) 类比探索在(1) 中，如果把BD改为ABC 的外角 ABF 的平分线，其他条件均不变(如图) ， (1) 中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3) 拓展延伸在(2) 中，如果AB AC

23、，且AB nAC(0n1) ，其他条件均不变( 如图) ，请你求出BD 与 CE 的数量关系 ( 用含 n 的代数式表示) 图解： (1)BD2CE ；(2)BD 2CE 仍然成立理由如下：如图延长CE ，AB 交于点G.ABD FBD ， ABD GBE ， FBD CBE ，GBECBE. 又BE BE， GEB CEB 90 ，GBE CBE(ASA) ， GE CE， CG 2CE.DDCG G DCG 90， DG.又DAB GAC 90， AB AC， DAB GAC ， BDCG 2CE ；图(3) 如图，延长CE ，AB 交于点G.ABD FBD ，ABD GBE ， FBD

24、CBE ， GBE C BE.又BE BE ， GEB CEB 90， GBE CBE(ASA) ， GE CE ， CG 2CE.DDCG G DCG 90， DG.又 DAB GAC 90， DAB GAC ，BDCGABAC.ABnAC ， BD nCG 2nCE. 与图形折叠平移有关的证明【经典导例】【例 3】( 2014 河北中考 ) 图和图中，优弧AB所在O 的半径为 2，AB 23. 点 P为优弧 AB上一点 ( 点 P不与点 A，B重合 ) ，将图形沿BP折叠，得到点A的对称点 A.(1) 点 O到弦 AB的距离是 _，当 BP经过点 O时， ABA _；(2) 当 BA 与O

25、 相切时，如图，求折痕BP的长；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 7 (3) 若线段 BA 与优弧 AB只有一个公共点B，设ABP ，确定 的取值范围【解析】 (1) 作垂线 OC ，即为 O到 AB的距离根据垂径定理，构造直角三角形，利用直角三角形边角关系以及三角函数即可得解(2) 由(1) 得 OC长度以及半径OB长度，即可求出 OBC 的正弦值，从而求得 OBC. 再利用ABP 与OBC的关系求出 OBP 的角度，根据直角三

26、角形的边角关系计算即可(3) 如解图所示：在折叠过程中， BP的 4 个特殊位置，点A落在以 B为圆心、 BA为半径的虚线圆弧上，观察图形由线段BA 与圆心O的位置可确定 的范围【学生解答】(1)1 ；60. 如图，解法提示：过点O作 OC AB ，垂足为点C，连接 OA ，则OCA 90， AC12AB 12233. OA 2， OC OA2AC222（3）21. 当 BP 经过点 O 时，在RtOCB中，sinOBC OCOB12， OBC 30，根据折叠的性质可得，ABA 2OBC 230 60； (2) 如图，作OC AB于点 C，连接OB ， BA 与O相切， OBA 90，在RtO

27、BC中， OB 2，OC 1，sinOBC OCOB12， OBC 30， ABP 12ABA 12( OBA OBC) 60， OBP 30. 作 OD BP 于点 D，则BP 2BD.BD OB cos303， BP23；(3) 点 P，A 不重合， 0. 由 (1) 得，当 增大到30时，点 A在 AB上，当0 30时，点A在O内，线段BA 与 AB只有一个公共点B. 由(2) 知， 增大到60时， BA 与O相切，即线段BA 与 AB只有一个公共点B.当 继续增大时，点P 逐渐靠近点B，但点 P，B不重合， OBP 90. OBA OBP ， OBA 30， 120. 当 60 120

28、时，线段BA 与AB只有一个公共点B.综上所述， 的取值范围是0 30或 60 120. 【方法指导】解本题第(3) 问的关键在于折叠过程中对图形变化具体情况的分析，也是对第(1) 、(2) 问情况的综合在分类讨论 的最大取值时，很难想象出优弧AB完全折叠过去时的情况，即P 点即将与B 点重合时 的数值，可以先在图中画出点P、B 重合时的情况，重合时 为一个临界点，找到此临界点，再使 小于此临界点即可解决8( 2016 唐山九中二模 ) 如图，两个全等的 ABC 和DEF重叠在一起，固定 ABC ，将DEF 进行如下变换：(1) 如图， DEF沿直线 CB向右平移 ( 即点 F 在线段 CB上

29、移动 )，连接 AF、AD、BD ，请直接写出SABC与 S四边形 AFBD的关系；(2) 如图，当点F 平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么 ABC 应满足什么条件？请给出证明；(3) 在(2) 的条件下，将 DEF 沿 DF折叠，点 E 落在 FA的延长线上的点G处，连接CG ，请你在图3 的位置画出图形，并求出sinCGF的值解： (1)SABCS四边形 AFBD；(2) ABC 为等腰直角三角形，即：AB AC ， BAC 90 . 证明：点F 为 BC 的中点，CFBF.CF AD ， AD BF. 又AD BF ，四边形AFBD为平行四边形 AB AC ，F 为

30、BC 的中点， AF BC ，平行四边形 AFBD为矩形 BAC 90， F为 BC的中点， AF12BC BF，四边形AFBD为正方形；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 8 (3) 正确画出图形，如解图由(2) 知， ABC 为等腰直角三角形，则DEF 为等腰直角三角形，AFBC FB12BC 12EFBE， AG AF，设CFk，则GF EFCB 2k，由勾股定理，得：CG 5k，则sinCGF CFCGk5k55. 9( 2

31、016 邯郸二十五模拟) 将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A(3，0) ，点 B(0，1) ，点 O(0，0)过边 OA上的动点 M(点 M不与点 O ，A重合 ) 作 MN AB于点 N，沿着 MN折叠该纸片，得顶点A的对应点为 A. 设 OM m ，折叠后的 AMN 与四边形 OMNB 重叠部分的面积为S. (1) 如图，当点A与顶点 B重合时，求点M的坐标；(2) 如图，当点A落在第二象限时，AM与 OB相交于点 C ，试用含 m的式子表示S；(3) 当 S324时，求点 M的坐标 ( 直接写出结果即可) 解： (1) 在RtABO中，点 A(3，0) ，点 B(0，

32、1) ，点 O(0，0)， OA 3，OB 1. 由 OM m ，得 AM OA OM 3m.根据题意，由折叠可知 BMN AMN ，有BM AM 3m.在RtMOB中，由勾股定理，BM2OB2OM2，得 (3m)21m2，解得 m 33. 点 M的坐标为 (33， 0) ；(2) 在Rt ABO中，tanOAB OBOA1333， OAB 30，由MN AB ，得MNA 90. 在RtAMN中，得MN AM sinOAB 12(3m)，AN AM cosOAB 32(3m)SAMN12MN AN 38(3m)2. 由折叠可知 AMN AMN ，有AOAB 30，AMO A OAB 60. 在

33、RtCOM中，得 CO OM tanAMO 3m.SCOM12OM CO 32m2，又 SABO12OA OB 32，于是， SSABOS AMNS COM3238(3 m)232m2，即S538m234m 38(0 m 33) ；(3)(233，0) 与尺规作图有关的问题【经典导例】【例 4】( 2014 河北中考 ) 如图，四边形ABCD 是正方形，点E，K 分别在 BC ，AB上，点 G在 BA的延长线上，且 CE BK AG. (1) 求证： DE DG ；DE DG ；(2) 尺规作图：以线段DE ，DG为边作出正方形DEFG ；( 要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明) (3) 连

34、接 (2) 中的 KF，猜想并写出四边形CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；(4) 当CECB1n时，请直接写出S正方形 ABCDS正方形 DEFG的值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 9 【解析】 (1) 由已知证明DE 、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE DG ； (2) 根据正方形的性质分别以点G、E 为圆心，以DG为半径画弧交于点F，得到正方形DEFG ；(3) 由已知首先证四边形CKGD是平行四边形

35、，然后证明四边形CEFK为平行四边形；(4) 设 CE x，由已知CECB1n，表示出 CB及 CD ，利用勾股定理求出DE2，进而得到BC2DE2，即为所求【学生解答】解： (1) 四边形ABCD是正方形， DC DA ，DCE DAG 90. 又CE AG ， DCE DAG ， DE DG ， EDC GDA. 又ADEEDC 90， ADE GDA 90， DE DG ； (2) 如解图；(3) 四边形 CEFK为平行四边形证明：设CK ，DE相交于 M点，如解图，四边形ABCD和四边形 DEFG 都是正方形， AB CD ，AB CD ，EFDG ，EFDG.BK AG ， KG A

36、B CD ，四边形CKGD为平行四边形，CK DG EF，CK DG. KME GDE DEF 90. KME DEF 180 . CK EF.四边形CEFK为平行四边形； ( 注：由CK DG 、EF DG 得 CK EF 也可 )(4)S正方形 ABCDS正方形 DEFGn2n21. 解法提示：CECB1n，设CE x， CB nx，CD nx，DE2CE2CD2x2n2x2(n21)x2， BC2n2x2，S正方形 ABCDS正方形 DEFGBC2DE2n2n21. 【方法指导】在判定四边形为平行四边形时，(1) 若已知一组对边平行，可以考虑利用证明这组对边相等，或证明另一组对边平行；(

37、2) 若已知一组对边相等，可以考虑证明这组对边平行或另一组对边相等；(3) 若已知一组对角相等则需要证明另外一组对角也相等；(4) 若已知一条对角线平分时则需证明另外一组对角线也平分在证明边相等时，将这两组对边放在两个三角形中，并证明这两个三角形全等；在证明边平行时，需要用题目中的条件找到角之间的关系再利用平行线的判定证明10( 2016 济宁中考 )如图，在 ABC 中，ABAC ，DAC是ABC的一个外角实践与操作：根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母( 保留作图痕迹，不写作法) (1) 作DAC的平分线AM ；(2) 作线段 AC的垂直平分线，与AM交于点 F，与 BC边交于点 E；猜

38、想并证明：判断四边形AECF 的形状并加以证明解： (1)(2)作图略；猜想：四边形AECF是菱形证明： AB AC ， AM平分CAD. BACB ，CAD 2CAM ， CAD 是ABC 的外角，CAD BACB ，CAD 2ACB ， CAM ACB. AF CE.EF垂直平分AC ， OA OC ， AOF COE 90， AOF COE ， AFCE ，在四边形AECF中， AFCE ，AFCE ，四边形AECF 是平行四边形，又 EF AC ，四边形AECF是 菱形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - -

39、 - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 10 11( 2016 张家口九中模拟)(1) 如图，已知 ABC ，以AB ，AC 为边向 ABC 外作等边 ABD 和等边 ACE ，连接 BE ，CD ，请你完成图形，并证明：BE CD ；( 尺规作图，不写做法，保留作图痕迹) (2) 如图，已知 ABC ，以AB 、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE ，连接 BE ，CD ，BE与 CD有什么数量关系？简单说明理由；(3) 运用 (1) 、(2) 解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图，要测量池塘两岸相对的两点B ，E 的距离，已经测得 AB

40、C 45， CAE 90， AB BC 100 m，AC AE ，求 BE的长图解： (1) 完成图形，如解图所示：证明：ABD和ACE 都是等边三角形，AD AB ， AC AE ， BAD CAE 60， BAD BAC CAE BAC ，即CAD EAB ，在CAD和EAB 中，AD AB ，CAD EAB ，AC AE ，CAD EAB(SAS) ， BE CD ；(2)BE CD ，证明：四边形ABFD和 ACGE 均为正方形，AD AB ， AC AE ， BAD CAE 90 . CAD EAB ，在 CAD和EAB中，AD AB ，CAD EAB ，AC AE ，CAD EAB

41、(SAS) ，BE CD ；图(3) 由(1) ，(2) 的解题经验可知，如解图，过点A 作等腰直角三角形ABD ，连接 BD ， BAD 90，则 AD AB 100 m， ABD 45， BD 1002 m，连接 CD ，则由 (2) 可得 BE CD.ABC 45， DBC 90，在RtDBC 中， BC100 m，BD 1002 m，根据勾股定理得：CD 1002（1002）21003 m，则BECD 1003 m. 12( 2016 石家庄二十八模拟) 探究并证明以下问题：(1) 如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD交于点 O ，且AOB 60，点 P 为线段 BO上任意一点，以

42、AP为边作等边三角形APF ，连接 BF，求证： BF OP ；(2) 如图，在正方形ABCD ，点 P为 BC边上任意一点，以AP为边作正方形APMN ，F 为正方形APMN 的中心，连接 BF，直接写出BF与 CP的数量关系 _BF22CP_ ；(3) 如图，在菱形ABCD中， AB AC m n，点 P 为 BC边上一点，以AP为对角线作菱形AEPM ，满足 ABCAFP ，连接BF，猜想 BF与 CP的数量关系，并证明你的结论解：(1) 四边形ABCD为矩形， OA OB ， AOB 60， AOB是等边三角形，ABAO ， PAO 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - -

43、- - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 11 60BAP ，在 FAB 和PAO中，AB AOFAB OAPAFAP， FAB PAO(SAS) ， BFOP ；(3)BF mnCP.理由：四边形ABCD为菱形，BA BC ， BAC 12(180 ABC)，四边形AFPM是菱形，PF AF， FAP 12(180 AFP)，ABC AFP ， BAC FAP ， FAP BAC ，AFABAPAC，即AFAPABAC， FAB FAPBAP ， PAC BAC BAP ，FAB PA

44、C ，又ABC AFP ，FAB PAC ，BFCPABACmn，即 BFmnCP. 13( 2016 沧州八中二模) (1) 问题发现如图， ACB和DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE. 填空： AEB的度数为 _60_；线段 AD、BE之间的数量关系为_AD BE_ ；(2 ) 拓展探究如图， ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACB DCE 90，点 A、D、E在同一直线上，CM为DCE中 DE边上的高，连接BE.请判断 AEB的度数及线段CM 、AE 、 BE之间的数量关系，并说明理由；(3) 解决问题如图，在正方形ABCD 中， CD 2. 若点 P满足 PD

45、1，且BPD 90，请直接写出点A到 BP的距离解：(2) AEB 90； AE BE2CM.理由： ACB 和DCE均为等腰直角三角形，ACB DCE 90，ACBC ，CD CE， ACB DCB DCE DCB ，即ACD BCE. ACD BCE. AD BE ， BEC ADC 135， AEB BEC CED 135 4590. 在等腰直角三角形DCE中， CM为斜边DE上的高， CM DM ME ，DE 2CM. AE DE AD2CM BE ；(3)312或312. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -