2022年平面向量空间向量知识点 .pdf

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1、平面向量 2.1.1、向量的物理背景与概念1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量 . 2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做有向线段 ，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度. 2、 向量AB的大小，也就是向量AB的长度（或称 模） ，记作AB；长度为零的向量叫做零向量 ；长度等于1 个单位的向量叫做单位向量 . 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.规定：零向量与任意向量平行. 2.1.3、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 . 2.2.1、向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法则和平

2、行四边形加法法则. 2、baba. 2.2.2、向量减法运算及其几何意义1、 与a长度相等方向相反的向量叫做a的相反向量 . 2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则. 2.2.3、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘 .记作：a，它的长度精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 和方向规定如下：aa, 当0时, a的方向与a的方向相同；当0时, a的方向与a的方向相反 . 2、 平面向量共

3、线定理：向量0aa与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ab. 2.3.1、平面向量基本定理1、 平面向量基本定理：如果21,ee是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量a，有且只有一对实数21,，使2211eea. 2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示1、yxjyi xa,. 2.3.3、平面向量的坐标运算1、 设2211,yxbyxa，则：2121,yyxxba，2121,yyxxba，11, yxa，1221/yxyxba. 2、 设2211,yxByxA，则：1212,yyxxAB. 2.3.4、平面向量共线的坐标表示1、设332211,yxCyxByxA，则线段 A

4、B 中点坐标为222121,yyxx， ABC 的重心坐标为33321321,yyyxxx. 2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义1、cosbaba. 2、a在b方向上的投影为：cosa. 3、22aa. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 4、2aa. 5、0baba. 2.4.2 、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、 设2211,yxbyxa，则：2121yyxxba2121yxa121200aba bx xy y12

5、21/ /0ababx yx y2、 设2211,yxByxA，则：212212yyxxAB. 3、 两向量的夹角公式121222221122cosx xy ya ba bxyxy4、点的平移公式平移前的点为( ,)P x y（原坐标），平移后的对应点为(,)Px y（新坐标） ，平移向量为( , )PPh k，则.xxhyyk函数( )yfx的图像按向量( , )ah k平移后的图像的解析式为().ykf xh 2.5.1、平面几何中的向量方法 2.5.2、向量在物理中的应用举例空间向量空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳. 1

6、、直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量：若 A、B 是直线l上的任意两点，则AB为直线l的一个方向向量；与AB平行的任意非精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 零向量也是直线l的方向向量 . 平面的法向量：若向量n所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面， 记作n，如果n，那么向量n叫做平面的法向量 . 平面的法向量的求法（待定系数法）：建立适当的坐标系设平面的法向量为( , , )nx y z求出平面内两个不共线向量的坐标12

7、3123(,),( ,)aa aabb b b根据法向量定义建立方程组00n an b. 解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量 . （如图）1、 用向量方法判定空间中的平行关系线线平行设直线12,l l的方向向量分别是a b、，则要证明1l2l，只需证明ab，即()akb kR. 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。线面平行 （法一）设直线l的方向向量是a， 平面的法向量是u， 则要证明l， 只需证明au，即0a u. 即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.

8、面面平行若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证，只需证uv，即证uv. 即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。3、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直设直线12,l l的方向向量分别是a b、，则要证明12ll，只需证明ab，即0a b. 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。线面垂直 （法一）设直线l的方向向量是a， 平面的法向量是u， 则要证明l， 只需证明au，即au. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - - （法二）设直线l的

9、方向向量是a，平面内的两个相交向量分别为mn、，若0,.0a mla n则即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。面面垂直若平面的法向量为u，平面的法向量为v，要证，只需证uv，即证0u v. 即：两平面垂直两平面的法向量垂直。4、利用向量求空间角求异面直线所成的角已知,a b为两异面直线，A，C 与 B，D 分别是,a b上的任意两点，,a b所成的角为，则cos.AC BDAC BD求直线和平面所成的角定义： 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角求法： 设直线l的方向向量为a，平面的法向量为

10、u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则为的余角或的补角的余角 .即有：coss.ina ua u求二面角定义： 平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线lBOlAO,，则AOB为二面角l的平面角 . 如图：求法： 设二面角l的两个半平面的法向量分别为m n、，再设m n、的夹角为，二面角l的平面角为，则二面角为m n、的夹角或其补角.O A B O A B l 精品资料 - - - 欢迎下载 - -

11、- - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 根据具体图形确定是锐角或是钝角：如果是锐角，则coscosm nm n，即arccosm nm n；如果是钝角，则coscosm nm n，即arccosm nm n. 5、利用法向量求空间距离点 Q 到直线l距离若 Q 为直线l外的一点 ,P在直线l上，a为直线l的方向向量，b=PQ，则点 Q 到直线l距离为221(|)()|haba ba点 A 到平面的距离若点 P 为平面外一点，点M 为平面内任一点，平面的法向量为n，则 P 到平面

12、的距离就等于MP在法向量n方向上的投影的绝对值. 即cos,dMPn MPn MPMPn MPn MPn直线a与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。即.n MPdn两平行平面,之间的距离利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。即.n MPdn异面直线间的距离设向量n与两异面直线,a b都垂直，,Ma Pb则两异面直线,a b间的距离d就是MP在向量n方向上投影的绝对值。即.n MPdn精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -

13、- - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 21ABDC6、三垂线定理及其逆定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直推理模式：,POOPAAaPAaaOA概括为：垂直于射影就垂直于斜线.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直推理模式：,POOPAAaAOaaAP概括为：垂直于斜线就垂直于射影. 7、三余弦定理设 AC 是平面内的任一条直线， AD 是的一条斜线AB 在内的射影， 且 BD A

14、D ，垂足为 D.设 AB 与(AD) 所成的角为1， AD 与 AC 所成的角为2， AB 与 AC 所成的角为则12coscoscos. 8、 面积射影定理已知平面内一个多边形的面积为S S原， 它在平面内的射影图形的面积为S S射，平面与平面所成的二面角的大小为锐二面角，则cos=.SSSS射原9、一个结论长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123lll、 、，夹角分别为123、,则有2222123llll222123coscoscos1222123sinsinsin2. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. aPOA精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -