2022年抽象函数周期性对称性相关定理全总结 .pdf

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1、录入：李俊杰1抽象函数周期与对称轴的相关结论抽象函数的周期与对称轴重点：抽象函数周期与对称轴的相关结论。难点：结论的推导证明，利用结论解决问题f (x) f (x b a)b a 令x x 代入f (a x) f (b 2 a b a b 、x)则f( x) f( x) 2 2令xba x 代入f (a x) f (b x) 2 则f (a b2【几个重要的结论】三、具体内容1.若f(x) f(x T)则f(x)的周期为T 。2.若f(x a) f (x b)则f (x)的周期为T 3.若f(x a) f(x b)则f(x)的周期T 2b a。证：f(x) f(x b a) 4.右证：f(x

2、a b) f(x) 由得: x (a b) f x (b a) x (a b) (b a) 2bf (a x) f (b x)则f (x)图象的对称轴为a b 要证原结论成立只需证f(a b x)2 a b 。2 fU x) 2 5.若f (a x) f(b x)则f(x)的图象 ,b ,0为对称中心。证：a 方法一：要证原结论成立只需证f(-x) x) 方法二：设f (x)它的图象为P(x, yo) 则P关于点-,0的对称点2 P (a b x, yo)f (a b X。)a (b X。)f b (b X。)f(x。)? f(x。) yo ? f (a b X。)yo 一、教学内容二、教学重

3、、难证：x) f号x) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 录入：李俊杰2( 一)函数图象本身的对称性( 自身对称 ) 1、函数y f(x)满足f(T x) f(T x) ( T 为常数 )的充要条件是y f (x)的图象关于直线x T对称。2、函数y f(x)满足f(x) f(2T x)( T 为常数 ) 的充要条件是y f (x)的图象关于直线x T对称。3、函数y f (x)满足f (a x) f (b x)的充要条件是y f

4、(x)图象关于直线x - b对称。2 2 4、 如果函数y f(x)满足ffT, x) f(Ti x)且f(T2 x) f (T2 x)，( 和T2是不相等的常数 ) ， 则y f (x)是以为2(T2 Tj为周期的周期函数。5、如果奇函数y f (x)满足f(T x) f (T x)(T 0) ，贝U函数y f(x)是以 4T 为周期的周期性函数。6、如果偶函数y f (x)满足f(T x) f (T x) (T 0),贝U函数y f(x)是以 2T 为周期的周期性函数。( 二)两个函数的图象对称性( 相互对称 )( 利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解) 1、 曲线y f (x)与y f

5、(x)关于 X 轴对称。2、 曲线y f(x)与y f( x)关于 Y 轴对称。3、曲线y f (x)与y f (2a x)关于直线x a对称。4、曲线f(x, y) 0关于直线x b对称曲线为f (x,2b y) 0。5、曲线f(x, y) 0关于直线x y c 0对称曲线为f( y c, x c) 0。6、曲线f(x, y) 0关于直线x y c 0对称曲线为f(y c,x c) 0。7、曲线f(x, y) 0关于点P(a,b)对称曲线为f(2a x,2b y) 0。注：一个结论: 设y f (x), x R都有f (x) f(2a x)且f (x) 0有k个实根(k 2)，则所有实根之和

6、为ka【典型例题】【例 1】对于y f (x), x R有下列命题。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 录入：李俊杰3(1 ) 在同一坐标系下，函数y f(1 x)与y f(1 x)的图象关于直线x 1对称。( 2 ) 若f(1 x) f (1 x)且f(2 x) f (2 x)均成立，则f (x)为偶函数。(3)若f(x 1) f (x 1)恒成立，则y f (x)为周期函数。(4)若f (x)为单调增函数，则y f(ax) (a

7、0且a 1)也为单调增函数，其中正确的为解：( 2)( 3) 【例 2 】若函数f(x) (x a)3x R 有f(1 x) f (1 x)求f(2) f( 2)。解：x R, f(1 x) f(1 x)知f (x)的图象关于(1,0)对称而f(x) (x a)3的对称中心P( a,0) 3 3 二a 1?f (x) (x 1)3则f(2) f( 2) 1 ( 3)326 【例 3】设f(x)是定义在R上的函数，x R均有f(x) f(x 2) 0, 当1 x 1时，f (x) 2x 1，求当1 x 3时，f (x)的解析式。解：由x R 有f (x) f (x 2)得T 4 设x (1,3则

8、(x 2) ( 1,1 , f (x 2) f(x 2 4) f (x 2) f (x) ? f (x) f(x 2)2(x 2) 1 2x 5 , . 1 x 3时f (x) 2x 5 【例 4】已知f(x)是定义在R上的函数且满足f(x) f (x 1) 1，当x 0,1时有f (x) x2则(1) f (x)是周期函数且周期为2 , ( 2) 当x 1,2时，f(x) 2x x23 ( 3) f ( 2004,5)其中正确的是？4 解：(1) ( 2) ( 3) 【例 5 】已知f (x)满足f (x 2) f (x 2) , f(4 x) f (4 x)，当6 x b c 且f ( 4

9、) 13，若m f (-) , n f (-) , p 3 2 解：由已知得T 4，对称轴x 4 ? x5 时，心)sinx求f(3 )的值。2时f (x) x2 bx c f (11)求m、n、p大小关系 ? 4也为一条对称轴-4 ? - 8 由f( 4) 2 8、3 m f(;) , n fH), p f(11) 3 2 13 ?徑6413 ? - 3 4 f (3) ? n m p 【例 6】 定义在R上的函数f (x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x叱精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -

10、- - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 录入：李俊杰4)f(3 ) f( -) f(-) si -23 3 3 3 2 6.如果f (x ) f ( x)且f (x)【例 7】设y f (x)定义在R上，m, n R有f (m n) f (m) f(n)且当x 0时，0 f(x) ( 1)求证：f0) 1且当x 0时，f(x) 1 ( 2) 求证：f (x)在R上递减。解：( 1) 在f (m n) f (m) f(n)中,令m 1, n 0 得f (1) f (1) f (0) ? 0 f (1) 1 ? f (0)1 设x 0，贝V x 0令m

11、 x, n X代入条件式有f (0) f (x) f ( x)而f (0) 1 1 ?- f(x) 1 f( x) ( 2) 设x1x2贝y x2x-i 0/.0 f (x2x1) 1 令m x1?m n x2贝U n x2X1代入条件式得f(X2)f(Xjf(X2 xj 即0 f(x2)1 ?- f(x2) f(X1)f(xj ? f (x)在R上递减【模拟试题】一、选择题1.已知f (x) 满足f(x 3) f(x) , x R且f (x)是奇函数，若f(1) . 2则f (2000) (A. 、2 B 72 C.3 42D. 3 ?、2 2.已知f (x) 是定义在R上的偶函数，且f (

12、x 4) f (x)对任何实数均成立，当0 x 2时，) f (x) x，当398x 400时，f (x)( ) 1解f (5 ) 3 2 f(3 A. x 400 B. x 398 x 398 C. 400 x D. 398 x 3.若函数f(x) 3sin( A. 0 B. 3 C. 3 4.函数y cos( 2x)是2 A.周期为2的奇函数C.周期为的奇函数)，x R 都有f ( x) f ( x)则f ()等于 (6 6 6 D. 3 或3 B. D. 周期为的偶函数周期为4的奇函数5. f (x) 2sin(2x )的图象关于y轴对称的充要条件是( A. 2k - B. 2 2k C

13、. D. f ( x)则f (x)可以是 (精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 录入：李俊杰5A. sin 2x B. cosx C. sin xD. sin x 7. y sin (x )品 cos(x )为偶函数的充要条件是( )A. 2k B. k - C. 2k D. k 3 6 6 6 8. 设f (x)是R上的奇函数，f(x 2) f (x)当0 x 1 时，f (x) x，则f (7.5)( )A. 0.5 B. 0.5

14、 C. 1.5 D 1.5 9. 设f (x) 2 x bx c x t 有f (2 t) f(2 t)那么( )A. f(2) f(1) f(4) B. f(1) f f (4) C. f(2) f(4) f(1) D. f(4) f(2) f(1) 10. y f(x)定义在R上，则y f(x 1)与y f (1 x)的图象关于 ( )A. y 0对称B. x 0对称 C. y 1对称 D. x 1对称二、填空题1. f (x)是R 上的奇函数，且f (x 2 ) f (x) , f( ) f(2 ) f(3 ) f(2003 ) _ 。2. 函数y sin(2x -)的图象的对称轴中最靠

15、近y轴的是 _ 。3 3. f (x)为奇函数，且当x 0时，f (x) xx 2则当x 0时f(x) _ 。4. 偶函数f (x)的定义域为R，且在( ，0)上是增函数，则3 3 (1)f( ) f(a2 a 1) ( 2)f( ) f(a2 a 1) 4 4 3 23 2(3)f ( ) f (a2 a 1) ( 4)f ( ) f(a2 a 1)中正确的是_ 。4 4 三. 解答题1 1. 设f (x)是定义在R上的偶函数，图象关于x 1对称，” x20,-都仁捲x2) f(x1)f (x2)2 1 1 且f(1) a 0。( 1 )求f()、f() ( 2) 证明：f(x)是周期函数2

16、 4 2. 如果函数y f(x)的图象关于x a和x b(a b)都对称，证明这个函数满足f2(a b) x f(x)。21 3. 已知f(x) x bx c对任意实数t都有f(1 t) f (1 t)，比较f()与f (2)的大小。2 4. 定义在实数集上的函数f (x)，对一切实数x 都有f(1 x) f (2 x)成立，若方程f (x) 0仅有101个不同实根，求所有实根之和。【课后练习】1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - -

17、录入：李俊杰61、定义在实数集上的奇函数f(x)恒满足f(1 x) f(1 x)，且x ( 1,0)时，f(x) 2x-, 则f (log 2 20) _ 2、已知函数y f(x)满足f(x) f(2 x) 0, 则y f(x)图象关于 _ 对称。3、 函数y f(x 1)与函数y f(1 x)的图象关于关于_ 对称。4、 设函数y f(x)的定义域为 R,且满足f(x 1) f (1 x)，则y f (x)的图象关于_ 对称。5、 设函数y f (x)的定义域为 R,且满足f (x 1) f (1 x)，则y f (x 1)的图象关于_ 对称。y f(x)图象关于 _ 对称。6、 设y f

18、(x)的定义域为 R,且对任意x R，有f(1 2x) f (2x)，则y f (2x)图象关于_ 对称，y f (x)关于 _ 对称。7、 已知函数y f(x)对一切实数x 满足f (2 x) f(4 x)，且方程f(x) 0有 5 个实根，则这5 个实根之和为 ( ) A、5 B 、10 C 、15 D 、18 &设函数y f(x)的定义域为 R，则下列命题中，若y f(x)是偶函数，则y f (x 2)图象关于 y 轴对称；若y f (x 2)是偶函数，则y f (x)图象关于直线x 2对称；若f (x 2) f (2 x)，则函数y f (x)图象关于直线x 2对称；y f (x 2)

19、与y f (2 x)图象关于直线x 2对称，其中正确命题序号为_ 。9、函数y f (x)定义域为 R,且恒满足f(x 2) f(2 x)和f(6 x) f (6 x)，当2 x 6时,1 f (x) 2 x，求f (x)解析式。2 10、 已知偶函数y f(x)定义域为 R,且恒满足f (x 2) f (2 x)，若方程f(x) 0在0,4上只有三个实根，且一个根是4, 求方程在区间8,10中的根。【模拟试题答案】一. 1. B 2. C 3. D 4. C 5. C 6. D 7. B 8. B 9. A 10.B 二. 1. 0 2. x 3 x x 2 4. (2) 12 三.1. 解

20、:(1) ：xz 0于都有伽X2)f(xj f(X2)x X、1 1 1 1 1 2 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 录入：李俊杰7 - f(x) 9 9 0 x 0,1 ?- f(1) f(； o) 2 2 f(2)1 11 11 1 1 1?- f(;) a2, fF) f( ) f(;)2?- f(;) a刁2 2 4 4 4 4 (2) 由已知f (x)关于x 1 对称? f (x) f (1 1 x)即f(x) f (2

21、 x) , x R 又由f(x)是偶函数知f( x) f (x) , x R ?f( x) f(2 x) , x R将上式中x以x代换得f(x) f (x 2) ?f (x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期3 1 根据f (x)在(1,)上是增函数得f(2) f(-)即f(2) f(-) 2 2 4. 解：设U 2 x即x 2 u ? f(u) f (3 u)x R有f(x) f(3 x) 3 303 ? 所有实根之和为101 2 2 【课后练习答案】? f (2a x) f (2b x)令2a x A，则2a x 2(a b) A ? f2(a b) A f (A)即f2(a b) x

22、f(x) -. 解：由f(1 t) f(1 t)知抛物线f (x) x 2 1 bx c的对称轴是 1 ? f ( ) f(2)而2 - 2. 证： ? f (x)关于x a和x b对称f(x)f (2a x), f (x) f (2b x)2 3 2T1:1 T2: (1,0) T3 : x 1 T4:y 轴即x 0 T5 : y 轴x 1 T6:x 1x 丄T7: C T8 : 4 2 2(x8k) (8 k 2 x 8k 2,k Z) T9:f (x) -(x 8k) 2 (8k 2 x 8k 6,k Z) 2 T10 : 方程的根为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -

23、 - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 录入：李俊杰86 4 2、02、46810 共 9 个根。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -