2022年抽象函数-题型大全 .pdf

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1、高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号( )fx的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式：1. 换元法：即用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出( )f x，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例 1：已知()211xfxx, 求( )f x. 解：设1xux, 则1uxu2( )2111uuf uuu2( )1xf xx2. 凑合法：在已知( ( )( )f g xh x的条件下，把( )h x并凑成以(

2、 )g u表示的代数式，再利用代换即可求( )f x. 此解法简洁，还能进一步复习代换法。例 2：已知3311()f xxxx，求( )f x解：22211111()()(1)()()3)f xxxxxxxxxx又11| |1|xxxx23( )(3)3f xx xxx，(|x| 1) 3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例 3 已知( )f x二次实函数，且2(1)(1)f xf xx+2x+4, 求( )f x. 解: 设( )f x=2axbxc，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f xf xa xb xca xb xc=222

3、22()24axbxacxx比较系数得2()41321,1,2222acaabcb213( )22f xxx4. 利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性, 求分段函数的解析式. 例 4. 已知y=( )f x为奇函数 , 当x0 时,( )lg(1)f xx, 求( )f x解: ( )f x为奇函数，( )f x的定义域关于原点对称，故先求x0, ()lg(1)lg(1)fxxx, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 31 页 - - - - - - - - - - ( )f x为

4、奇函数，lg(1)()( )xfxf x当x0 时( )lg(1)f xxlg(1),0( )lg(1),0 xxf xxx例 5一已知( )f x为偶函数，( )g x为奇函数，且有( )f x+1( )1g xx， 求( )f x,( )g x. 解：( )f x为偶函数，( )g x为奇函数，()( )fxf x,()( )gxg x, 不妨用 -x代换( )f x+( )g x=11x, 中的x, 1()()1fxgxx即( )f x1( )1g xx, 显见 +即可消去( )g x, 求出函数21( )1f xx再代入求出2( )1xg xx5. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规

5、律，求出( )fx的表达式例 6：设( )f x的定义域为自然数集，且满足条件(1)( )( )f xf xf yxy, 及(1)f=1, 求( )f x解：( )f x的定义域为N，取y=1, 则有(1)( )1f xf xx(1)f=1,(2)f=(1)f+2,(3)(2)3ff,( )(1)f nf nn以上各式相加，有( )f n=1+2+3+,+n=(1)2n n1( )(1),2f xx xxN二、利用函数性质，解( )f x的有关问题1. 判断函数的奇偶性：例 7 已知()()2 ( )( )f xyf xyfx f y, 对一切实数x、y都成立， 且(0)0f, 求证( )f

6、x为偶函数。证明：令x=0, 则已知等式变为( )()2 (0)( )fyfyff y, 在中令y=0则 2(0)f=2(0)f(0)f0(0)f=1( )()2( )f yfyf y()( )fyfy( )f x为偶函数。2. 确定参数的取值范围例 8：奇函数( )f x在定义域 （-1 ，1）内递减， 求满足2(1)(1)0fmfm的实数m的取值范围。解：由2(1)(1)0fmfm得2(1)(1)fmfm，( )f x为函数， 2(1)(1)fmf m又( )f x在（ -1，1）内递减，221111110111mmmmm3. 解不定式的有关题目例 9：如果( )f x=2axbxc对任意

7、的t有(2)2)ftft, 比较(1)(2)(4)fff、的大小精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 解：对任意t有(2)2)ftftx=2 为抛物线y=2axbxc的对称轴又其开口向上f(2) 最小，f(1)=f(3) 在 2， ) 上，( )f x为增函数f(3)f(4), f(2)f(1)f(4) 五类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。例 1、已知函数f（x）对任意实数x，y，均有

8、f（xy）f（x）f（y），且当x0 时，f（x） 0，f（ 1） 2，求f（x）在区间 2，1 上的值域。分析：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。解：设，当，即，f（x）为增函数。在条件中，令yx，则，再令xy0，则f（0） 2 f（0），f（0） 0，故f（x）f（x），f（x）为奇函数，f（1）f（ 1） 2，又f（ 2） 2 f（ 1） 4，f（x）的值域为4，2。例 2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）f（y） 2 + f（xy），且当x0 时，f（x） 2，f（3）5，求不等式的解。分析：由题设条件可猜测：f（x）是yx

9、2 的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。解：设，当，则，即，f（x）为单调增函数。，又f（3） 5，f（1）3。，即，解得不等式的解为1 a 0 时， 0f(x)0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。定义在 R上的函数fx( )满足：f xfx( )()4且fxf x()()220，求f ()2000的值。解：由fxfx()()220，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -

10、- - - - - - - -第 9 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 以tx2代入，有ftf t()( )，f x( )为奇函数且有f ( )00又由fxfx()()44fxf xf xf xf x()( )()()( )84故f x( )是周期为 8 的周期函数，ff()( )200000例 2 已知函数fx( )对任意实数xy，都有fxyf xfy()( )( )，且当x0时，f xf( )()012，求fx( )在21，上的值域。解：设xx12且xxR12，则xx210，由条件当x0时，fx( )0fxx()210又f xfxxx()()2211fxxfxf x

11、()()()2111f x( )为增函数，令yx，则ffxfx( )( )()0又令xy0得f ( )00fxf x()( )，故f x( )为奇函数，ff( )( )112，ff()()2214精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 31 页 - - - - - - - - - - fx( )在，21上的值域为42，二. 求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用

12、。例3 已 知fx( )是 定 义 在 （11，） 上 的 偶 函 数 ， 且 在 （ 0 ， 1 ） 上 为 增 函 数 ， 满 足f afa()()2402，试确定a的取值范围。解：fx( )是偶函数，且在（0，1）上是增函数，f x( )在()10，上是减函数，由1211412aa得35a。（1）当a2时，f afaf()()( )2402，不等式不成立。（2）当32a时，f afaf aaaaaa()()()24412014024322222解之得，（3）当25a时，f afa()()242f aaaaaa()22240210412425解之得，综上所述，所求a的取值范围是()()32

13、25，。例 4 已知fx( )是定义在(，1上的减函数，若f mxf mx(sin )(cos)221对xR恒成立，求实数m的取值范围。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 解：mxmxmxmx22223131sincossincos对xR恒成立mxmxmx22231sinsincos对xR恒成立mxmmxxx2222311254sinsincos(sin)对xR恒成立，mmmm223115421102为所求。三. 解不等式这类不等

14、式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f” ，转化为代数不等式求解。例 5 已知函数f x( )对任意xyR，有fxfyf xy( )( )()2，当x0时，fx( )2，f ( )35，求不等式f aa()2223的解集。解：设xxR12、且xx12则xx210fxx()212，即f xx()2120，fxfxxxf xxfxf xfxf x()()()()()()()22112111212故f x( )为增函数，又fffff( )()( )( )( )3212123145精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下

15、载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 31 页 - - - - - - - - - - ff aafaaa( )()( )1322312211322，即因此不等式f aa()2223的解集为aa| 13。四. 证明某些问题例 6 设fx( )定义在 R 上且对任意的x有f xf xfx( )()()12，求证：fx( )是周期函数，并找出它的一个周期。分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出fxTfx()( )（T 为非零常数）则fx( )为周期函数，且周期为T。证明：f xfxf x( )()()( )121fx

16、fxf x()()()( )1232( )( )12得fxfx( )()( )33由（ 3）得f xfx()()( )364由（ 3）和（ 4）得f xf x( )()6。上式对任意xR都成立，因此fx( )是周期函数，且周期为6。例 7 已知fx( )对一切xy，满足ff xyf xf y( )()( )( )00，且当x0时，fx( )1，求证：（1）x0时，01f x( )；（2）fx( )在 R上为减函数。证明：对一切xyR，有f xyf xfy()( )( )。且f ( )00，令xy0，得f ( )01，现设x0，则x0，fx()1，而ffxfx( )( )()01fxfx()(

17、)1101fx( )，设xxR12，且xx12，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 则0121f xx()，fxfxxx()()2211fxxf xfx()()()2111fxfx()()12，即f x( )为减函数。五. 综合问题求解抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“负号” ，三是利用函数单调性去

18、掉函数符号“f” 。例8 设 函 数yf x( )定 义 在R 上 ， 当x0时 ，fx( )1， 且 对 任 意mn， 有f mnf mf n()()( )，当mn时f mf n()( )。（1）证明f ( )01；（2）证明：fx( )在 R上是增函数；（3）设Axyf xfyf()|()()( )，221，Bxyf axbycabcRa()|()， ， ，10，若AB，求abc， ，满足的条件。解： （1）令mn0得fff()()()000，f ( )00或f ( )01。若f ( )00，当m0时，有fmfmf()()( )00，这与当mn时，f mf n( )( )矛盾，f ( )

19、01。（2）设xx12，则xx210，由已知得f xx()211，因为x10，f x()11，若x10时，xfx1101， ()，由ffxfx( )()()011fxfxf xf xxf xf xfxR()()()()()()( )112211110在 上为增函数。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 31 页 - - - - - - - - - - （3）由fxfyf()()( )221得xy2211()由f axbyc()1得axbyc0（2）从（ 1） 、 （2）中消去y得(

20、)abxacxcb2222220，因为AB()()()24022222acabcb，即abc222例 9 定义在（11，） 上的函数f x( )满足（1） ， 对任意xy，()11都有f xf yfxyxy( )( )()1，（2）当x()10，时，有fx( )0，（1）试判断f x( )的奇偶性；（2）判断f x( )的单调性；（3）求证fffnnf( )()()()15111131122,。分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求和的综合题。解： （1）对条件中的xy，令xy0，再令yx可得ffff xfxffxf x( )( )( )()(

21、)( )()()000000，所以f x( )是奇函数。（2）设1012xx，则fxfxfxfxfxxx x()()()()()121212121xxx x1212001，xxx x121210，由条件（ 2）知fxxx x()121210，从而有f xfx()()120，即f xfx()()12，故fx( )()在，10上单调递减，由奇函数性质可知，f x( )在（ 0，1）上仍是单调减函数。（3）fnn()1312fnnfnnnn()()()()()1121111211112精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -

22、- - - - -第 15 页，共 31 页 - - - - - - - - - - fnfnfnfnfffnnfffffnfnffnnfn()()()()( )()()()( )( )()()()()()()1112111215111131121313141112121201211202，,，ffnffffnnf()()()( )()()()12121215111131122,。抽象函数问题分类解析我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。 1.

23、 求定义域这类问题只要紧紧抓住：将函数f g x ( )中的g x( )看作一个整体，相当于f x( )中的 x 这一特性，问题就会迎刃而解。例 1. 函数yf x( )的定义域为(，1，则函数yfxlog ()222的定义域是 _。分析：因为log()22x相当于fx( )中的 x，所以log()2221x，解得22x或22x。例 2. 已知f x( )的定义域为(0)，1，则yf xaf xaa()()(| |)12的定义域是 _。分析：因为xa及xa均相当于f x( )中的 x，所以010111xaxaaxaaxa (1)当120a时，则xaa()，1 (2)当012a时，则xaa()，

24、1精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 2. 判断奇偶性根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x( )与fx()的关系。例 3. 已知f x( )的定义域为R，且对任意实数x，y 满足fx yfxf y()()()，求证：f x( )是偶函数。分析：在fx yfxf y()()()中，令xy1，得ffff( )( )( )( )11110令xy1，得ffff( )()()()11110于是fxfxff xf x()()()( )

25、( )11故fx( )是偶函数。例 4. 若函数yf xfx() ()0与yf x( )的图象关于原点对称，求证：函数yf x( )是偶函数。证明：设yf x( )图象上任意一点为P（xy00，）yf x()与yf x( )的图象关于原点对称，P xy()00，关于原点的对称点()xy00，在yf x( )的图象上，yfxyfx0000()()又yf x00()fxfx()()00即对于函数定义域上的任意x 都有fxf x()( )，所以yf x( )是偶函数。 3. 判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。例 5. 如果奇函数f x( )在区间

26、37，上是增函数且有最小值为5，那么f x( )在区间73，上是 A. 增函数且最小值为5B. 增函数且最大值为5 C. 减函数且最小值为5D. 减函数且最大值为5分析：画出满足题意的示意图1，易知选 B。图 1 y 5 O -7 -3 3 7 x -5 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 例 6. 已知偶函数f x( )在(0)，上是减函数， 问f x( )在()，0上是增函数还是减函数，并证明你的结论。分析：如图2 所示，易知

27、f x( )在()，0上是增函数，证明如下：任取xxxx121200因为f x( )在(0)，上是减函数，所以fxfx()()12。又fx( )是偶函数，所以fxf xfxf x()()()()1122，从而f xf x()()12，故f x( )在()，0上是增函数。图 2 4. 探求周期性这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。例 7. 设函数f x( )的定义域为R，且对任意的x，y 有f xyf xyf xf y()()( )()2，并存在正实数c，使fc( )20。试问f x( )是否为周期函数？若是，求出它

28、的一个周期；若不是，请说明理由。分析：仔细观察分析条件， 联想三角公式， 就会发现：yxcos满足题设条件， 且cos20， 猜测f x( )是以 2c 为周期的周期函数。fxccfxccfxcfcf xcf xf xcfxcf x()()()( )()( )()()( )222222202故fx( )是周期函数， 2c 是它的一个周期。 5. 求函数值紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。例 8. 已知f x( )的定义域为R，且fxyfxfy()( )( )对一切正实数x，y 都成立，若f ( )84，则f (2

29、)_。分析：在条件fxyfxfy()( )( )中，令xy4，得ffff( )( )( )( )844244，y O x 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 31 页 - - - - - - - - - - f ( )42又令xy2，得fff(4)(2)(2)2，f (2)1例 9. 已知f x( )是定义在 R上的函数，且满足：f xf xf x()( )( )2 11，f ( )11997，求f (2001)的值。分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现f x( )是周期函数，显

30、然f x( )1，于是f xf xf x()( )( )211，f xf xf xf xf xf xf xf x()()()( )( )( )( )( )412121111111所以f xfxf x()()( )814故fx( )是以 8 为周期的周期函数，从而fff(2001)()( )8250111997 6. 比较函数值大小利用函数的奇偶性、 对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。例 10. 已知函数fx( )是定义域为R的偶函数，x0时，f x( )是增函数，若x10，x20， 且| |xx12，则fxfx()()12，的大小关系是 _。分析：xx12

31、00，且| |xx12，001221xxxx又x0时，f x( )是增函数，fxfx()()21f x( )是偶函数，fxfx()()11精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 故fxfx()()127. 讨论方程根的问题例 11. 已知函数f x( )对一切实数x 都满足fxfx()()11，并且f x( )0有三个实根，则这三个实根之和是 _。分析：由fxfx()()11知直线x1是函数f x( )图象的对称轴。又f x( )0有

32、三个实根， 由对称性知x11必是方程的一个根，其余两根xx23，关于直线x1对称，所以xx23212，故xxx1233。 8. 讨论不等式的解求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。例12. 已 知 函 数f x( )是 定 义 在(，1上 的 减 函 数 ， 且 对 一 切 实 数x ， 不 等 式fkxfkx(sin )(sin)22恒成立，求k 的值。分析：由单调性，脱去函数记号，得kxkxkxkxkkx222222221111412sinsinsinsin( )(sin)(2)由题意知 (1)(2)两式对一切xR恒成立，则有kxkkxk2222111412941(sin)(

33、sin)minmax 9. 研究函数的图象这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解。例 13. 若函数yf x()2是偶函数，则yf x( )的图象关于直线_对称。分析：yf x( )的图象右移个 单位左移个 单位22yf x()2的图象，而yf x()2是偶函数，对称轴是x0，故yf x( )的对称轴是x2。例 14. 若函数fx( )的图象过点（ 0，1） ，则f x()4的反函数的图象必过定点_。分析：f x( )的图象过点（ 0，1） ，从而f x()4的图象过点()41，由原函数与其反函数图象间的精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎

34、下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 关系易知，f x()4的反函数的图象必过定点()14，。10. 求解析式例 15. 设函数fx( )存在反函数，g xfxh x()()()1，与g x( )的图象关于直线xy0对称， 则函数h x( ) A. f x( )B. fx()C. fx1( )D. fx1()分析： 要求yh x( )的解析式， 实质上就是求yh x( )图象上任一点Pxy()00，的横、 纵坐标之间的关系。点Pxy()00，关于直线yx的对称点()yx00，适合yfx1( )，即xgy00()

35、。又gxfx( )( )1，xfyyfxyfx0100000()()()即h xfx()()，选 B 。抽象函数的周期问题高考数学（文科）第22 题：设f x( )是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x1对称。对任意xx12012，都有fxxf xfx()()()1212。（I ）设f ( )12，求ff()()1214，；（II ）证明f x( )是周期函数。解析：（I ）解略。（II ）证明： 依题设yf x( )关于直线x1对称故f xfxxR()()2，又由f x( )是偶函数知fxf xxR()() ，fxfxxR()()2，将上式中x以x代换，得f xfxxR()()2 ，这表明f

36、 x( )是R上的周期函数，且2 是它的一个周期f x( )是偶函数的实质是f x( )的图象关于直线x0对称精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 又f x( )的图象关于x1对称，可得f x( )是周期函数且 2 是它的一个周期由此进行一般化推广，我们得到思考一： 设fx( )是定义在R上的偶函数，其图象关于直线xaa ()0对称，证明f x( )是周期函数，且2a是它的一个周期。证明：f x( )关于直线xa对称fxfaxxR(

37、 )()2，又由f x( )是偶函数知fxf xxR()() ，fxfaxxR()()2，将上式中x以x代换，得f xfaxxR()()2，fx( )是R上的周期函数且2a是它的一个周期思考二： 设f x( )是定义在R上的函数，其图象关于直线xa和xbab()对称。证明fx( )是周期函数，且2()ba是它的一个周期。证明：f x( )关于直线xaxb和对称fxfaxxRfxfbxxRfaxfbxxR( )()( )()()()2222，将上式的x以x代换得faxfbxxR()()22，f xbafxabfxaafxxR()()()( )22222，fx( )是R上的周期函数且2()ba是它

38、的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，f x( )还是不是周期函数？经过探索，我们得到思考三： 设f x( )是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x1对称。证明f x( )是周期函数，且4是它的一个周期。 ，证明：f x( )关于x1对称fxfxxR( )()2，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 31 页 - - - - - - - - - - 又由f x( )是奇函数知fxfxxRfxfxxR()( )()()，2将上式的x以x代换，得fxfxxRfxfxfx

39、fxfxxR()( )()()()( )( )24222，fx( )是R上的周期函数且 4 是它的一个周期f x( )是奇函数的实质是f x( )的图象关于原点（0，0）中心对称，又fx( )的图象关于直线x1对称，可得f x( )是周期函数，且4 是它的一个周期。由此进行一般化推广，我们得到思考四：设fx( )是定义在R上的函数，其图象关于点M a()，0中心对称，且其图象关于直线xbba()对称。证明f x( )是周期函数，且4()ba是它的一个周期。证明：fx( )关于点M a()，0对称faxf xxR()( )2，fx( )关于直线xb对称fxfbxxRfbxfaxxR( )()()

40、()222，将上式中的x以x代换，得fbxfaxxRf xbafbxbafaxbafbxafaxafxxR()()()()()()()( )2242242242222，f x( )是R上的周期函数且4()ba是它的一个周期由上我们发现，定义在R上的函数f x( )，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则f x( )是R上的周期函数。进一步我们想到，定义在R上的函数f x( )，其图象如果有两个对称中心，那么fx( )是否为周期函数呢？经过探索，我们得到思考五：设f x( )是定义在R上的函数，其图象关于点M a()，0和N bab()()，0对称。证明f x( )是周期函数，且2(

41、)ba是它的一个周期。证明：fx( )关于M aN b()()，00对称精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 31 页 - - - - - - - - - - faxf xxRfbxfxxRfaxfbxxR()( )()( )()()2222，将上式中的x以x代换，得faxfbxxRf xbafbxafaxafxxR()()()()()( )2222222，f x( )是周期函数且2()ba是它的一个周期抽象函数解法例谈抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像, 只给出一些函数符

42、号及其满足的条件的函数, 如函数的定义域 , 解析递推式 , 特定点的函数值,特定的运算性质等, 它是高中函数部分的难点, 也是大学高等数学函数部分的一个衔接点, 由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体, 因此理解研究起来比较困难. 但由于此类试题即能考查函数的概念和性质, 又能考查学生的思维能力, 所以备受命题者的青睐, 那么 , 怎样求解抽象函数问题呢, 我们可以利用特殊模型法, 函数性质法 , 特殊化方法 , 联想类比转化法, 等多种方法从多角度 , 多层面去分析研究抽象函数问题, 一: 函数性质法函数的特征是通过其性质( 如奇偶性 , 单调性周期性, 特殊点等 ) 反应出来的 , 抽

43、象函数也是如此, 只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质, 灵活进行等价转化, 抽象函数问题才能转化, 化难为易 , 常用的解题方法有 :1, 利用奇偶性整体思考;2, 利用单调性等价转化;3, 利用周期性回归已知4; 利用对称性数形结合;5,借助特殊点 , 布列方程等 . 二: 特殊化方法1 在求解函数解析式或研究函数性质时,一般用代换的方法, 将 x 换成 -x 或将 x 换成等2 在求函数值时 , 可用特殊值代入3 研究抽象函数的具体模型, 用具体模型解选择题, 填空题 , 或由具体模型函数对综合题,的解答提供思路和方法 . 总之 , 抽象函数问题求解, 用常规方法一般很难凑效, 但我们

44、如果能通过对题目的信息分析与研究, 采用特殊的方法和手段求解, 往往会收到事半功倍之功效, 真有些山穷水复疑无路, 柳暗花明又一村的快感. 1 已知函数 f(x)对任意 x、yR都有 f(x+y)f(x)+ f(y)+3xy(x+y+2)+3,且 f(1)=1 若 t 为自然数 ,(t0)试求 f(t)的表达式满足 f(t)=t的所有整数t 能否构成等差数列?若能求出此数列,若不能说明理由若 t 为自然数且t 4 时, f(t) mt2+(4m+1)t+3m, 恒成立 , 求 m的最大值 . 2 已知函数f(x)= 1)(1)(xgxg, 且 f(x),g(x)定义域都是R, 且g(x)0,

45、g(1) =2,g(x) 是增函数. g(m) g(n)= g(m+n)(m、nR) 求证： f(x)是 R上的增函数当 nN,n3 时,f(n)1nn解: 设 x1x2 g(x)是 R上的增函数 , 且 g(x)0 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 31 页 - - - - - - - - - - g(x1) g(x2) 0 g(x1)+1 g(x2)+1 0 1)(22xg 1)(21xg 0 1)(22xg -1)(21xg 0 f(x1)- f(x2)=1)(1)(11

46、xgxg- 1)(1)(22xgxg=1-1)(21xg-(1-1)(22xg) =1)(22xg-1)(21xg0 f(x1) f(x2) f(x)是 R上的增函数 g(x) 满足 g(m) g(n)= g(m+n)(m、nR) 且 g(x)0 g(n)= g(1)n=2n当 nN,n3时, 2nn f(n)=1212nn1-122n，1nn1-11n 2n（ 1+1）n1+n+,+inC+,+n+12n+1 2n+12n+2 122n1-11n当 nN,n3 时,f(n)1nn3 设 f1(x) f2(x) 是(0,+ ) 上的函数 , 且 f1(x) 单增 , 设f(x)= f1(x)

47、+f2(x) ,且对于 (0,+ ) 上的任意两相异实数x1, x2恒有 | f1(x1) f1(x2)| | f2(x1) f2(x2)| 求证： f (x)在(0,+ ) 上单增 . 设 F(x)=x f (x), a0、b0. 求证： F(a+b) F(a)+F(b) . 证明 : 设 x1x20 f1(x) 在(0,+ ) 上单增精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 31 页 - - - - - - - - - - f1(x1) f1(x2)0 | f1(x1) f1(x2

48、)|= f1(x1) f1(x2)0 | f1(x1) f1(x2)| | f2(x1) f2(x2)| f1(x2)- f1(x1)f2(x1) f2(x2) f1(x2)+ f2(x2) f(x1) f(x2) f (x)在(0,+ ) 上单增F(x)=x f (x), a0、b0 a+ba0,a+bb0 F(a+b)=(a+b)f(a+b)=af(a+b)+bf(a+b) f (x)在(0,+ ) 上单增F(a+b)af(a)+bf(b)= F(a)+F(b) 4 函数 yf(x)满足f(a+b) f (a)f (b)， f(4) 16, m 、n 为互质整数， n 0 求 f(nm)

49、的值f(0) =f(0+0)=f(0) f(0)=f2(0) f(0) =0或 1. 若 f(0)=0则 f(4)=16=f(0+4)=f(0) f(4)=0.(矛盾 ) f(1)=1 f(4)=f(2) f(2)=f(1) f(1) f(1) f(1)=16 f(1)=f2(21) 0 f(1)=2.仿此可证得f(a) 0. 即 y=f(x)是非负函数 . f(0)=f(a+(-a)=f(a) f(-a) f(-a)=)(1afnN*时 f(n)=fn(1)=2n,f(-n)=2-n f(1)=f(n1+n1+,+n1)=fn(n1)=2 f(n1)= n12精品资料 - - - 欢迎下载

50、- - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 26 页，共 31 页 - - - - - - - - - - f(nm)=f(n1)m= nm25 定义在（ -1 ，1）上的函数f (x)满足任意 x、y（ -1 ，1）都有 f(x)+ f(y)f (xyyx1) ， x（ -1， 0）时，有 f(x) 0 1)判定 f(x) 在（ -1 ，1）上的奇偶性，并说明理由2)判定 f(x) 在（ -1 ，0）上的单调性，并给出证明3)求证： f (1312nn) f (11n) f (21n) 或 f (51)+f (111)+ ,+f