2022年中考数学专题探究面积问题.pdf

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1、中考数学专题 -面积问题（2）面积倍分问题面积问题在中考中占有很重要的地位，一般情况下， 计算一些基本图形的面积，可以直接运用图形的面积公式，对于一些不规则的图形面积的计算，可以对图形进行转化，这类问题虽然解题方法比较灵活多样，但难度一般不太大。 但是，在中考压轴题中， 有关面积的问题常常以动态的方式出现，经常与函数知识联系起来，有时还需要分类讨论。因此，对考生要求较高，在解题时，要注意分清其中的变量和不变量， 并把运动的过程转化成静止的状态，做到动静结合， 以静求动。中考数学面积问题的考点主要有： （1）面积的函数关系式问题；（2）面积的最值问题； （3）面积的倍分问题。前二个考点在上次的专

2、题中已经讲过，今天我们来探究面积的倍分问题。一、典型例题：1、 （2007 江苏扬州）如图，矩形ABCD中，3AD厘米，ABa厘米（3a） 动点MN，同时从B点出发，分别沿BA，BC运动，速度是1厘米秒过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于PQ，当点N到达终点C时，点M也随之停止运动设运动时间为t秒（1）若4a厘米，1t秒，则PM_厘米；（2）若5a厘米，求时间t，使PNBPAD，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中， 存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等， 求a的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相

3、等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由分析：问题（ 1）比较容易解答，问题（ 2）利用三角形相似的性质也容易解决，问题（ 3）需要利用BM=BN=t, 利用面积相等求出t和 a 的关系式，利用t 的范围求 a 的取值范围，问题（ 4）只需要在问题（ 3）的基础上，让梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可。解 （1）34PM，（2）2t，使PNBPAD，相似比为3: 2（3）PMABCBABAMPABC，D Q C P N B M A D Q C P N B M A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -

4、 - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - AMPABC，PMAMBNAB即()PMatt atPMtaa，atatQM)(3当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即()()22QPAD DQMPBN BM2)(2)(3)(3tttaattaatat化简得66ata，3t ，636aa，则636aa ，（4）36a时，梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CNPM()3tatta，把66ata代入，解之得2 3a，所以2 3a所以，存在a，当2 3a时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相

5、等温馨提示： 本题考查与面积有关的问题， 解答的关键是将梯形的面积相等转化后求解，另外，在解决这一类问题时，要善于运用数形结合的思想，把几何条件转化，建立合适的数学模型，本题就充分运用了方程的思想。二、名题精练：1、 （20XX年浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（ 2，4） ，直线2x与x轴相交于点B，连结OA，抛物线2xy从点O沿OA方向平移，与直线2x交于点P，顶点M到A点时停止移动（1）求线段OA所在直线的函数解析式；yB O A P M x2x（第 24 题）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -

6、 - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （2）设抛物线顶点M的横坐标为m, 用m的代数式表示点P的坐标；当m为何值时，线段PB最短；（3）当线段PB最短时， 相应的抛物线上是否存在点Q，使QMA的面积与PMA的面积相等，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由2、 （20XX年江苏宿迁）（本题满分12 分）已知抛物线cbxxy2交x轴于)0, 1(A、)0,3(B， 交y轴于点C，其顶点为D（1）求b、c的值并写出抛物线的对称轴；xyODCBA（第 28 题）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下

7、载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （2） 连接BC， 过点O作直线BCOE交抛物线的对称轴于点E 求证：四边形ODBE是等腰梯形；（3）问 Q 抛物线上是否存在点Q，使得 OBQ 的面积等于四边形ODBE的面积的31？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由3、 （2009 湖南邵阳）如图、直线l 的解析式为y x+4,它与 x 轴、 y 轴分相交于A、B 两点，平行于直线l 的直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴的正方向以每秒1 个单位长度的速度运动，它与x 轴、 y 轴分别相交于M、N 两点，运动时间为

8、t 秒（ 0t4）（1）求 A、B 两点的坐标；EMxyODCBA（第 28题 2）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （2）用含 t 的代数式表示MON 的面积 S1；（3）以 MN 为对角线作矩形OMPN, 记MPN 和 OAB 重合部分的面积为S2；当 2t4 时，试探究S2与之间的函数关系；在直线 m 的运动过程中，当t 为何值时， S2 为 OAB 的面积的165？x y l m O A M N B P x y l m O

9、A M N B P E F 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 答案部分：1、解：（1）设OA所在直线的函数解析式为kxy，A（2，4） ，42k, 2k, OA所在直线的函数解析式为2yx.（2）顶点M 的横坐标为m，且在线段OA上移动，2ym（0m2）. 顶点M的坐标为 (m,2m).抛物线函数解析式为2()2yxmm.当2x时，2(2)2ymm224mm（0m 2）.点P的坐标是（ 2，224mm）.PB=224mm=2(1)3

10、m， 又 0m2，当1m时， PB最短 . （3）当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为212xy. （ 1 分）假设在抛物线上存在点Q，使QMAPMASS. 设点Q的坐标为（x，223xx）. 当点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC/AO，交y轴于点C，3PB，4AB，1AP，1OC，C点的坐标是（ 0，1）. 点P的坐标是（ 2，3） ，直线PC的函数解析式为12xy.QMAPMASS，点Q落在直线12xy上. 223xx=21x. 解得122,2xx，即点Q（2，3）. 点Q与点P重合. 此时抛物线上不存在点Q，使QMA与APM的面积相等 . 当点Q落在直线OA的上方时，D yO A

11、 B P M x2xC E 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DE/AO，交y轴于点E，1AP，1EODA，E、D的坐标分别是（0，1） ， （2，5） ，直线DE函数解析式为12xy.QMAPMASS，点Q落在直线12xy上. 223xx=21x. 解得：122x，222x. 代入12xy，得152 2y，2522y.此时抛物线上存在点122,522Q，225 ,222Q使QMA与PMA的面积

12、相等 . 综上所述，抛物线上存在点122,522Q，225,222Q使QMA与PMA的面积相等 .2、解： （1）求出：4b，3c，抛物线的对称轴为：x=2 (2) 抛物线的解析式为342xxy，易得 C 点坐标为 （0，3） ，D 点坐标为 （ 2，-1）设抛物线的对称轴DE 交 x 轴于点 F，易得 F 点坐标为（ 2，0） ，连接 OD，DB，BE OBC 是等腰直角三角形，DFB 也是等腰直角三角形，E 点坐标为（ 2，2） ，BOE= OBD=45OEBD 四边形 ODBE 是梯形在ODFRt和EBFRt中，OD=5122222DFOF，BE=5122222FBEFOD= BE 四边

13、形 ODBE 是等腰梯形(3) 存在，由题意得：29332121DEOBSODBE四边形设点 Q 坐标为（ x，y） ，由题意得：yyOBSOBQ2321三角形=23293131ODBES四边形1y精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 当 y=1 时，即1342xx，221x，222x，Q 点坐标为（ 2+2，1）或(2-2，1) 当 y=-1 时，即1342xx，x=2，Q 点坐标为（ 2，-1）综上所述，抛物线上存在三点Q1（2+2

14、，1） ，Q2(2-2，1) ，Q3（ 2，-1）使得OBQS三角形=ODBES四边形313、解：（1）当0 x时，4y；当0y时，4x(4 0)0 4AB，（，）；（2）1OMOAMNABONOB，211122OMONtSOM ONt，（3）当24t 时，易知点P在OAB的外面，则点P的坐标为()tt，, F点的坐标满足4xtyt，即( 4)F tt，同理(4)Ett，则24PFPEttt(4- )，所以2MPNPEFOMNPEFSSSSS2221111324248822222tPE PFttttt()()；E F Q1Q3Q2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 当02t时，222115154 4221622Stt，解得125052tt，两个都不合题意，舍去；当24t 时，22358822Stt，解得34733tt，综上得，当73t或3t时，2S为OAB的面积的516精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -