2022年中考数学专题知识突破专题四探究型问题.pdf

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1、专题四探究型问题一、中考专题诠释探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断， 补充并加以证明的一类问题 根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类二、解题策略与解法精讲由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强， 灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面， 并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系， 选择合适的解题途径完成最后的解答由于题型新颖、综合性强、 结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从

2、以下几个角度考虑：1利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律2反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致3分类讨论法当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果4类比猜想法即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时， 应更注重数学思想方法的综合运用三、中考考点精讲考点一：条件探索型：此类问题结论明确

3、，而需探究发现使结论成立的条件例 1（2013?襄阳）如图1，点 A 是线段 BC 上一点， ABD 和 ACE 都是等边三角形（1）连结 BE，CD ，求证： BE=CD ；（2）如图 2，将 ABD 绕点 A 顺时针旋转得到AB D当旋转角为度时，边AD 落在 AE 上；在的条件下，延长DD 交 CE 于点 P，连接 BD ，CD 当线段AB、AC 满足什么数量关系时， BDD 与CPD 全等？并给予证明思路分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=AD ，AE=AC ， BAD= CAE=60 ，然后求出 BAE= DAC ，再利用 “ 边角边 ” 证明 BAE 和 DAC 全等，根据全

4、等三角形对应边相等即可得证；（2）求出 DAE ，即可得到旋转角度数；当 AC=2AB时，BDD 与CPD 全等 根据旋转的性质可得AB=BD=DD=AD ，然后得到四边形ABDD 是菱形，根据菱形的对角线平分一组对角可得ABD =DBD =30 ，菱形精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 的对边平行可得DPBC ，根据等边三角形的性质求出AC=AE ， ACE=60 ，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出PCD = ACD =30

5、，从而得到ABD = DBD = BD D=ACD = PD C=30 ，然后利用 “ 角边角 ” 证明 BDD 与 CPD 全等解答：（1）证明： ABD 和 ACE 都是等边三角形AB=AD ，AE=AC ， BAD= CAE=60 ， BAD+ DAE= CAE+ DAE ，即 BAE= DAC ，在 BAE 和 DAC 中，ABADBAEDACAEAC， BAE DAC （SAS ） ，BE=CD ；（2）解： BAD= CAE=60 ， DAE=180 -60 2=60，边 AD 落在 AE 上，旋转角 =DAE=60 ；当 AC=2AB时， BDD 与 CPD 全等理由如下：由旋转

6、可知，AB 与 AD 重合，AB=BD=DD=AD ，四边形 ABDD 是菱形， ABD = DBD =12ABD=12 60 =30 ，DP BC， ACE 是等边三角形，AC=AE ， ACE=60 ，AC=2AB ，AE=2AD ， PCD = ACD =12ACE=12 60 =30 ，又 DPBC ， ABD = DBD = BD D=ACD = PCD = PD C=30 ，在 BDD 与 CPD 中，DBDPCDBDCDBD DPD C， BDD CPD （ASA ） 故答案为： 60点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及旋转的性质，综合性较强，但难度不

7、大，熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的判定是姐提到过对应训练1 （ 2013?新疆）如图， ?ABCD 中，点 O 是 AC 与 BD 的交点，过点O 的直线与BA、DC精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 的延长线分别交于点E、F（1）求证： AOE COF ；（2）请连接 EC、AF，则 EF 与 AC 满足什么条件时，四边形AECF 是矩形，并说明理由1解：（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，AO=OC ，ABCD E

8、=F 又 AOE= COF AOE COF （ASA） ；（2）如图，连接EC 、AF，则 EF 与 AC 满足 EF=AC 时，四边形AECF 是矩形，理由如下：由（ 1）可知 AOE COF ，OE=OF ，AO=CO ，四边形 AECF 是平行四边形，EF=AC ，四边形 AECF 是矩形考点二：结论探究型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论例 2 （2013?牡丹江） 已知 ACD=90 ，MN 是过点 A 的直线， AC=DC ，DB MN 于点 B，如图（ 1） 易证 BD+AB=2CB ，过程如下：过点 C 作 CE CB 于点 C，与 MN 交

9、于点 E ACB+ BCD=90 ，ACB+ ACE=90 ， BCD= ACE 四边形 ACDB 内角和为 360 ， BDC+ CAB=180 EAC+ CAB=180 ， EAC= BDC 又 AC=DC ， ACE DCB ， AE=DB ，CE=CB ， ECB 为等腰直角三角形，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 33 页 - - - - - - - - - - BE=2CB又 BE=AE+AB ，BE=BD+AB ， BD+AB=2CB（1）当 MN 绕 A 旋转到如

10、图（ 2）和图（ 3）两个位置时，BD 、AB、CB 满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明（2）MN 在绕点 A 旋转过程中，当BCD=30 ，BD=2时，则 CD= ，CB= 思路分析：（1）过点 C 作 CECB 于点 C，与 MN 交于点 E，证明 ACE DCB ，则ECB 为等腰直角三角形，据此即可得到BE=2CB，根据 BE=AB-AE即可证得；（2）过点 B 作 BH CD 于点 H，证明 BDH 是等腰直角三角形，求得DH 的长，在直角BCH 中，利用直角三角形中30 的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得解： （1）如图（ 2） ：AB-BD=2CB 证

11、明：过点C 作 CECB 于点 C，与 MN 交于点 E， ACD=90 ， ACE=90 -DCE ， BCD=90 -ECD ， BCD= ACE DB MN， CAE=90 -AFC ，D=90 -BFD， AFC= BFD， CAE= D，又 AC=DC ， ACE DCB ，AE=DB ，CE=CB ， ECB 为等腰直角三角形，BE=2CB又 BE=AB-AE ，BE=AB-BD ，AB-BD=2CB如图（ 3） ：BD-AB=2CB 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共

12、 33 页 - - - - - - - - - - 证明：过点C 作 CECB 于点 C，与 MN 交于点 E， ACD=90 ， ACE=90 +ACB ，BCD=90 +ACB ， BCD= ACE DB MN， CAE=90 -AFB ， D=90 -CFD ， AFB= CFD ， CAE= D，又 AC=DC ， ACE DCB ，AE=DB ，CE=CB ， ECB 为等腰直角三角形，BE=2CB又 BE=AE-AB ，BE=BD-AB ，BD-AB=2CB（2）如图（ 2） ，过点 B 作 BH CD 于点 H， ABC=45 ，DB MN， CBD=135 ， BCD=30 ，

13、 CBH=60 ， DBH=75 ， D=15 ，BH=BD?sin45 ， BDH 是等腰直角三角形，DH=BH=22BD=222=1， BCD=30 CD=2DH=2 ，CH=223CDDH，CB=CH+BH=3+1；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS，SSS ，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等对应训练2（

14、2013?河南）如图 1， 将两个完全相同的三角形纸片ABC 和 DEC 重合放置，其中 C=90 ，B= E=30 （1）操作发现如图 2，固定 ABC ，使 DEC 绕点 C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空：线段 DE 与 AC 的位置关系是；设 BDC 的面积为 S1， AEC 的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是（2）猜想论证当 DEC 绕点 C 旋转到如图3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC 和 AEC 中 BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知 ABC=60 ，点 D 是角平分线上一点，

15、BD=CD=4 ，DE AB 交 BC 于点 E （如图 4） 若在射线 BA 上存在点 F，使 SDCF=SBDE，请直接写出相应的BF 的长2解：（1） DEC 绕点 C 旋转点 D 恰好落在 AB 边上，AC=CD ， BAC=90 -B=90 -30 =60， ACD 是等边三角形， ACD=60 ，又 CDE= BAC=60 ， ACD= CDE ，DE AC ；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 33 页 - - - - - - - - - - B=30 ， C=90

16、，CD=AC=12AB，BD=AD=AC ，根据等边三角形的性质，ACD 的边 AC 、AD 上的高相等， BDC 的面积和 AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即 S1=S2；故答案为： DE AC；S1=S2；（2）如图， DEC 是由 ABC 绕点 C 旋转得到，BC=CE ，AC=CD ， ACN+ BCN=90 ，DCM+ BCN=180 -90 =90 ， ACN= DCM ，在 ACN 和 DCM 中，90ACNDCMCMDNACCD， ACN DCM （AAS ） ，AN=DM ， BDC 的面积和 AEC 的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即 S1=S2

17、；（3）如图，过点D 作 DF1BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以 BE=DF1，且 BE、DF1上的高相等，此时 SDCF=SBDE，过点 D 作 DF2BD， ABC=60 ， F1DF2=ABC=60 ， DF1F2是等边三角形，DF1=DF2，BD=CD ， ABC=60 ，点 D 是角平分线上一点， DBC= DCB=12 60 =30 ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 33 页 - - - - - - - - - - CDF1=180 -30 =150 ，CDF

18、2=360 -150 -60 =150 ， CDF1=CDF2，在 CDF1和CDF2中，1212DFDFCDFCDFCDCD， CDF1 CDF2（SAS） ，点 F2也是所求的点， ABC=60 ，点 D 是角平分线上一点，DE AB， DBC= BDE= ABD=12 60 =30 ，又 BD=4 ，BE=12 4 cos30 =233=4 33，BF1=4 33，BF2=BF1+F1F2=4 33+4 33=8 33，故 BF 的长为4 33或8 33考点三：规律探究型：规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、 推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一

19、般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用. 例 3（2013?闸北区二模）观察方程：x+2x=3，方程： x+6x=5，方程： x+12x=7（1）方程的根为： ；方程的根为： ；方程的根为： ；（2）按规律写出第四个方程：；此分式方程的根为： ；（3）写出第 n 个方程（系数用n 表示）： ；此方程解是： 思路分析： 先计算出方程的根，再根据根的变化规律求出方程的一般形式及根的变化规律解： （1）两边同时乘以x 得，x2-3x+2=0 ，方程根： x1=1，x2=2；两边同时乘以x 得， x2-

20、5x+6=0 ，方程根： x1=2，x2=3；两边同时乘以x 得， x2-7x+12=0 ，方程根： x1=3，x2=4；（2）方程： x+20 x=9；方程根： x1=4，x2=5（3）第 n 个方程： x+(1)n nx=2n+1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 此方程解： x1=n，x2=n+1点评： 本题考查了分式方程的解，从题目中找出规律是解题的关键对应训练3 （2013?南沙区一模） 如图，一个动点P 在平面直角坐标

21、系中按箭头所示方向作折线运动，即第一次从原点运动到（1，1） ，第二次从（ 1，1）运动到（ 2，0） ，第三次从（2，0）运动到（ 3，2） ，第四次从（ 3，2）运动到（ 4，0） ，第五次从（ 4，0）运动到（ 5， 1） ，按这样的运动规律，经过第2013 次运动后，动点P 的坐标是3 （ 2013 ，1）考点四：存在探索型：此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目例 4 （2013?呼和浩特） 如图，在边长为3 的正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上的点， BE=1 ，AEP=90 ，且 EP 交正方形外角的平分线CP 于点 P，交边 CD 于点 F，（1

22、）FCEF的值为；（2）求证： AE=EP ；（3）在 AB 边上是否存在点M，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由思路分析：（1）由正方形的性质可得：B= C=90 ，由同角的余角相等，可证得： BAE=CEF ，根据同角的正弦值相等即可解答；（2）在 BA 边上截取BK=NE ，连接KE，根据角角之间的关系得到AKE= ECP ，由AB=CB ，BK=BE ，得 AK=EC ，结合 KAE= CEP ，证明 AKE ECP ，于是结论得出；（3）作 DM AE 于 AB 交于点 M，连接 ME、DP ，易得出DMEP，由已知条件证明ADM BAE ，进

23、而证明MD=EP ，四边形 DMEP 是平行四边形即可证出解： （1）四边形ABCD 是正方形， B=D， AEP=90 ， BAE= FEC，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 在 RtABE 中， AE=223110，sin BAE=BEAE=sin FEC=FCEC，FCEC=1010，（2）证明：在BA 边上截取 BK=NE ，连接 KE， B=90 ，BK=BE ， BKE=45 ， AKE=135 ，CP 平分外角， D

24、CP=45 ， ECP=135 ， AKE= ECP ，AB=CB ，BK=BE ，AB-BK=BC-BE，即： AK=EC ，易得 KAE= CEP ，在 AKE 和 ECP 中，KAECEPAKECAKEECP， AKE ECP （ASA ） ，AE=EP ；（3）答：存在证明：作 DM AE 于 AB 交于点 M，则有： DMEP，连接 ME 、DP，在 ADM 与BAE 中，ADADADMBAEBADABE， ADM BAE （AAS） ，MD=AE ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -

25、第 10 页，共 33 页 - - - - - - - - - - AE=EP ，MD=EP ，MDEP，MD=EP ，四边形 DMEP 为平行四边形点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识 此题综合性很强， 图形比较复杂， 解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择对应训练4 （ 2013?陕西）问题探究：（1）请在图中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图， M 是正方形 ABCD 内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点 M）使它们将正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由问题解决：（3）如图，在四边形 ABCD

26、 中，ABCD ，AB+CD=BC ， 点 P 是 AD 的中点， 如果 AB=a ，CD=b ，且 ba，那么在边BC 上是否存在一点Q，使 PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ 的长；若不存在，说明理由4解：（1）如图 1 所示，（2）连接 AC 、BD 交于 O，作直线 OM，分别交 AD 于 P，交 BC 于 Q，过 O 作 EF OM交 DC 于 F，交 AB 于 E，则直线 EF、OM 将正方形的面积四等份，理由是：点O 是正方形 ABCD 的对称中心，AP=CQ ，EB=DF ，在 AOP 和 EOB 中 AOP=90 -AOE ， BOE=

27、90 -AOE ， AOP= BOE ，OA=OB ， OAP= EBO=45 ， AOP EOB ，AP=BE=DF=CQ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 设 O 到正方形 ABCD 一边的距离是d，则12（AP+AE ）d=12（BE+BQ ） d=12（CQ+CF ）d=12（PD+DF ）d，S四边形AEOP=S四边形BEOC=S四边形CQOF=S四边形DPFM，直线 EF、OM 将正方形 ABCD 面积四等份；（3）

28、存在，当BQ=CD=b时， PQ 将四边形 ABCD 的面积二等份，理由是：如图，连接BP 并延长交 CD 的延长线于点E，ABCD ， A=EDP ，在 ABP 和 DEP 中AEDPAPDPAPBDPE， ABP DEP （ASA ） ，BP=EP ，连接 CP， BPC 的边 BP 和EPC 的边 EP 上的高相等，又 BP=EP ，SBPC=SEPC，作 PFCD ，PG BC ，由 BC=AB+CD=DE+CD=CE，由三角形面积公式得：PF=PG ，在 CB上截取CQ=DE=AB=a，则 SCQP=SDEP=SABPSBPC-SCQP+SABP=SCPE-SDEP+SCQP即： S

29、四边形ABQP=S四边形CDPQ，BC=AB+CD=a+b，BQ=b ，当 BQ=b 时，直线 PQ 将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分四、中考真题演练一、选择题1 （ 2013?永州）如图，下列条件中能判定直线l1l2的是（）A 1=2 B 1=5 C 1+3=180D 3=5 1C 2 （2013?安顺）如图，已知AE=CF ，AFD= CEB ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定 ADF CBE 的是（）A A=C BAD=CB CBE=DF DADBC 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

30、- -第 12 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 2B 3 （2013?湘潭）如图，在ABC 中，AB=AC ，点 D、E 在 BC 上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使DAB= EAC ，则添加的条件不能为（）ABD=CE BAD=AE CDA=DE DBE=CD 3C 二、填空题4 （ 2013?娄底）如图， AB=AC ，要使 ABE ACD ，应添加的条件是（添加一个条件即可）4 B= C 或 AE=AD 5 （2013?白银）如图，已知BC=EC ， BCE= ACD ，要使 ABC DEC ，则应添加的一个条件为 （答案不唯一，只需填一个）5AC=CD

31、6 （ 2013?上海）如图，在ABC 和 DEF 中，点 B、F、C、E 在同一直线上，BF=CE ，AC DF ，请添加一个条件，使ABC DEF ，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 6AC=DF 7 （ 2013?黑龙江）如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，试添加一个条件：，使得平行四边形ABCD 为菱形7AD=DC 8 （ 2013?西城区一模）在

32、平面直角坐标系xOy 中，有一只电子青蛙在点A（1，0）处第一次，它从点A 先向右跳跃1 个单位，再向上跳跃1 个单位到达点A1；第二次，它从点A1先向左跳跃2 个单位，再向下跳跃2 个单位到达点A2；第三次，它从点A2先向右跳跃3 个单位，再向上跳跃3 个单位到达点A3；第四次，它从点A3先向左跳跃4 个单位，再向下跳跃4 个单位到达点A4；依此规律进行，点A6的坐标为；若点An的坐标为（ 2013 ，2012 ） ，则 n= 8 （ -2-3 ） ，4023 9 （ 2013?湛江）如图，所有正三角形的一边平行于x 轴，一顶点在y 轴上从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，顶点依次用A

33、1、A2、A3、A4表示，其中A1A2与 x 轴、底边 A1A2与 A4A5、A4A5与 A7A8、均相距一个单位，则顶点A3的坐标是， A92的坐标是9 （ 0，3） ， （31，-31 ）10 （ 2013? 绍 兴 ） 如 图 钢 架 中 ， 焊 上 等 长 的13根 钢 条 来 加 固 钢 架 ， 若精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 33 页 - - - - - - - - - - AP1=P1P2=P2P3= =P13P14=P14A，则 A 的度数是1012三、解答

34、题11 （2013?茂名）如图，在 ?ABCD 中，点 E 是 AB 边的中点， DE 与 CB 的延长线交于点F（1）求证： ADE BFE ；（2）若 DF 平分 ADC ，连接 CE 试判断 CE 和 DF 的位置关系，并说明理由11解：（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，AD BC 又点 F 在 CB 的延长线上，AD CF ， 1=2点 E 是 AB 边的中点，AE=BE 在 ADE 与 BFE 中， 1 2DEAAEBAEBE， ADE BFE （AAS ） ；（2）解： CE DF 理由如下：如图，连接CE 由（ 1）知， ADE BFE ，DE=FE ，即点 E 是 DF

35、 的中点， 1=2精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 33 页 - - - - - - - - - - DF 平分 ADC ， 1=3， 3=2，CD=CF ，CE DF 12 （2013?白银）如图，在ABC 中， D 是 BC 边上的一点， E 是 AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F，且 AF=BD ，连接 BF（1）BD 与 CD 有什么数量关系，并说明理由；（2）当 ABC 满足什么条件时，四边形AFBD 是矩形？并说明理由12解： （1）BD=

36、CD 理由如下： AFBC， AFE= DCE ，E 是 AD 的中点，AE=DE ，在 AEF 和 DEC 中，AFEDCEAEFDECAEDE， AEF DEC （AAS ） ，AF=CD ，AF=BD ，BD=CD ；（2）当 ABC 满足： AB=AC 时，四边形AFBD 是矩形理由如下： AFBD，AF=BD ，四边形 AFBD 是平行四边形，AB=AC ，BD=CD ， ADB=90 ，?AFBD 是矩形13 （2013?无锡）如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与 BD 相交于点O，在 ABCD ；AO=CO ； AD=BC中任意选取两个作为条件，“ 四边形ABCD是平行四边形

37、” 为结论构造命题（1）以作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；（2）写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明 （命题请写成“ 如果 ，那么 ” 的形式）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 13 （1）以作为条件构成的命题是真命题，证明： ABCD， AOB COD ，AOBOOCOD，AO=OC ，OB=OD ，四边形 ABCD 是平行四边形（2）根据作为条件构成的命题是假命题，即如果有一

38、组对边平行，而另一组对边相等的四边形时平行四边形，如等腰梯形符合，但不是平行四边形；根据作为条件构成的命题是假命题，即如果一个四边形ABCD的对角线交于O，且OA=OC ，AD=BC ，那么这个四边形时平行四边形，如图，根据已知不能推出OB=OD 或 ADBC 或 AB=DC ，即四边形不是平行四边形14（ 2013?宁波）已知抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点A（1，0）， B（3，0），且过点C（0，-3 ）（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x 上，并写出平移后抛物线的解析式精品资料 - - - 欢迎下载 - - -

39、 - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 14解：（ 1）抛物线与x 轴交于点 A （1，0）， B（ 3，0），可设抛物线解析式为y=a（x-1 ）（ x-3 ），把 C（0，-3）代入得： 3a=-3 ，解得： a=-1，故抛物线解析式为y=-（x-1 ）（ x-3 ），即 y=-x2+4x-3 ，y=-x2+4x-3=- （x-2 ）2+1，顶点坐标（ 2，1）；（2）先向左平移2 个单位，再向下平移1 个单位，得到的抛物线的解析式为y=-x2，平移后抛物线的顶点为（0，

40、0）落在直线y=-x 上15 （2013?凉山州）先阅读以下材料，然后解答问题：材料：将二次函数y=-x2+2x+3 的图象向左平移1 个单位，再向下平移2 个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）解：在抛物线y=-x2+2x+3 图象上任取两点A（0， 3） 、B（1，4） ，由题意知：点A 向左平移 1 个单位得到A（ -1，3） ，再向下平移2 个单位得到A（ -1，1） ；点 B 向左平移1 个单位得到 B（ 0，4） ，再向下平移2 个单位得到B（ 0，2） 设平移后的抛物线的解析式为y=-x2+bx+c 则点 A（ -1，1） ，B（0，2）在抛物线上 可得：11

41、2bcc，解得：02bc所以平移后的抛物线的解析式为：y=-x2+2根据以上信息解答下列问题：将直线 y=2x-3 向右平移 3 个单位，再向上平移1 个单位，求平移后的直线的解析式15解：在直线y=2x-3 上任取一点A（0，-3） ，由题意知A 向右平移3 个单位，再向上平移 1 个单位得到A（ 3，-2） ，设平移后的解析式为y=2x+b ，则 A（3，-2）在 y=2x+b 的解析式上，-2=2 3+b，解得： b=-8，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 33 页 -

42、- - - - - - - - - 所以平移后的直线的解析式为y=2x-816 （2013?湖州）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图，已知在RtABC 中， AB=BC ，ABC=90 ，BOAC，于点 O，点 PD 分别在 AO和 BC 上， PB=PD ，DEAC 于点 E，求证： BPO PDE （1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程（2）特殊位置，证明结论若 PB 平分 ABO ，其余条件不变求证：AP=CD （3）知识迁移，探索新知若点 P 是一个动点，点P 运动到 OC 的中点 P 时，满足题中条件的点D

43、也随之在直线BC上运动到点D ，请直接写出CD 与 AP 的数量关系（不必写解答过程）16 （1）证明： PB=PD ， 2=PBD ，AB=BC ， ABC=90 ， C=45 ，BO AC ， 1=45， 1=C=45 ， 3=PBO- 1，4=2- C， 3=4，BO AC ，DEAC， BOP= PED=90 ，在 BPO 和 PDE 中3=4BOP=PEDBP=PD， BPO PDE （AAS ） ；（2）证明：由（ 1）可得： 3=4，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，

44、共 33 页 - - - - - - - - - - BP 平分 ABO ， ABP= 3， ABP= 4，在 ABP 和 CPD 中4ACABPPBPD。 ABP CPD （AAS ） ，AP=CD （3）解： CD 与 AP 的数量关系是CD =23AP 理由是：如图，设 OP=PC=x ，则 AO=OC=2x=BO，则 AP=2x+x=3x ，由（ 2）知 BO=PE ，PE=2x ，CE=2x-x=x ， E=90 ，ECD= ACB=45 ，DE=x ，由勾股定理得：CD=2x，即 AP=3x ，CD=2x，CD 与 AP 的数量关系是CD =23AP 17 （2013?淄博）分别以

45、 ?ABCD （CDA 90 ）的三边AB，CD，DA 为斜边作等腰直角三角形， ABE ， CDG ， ADF （1）如图 1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF请判断 GF与 EF 的关系（只写结论，不需证明）；（2）如图 2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF， （ 1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 17解： （1）四边

46、形ABCD 是平行四边形，AB=CD ， DAB+ ADC=180 ， ABE ， CDG ， ADF 都是等腰直角三角形，DG=CG=AE=BE，DF=AF ， CDG= ADF= BAE=45 ， GDF= GDC+ CDA+ ADF=90 +CDA ，EAF=360 -BAE- DAF- BAD=270 -（180 -CDA ）=90+CDA ， FDG= EAF ，在 EAF 和 GDF 中，DFAFFDGFAEDGAE， EAF GDF （SAS ） ，EF=FG ， EFA= DFG ，即 GFD+ GFA= EFA+ GFA， GFE=90 ，GF EF；（2）GF EF，GF=

47、EF 成立；理由：四边形ABCD 是平行四边形，AB=CD ， DAB+ ADC=180 ， ABE ， CDG ， ADF 都是等腰直角三角形，DG=CG=AE=BE，DF=AF ， CDG= ADF= BAE=45 ， BAE+ FDA+ EAF+ ADF+ FDC=180 ， EAF+ CDF=45 ， CDF+ GDF=45 ， FDG= EAF ，在 EAF 和 GDF 中，DFAFFDGFAEDGAE， EAF GDF （SAS ） ，EF=FG ， EFA= DFG ，即 GFD+ GFA= EFA+ GFA， GFE=90 ，GF EF精品资料 - - - 欢迎下载 - - -

48、 - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 18 （2013?张家界）如图，ABC 中，点 O 是边 AC 上一个动点， 过 O 作直线 MNBC 设MN 交 ACB 的平分线于点E，交 ACB 的外角平分线于点F（1）求证： OE=OF ；（2）若 CE=12 ，CF=5 ，求 OC 的长；（3）当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由18 （1）证明：如图，MN 交ACB 的平分线于点E，交 ACB 的外角平分线于点F， 2=5，4=6，M

49、N BC， 1=5，3=6， 1=2， 3=4，EO=CO ，FO=CO ，OE=OF ；（2） 2=5，4=6， 2+4=5+6=90，CE=12 ，CF=5 ，EF=22125=13 ，OC=12EF=6.5 ；（3）答：当点O 在边 AC 上运动到 AC 中点时，四边形AECF 是矩形证明：当 O 为 AC 的中点时， AO=CO ，EO=FO ，四边形 AECF 是平行四边形， ECF=90 ，平行四边形AECF 是矩形19 （2013?衡阳）如图， P 为正方形 ABCD 的边 AD 上的一个动点，AEBP，CF BP，垂足分别为点E、F，已知 AD=4 （1）试说明 AE2+CF2

50、的值是一个常数；（2）过点 P 作 PM FC 交 CD 于点 M，点 P 在何位置时线段DM 最长，并求出此时DM的值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 19解： （1）由已知 AEB= BFC=90 ，AB=BC ，又 ABE+ FBC= BCF+ FBC ， ABE= BCF，在 ABE 和 BCF 中，ABBCABEBCFAEBBFC， ABE BCF （AAS ） ，AE=BF ，AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=