2022年中考数学一轮复习知识讲解例题解析强化训练二次函数.pdf

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1、2009 年中考数学一轮复习知识讲解 +例题解析 +强化训练：二次函数知识讲解一般地，如果y=ax2+bx+c （a，b，c 是常数且a0），那么y 叫做 x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据当 b=c=0 时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数二次函数y=ax2+bx+c （a， b，c 是常数， a 0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（xh）2+k，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a（xx1）（ x

2、x2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x1，x2才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c 而言，其顶点坐标为（2ba，244acba）对于 y=a（xh）2+k 而言其顶点坐标为（h，k）， ?由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向， 对称轴， 顶点二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴为x=2ba，最值为244acba，（ k0 时为最小值，k0）个单位得到函数y=ax2k，将 y=ax2沿着 x 轴（右“”，左“”）平移h（h0）个单位得到y=a（xh）2?在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿 y?轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上

3、加下减），若沿x 轴平移则直接在含 x 的括号内进行加减（右减左加）在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y 轴的交点抛物线 y=ax2+bx+c 的图像位置及性质与a，b，c 的作用： a 的正负决定了开口方向，当 a0 时，开口向上，在对称轴x=2ba的左侧， y 随 x 的增大而减小；在对称轴x=2ba的右侧， y 随 x 的增大而增大，此时y 有最小值为y=244acba，顶点（2ba，244acba）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第

4、1 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 为最低点；当a0 时，开口向下，在对称轴x=2ba的左侧， y 随 x 的增大而增大，在对称轴 x=2ba的右侧， y 随 x 的增大而增大，此时y 有最大值为y=244acba，顶点（，244acba）为最高点a的大小决定了开口的宽窄，a越大，开口越小，图像两边越靠近 y 轴， a越小，开口越大，?图像两边越靠近x 轴； a，b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0 时，对称轴 x=0，即对称轴为y 轴，当 a，b 同号时，对称轴x=2ba0，即对称轴在 y 轴右侧，垂直于x 轴正半轴； c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置

5、，c=0 时，抛物线经过原点， c0 时，与 y 轴交于正半轴；c0，开口向上，又 y=x2x+m=x2x+（12）214+m=（x12）2+414m对称轴是直线x=12，顶点坐标为（12，414m）（2）顶点在x 轴上方，顶点的纵坐标大于0，即414m0 m14m14时，顶点在x 轴上方（3）令 x=0，则 y=m即抛物线 y=x2x+m 与 y 轴交点的坐标是A（0，m）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - - AB x 轴B 点的纵

6、坐标为m当 x2x+m=m 时，解得 x1=0，x2=1A（0，m）， B（1，m）在 RtBAO 中，AB=1 ，OA= mSAOB =12OAAB=4 12m 1=4， m=8 故所求二次函数的解析式为y=x2x+8 或 y=x2x 8【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a， b，c?的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处例 2 （2006，重庆市）已知：m，n 是方程 x26x+5=0 的两个实数根，且mn，抛物线 y=x2+bx+c 的图像经过点A（m，0），B（0，n），如图所示（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一交点为C，抛物线的顶点为 D，

7、试求出点C，D 的坐标和 BCD 的面积；（3）P是线段 OC 上的一点，过点P作 PHx 轴，与抛物线交于 H 点，若直线BC?把 PCH 分成面积之比为2： 3 的两部分，请求出P 点的坐标【分析】（ 1）解方程求出m，n 的值用待定系数法求出b，c 的值（2）过 D 作 x 轴的垂线交x 轴于点 M，可求出 DMC ，梯形 BDBO ， BOC 的面积， ?用割补法可求出BCD 的面积（3）PH 与 BC 的交点设为E 点，则点 E 有两种可能：EH=32EP， EH=23EP【解答】（ 1）解方程 x26x+5=0，得 x1=5，x2=1由 mn，有 m=1，n=5所以点 A，B 的坐

8、标分别为A（1，0），B（0，5）将 A（1，0）， B（0，5）的坐精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 标分别代入y=x2+bx+c，得10,5bcc解这个方程组，得4,5bc所以抛物线的解析式为y=x24x+5（2）由 y=x24x+5，令 y=0，得 x24x+5=0解这个方程，得x1=5，x2=1所以点 C 的坐标为（ 5，0），由顶点坐标公式计算，得点D（ 2，9）过 D 作 x 轴的垂线交x 轴于 M，如图所示则 SDM

9、C=129（ 52）=272S梯形MDBO=122（ 9+5）=14，SBDC =1255=252所以 SBCD =S梯形MDBO+SDMCSBOC =14+272252=15（3）设 P点的坐标为（ a，0）因为线段 BC 过 B，C 两点，所以BC 所在的直线方程为y=x+5 那么， PH 与直线 BC 的交点坐标为E（a，a+5），PH 与抛物线y= x2+4x+5? 的交点坐标为 H（a， a24a+5）由题意，得 EH=32EP，即（ a24a+5）（ a+5）=32（a+5）解这个方程，得a=32或 a=5（舍去）EH=23EP，得（ a24a+5）（ a+5）=32（a+5）解这

10、个方程，得a=23或 a=5（舍去）P 点的坐标为（32，0）或（23，0）例 3 （2006，山东枣庄）已知关于x 的二次函数y=x2mx+212m与 y=x2mx 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 222m，这两个二次函数的图像中的一条与x 轴交于 A，B 两个不同的点（1）试判断哪个二次函数的图像经过A，B 两点；（2）若 A 点坐标为（ 1，0），试求 B 点坐标；（3）在（ 2）的条件下，对于经过A，B 两点的二次函数，

11、当x 取何值时， y 的值随 x?值的增大而减小？【解答】（ 1）对于关于x 的二次函数y=x2mx+212m由于 b24ac=（ m） 41212m=m220，所以此函数的图像与x 轴有两个不同的交点故图像经过A，B 两点的二次函数为y=x2mx222m（2）将 A（ 1，0）代入 y=x2mx222m得 1+m222m=0整理，得 m22m=0解得 m=0 或 m=2当 m=0 时， y=x21令 y=0，得 x21=0解这个方程，得x1=1，x2=1此时，点 B 的坐标是 B（1，0）当 m=2 时， y=x22x3令 y=0，得 x22x3=0解这个方程，得x1=1，x2=3此时，点

12、B 的坐标是 B（3，0）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - - （3）当 m=0 时，二次函数为y=x21，此函数的图像开口向上，对称轴为x=0，所以当 x0 时，函数值y 随 x 的增大而减小当 m=2 时，二次函数为y=x22x3=（x1）24，此函数的图像开口向上，对称轴为 x=1，所以当 x1 时，函数值y 随 x 的增大而减小【点评】 本题是一道关于二次函数与方程、不等式有关知识的综合题，但它仍然是反映函数图像上点的坐标与函

13、数解析式间的关系，抓住问题的实质，灵活运用所学知识，这类综合题并不难解决强化训练一、填空题1（ 2006，大连）右图是二次函数y1=ax2+bx+c 和一次函数 y2=mx+n 的图像， ?观察图像写出y2y1时，x 的取值范围 _2（2005，山东省） 已知抛物线y=a2+bx+c 经过点 A（ 2，7），B（6，7），C（3，8），?则该抛物线上纵坐标为 8 的另一点的坐标是_3已知二次函数y=x2+2x+c2的对称轴和x 轴相交于点（m，0），则 m 的值为 _4（ 2005，温州市）若二次函数y=x24x+c 的图像与x 轴没有交点，其中c 为整数， ?则c=_（只要求写出一个）5（

14、2005，黑龙江省）已知抛物线y=ax2+bx+c 经过点（ 1，2）与（ 1，4），则a+c?的值是 _6甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离 s （m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=112s2+23s+32如下左图所示，?已知球网AB 距原点 5m，乙（用线段CD 表示）扣球的最大高度为94m，设乙的起跳点 C 的横坐标为m，若乙原地起跳， 因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则 m?的取值范围是 _精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

15、- -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 7（ 2005，甘肃省）二次函数y=x22x3 与 x 轴两交点之间的距离为_8（ 2008，甘肃庆阳）兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8 层高， ?房子的价格y（元 /m2）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7， 8），已知点（x，y）?都在一个二次函数的图像上（如上右图），则6 楼房子的价格为_元/m2二、选择题9（ 2008，长沙）二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图所示，?则下列关系式不正确的是（）Aa0 Ca+b+c0 (第 9 题) (第 12 题) (第 15 题) 10（

16、2008，威海）已知二次函数y=ax2+bx+c 的图像过点A（ 1，2）， B（3，2）， C（ 5，7）若点 M（ 2，y1）， N（ 1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c 的图像上，则下列结论中正确的是（）Ay1y2y3By2y1y3Cy3y1y2Dy1y30）交 x 轴 A，B 两点，交y 轴于点 C，抛物线的对称轴交x 轴于点 E，点 B 的坐标为（1，0）（1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；（2）过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP? 是什么四边形？并证明你的结论；（3）连接 CA 与抛物线的对称轴交于点D，当 APD=

17、 ACP 时，求抛物线的解析式精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 18（ 2006，重庆）如图所示，m，n 是方程 x26x+5=0 的两个实数根，且mn，?抛物线y=x2+bx+c 的图像经过点A（m，0）， B（0，n）（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（ 1）中抛物线与x 轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D 的坐标和 BCD 的面积；（3）P 是线段 OC 上的一点，过点P作 PHx 轴，与抛物线交于点H，若

18、直线 BC?把PCH 分成面积之比为2：3 的两部分，请求出点P 的坐标19（ 2006，太原市）某地计划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道，?其截面是抛物线拱形 ACB ，而且能通过最宽3m，最高 3.5m 的厢式货车按规定，?机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m?为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为y 轴， ?建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度AB 和拱高 OC20（ 2005，河南省）已知一个二次函数的图像过如图所示三点（1）求抛物线的对称轴；精品资料 - - - 欢

19、迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - - （2）平行于 x 轴的直线 L 的解析式为y=254，抛物线与x 轴交于 A，B 两点 ?在抛物线的对称轴上找点P，使 BP 的长等于直线L 与 x 轴间的距离求点P 的坐标21（ 2005，吉林省）如图576 所示，二次函数y=ax2+bx+c （a0）的图像与x?轴交于A，B 两点，其中A 点坐标为（ 1，0），点 C（0，5）， D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式；（2）求 MCB 的面

20、积22（ 2005，长春市）如图所示，过y 轴上一点A（0，1）作 AC 平行于x 轴，交抛物线y=x2（x 0）于点 B，交抛物线y=12x2（x0）于点 C；过点 C 作 CD 平行于 y 轴，交抛物线 y=x2于点 D；过点 D 作 DE 平行于 x 轴，交抛物线y=14x2于点 E（1）求 AB：BC；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - - （2）判断 O，B，E 三点是否在同一直线上？如果在，写出直线解析式；如果不在，请说明

21、理由答案1 2x1 2（1， 8）31 4答案不唯一（略）53 65m4+774 82080 9C 10B 11B 12D 13D 14B 15B 16D 17（ 1）对称轴是直线x=2，A 点坐标为（ 3，0）（2）四边形 ABCP 是平行四边形（3） ADE CDP，PEPD=12 ADE PAE， 12=3tt， t=3将 B（ 1，0）代入 y=ax2+4ax+t 得 t=3a，a=33抛物线解析式为y=33x2+4 33x+2318（ 1）y=x24x+5 （2）C（5，0），D（ 2，9）SBCD=15 （3）设 P（a，0）， BC 所在直线方程为y=x+5 PH 与直线 BC

22、的交点坐标为E（a，a+5）PH 与抛物线 y=x24x+5 的交点坐标为H（ a， a24a+5）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 若 EH=32EP则（ a24a+5）（ a+5）=32（a+5），则 a=32或 a=5（舍）若 EH=23EP，则（ a24a+5）（ a+5）=23（a+5），则 a=23或 a=5（舍）P（32，0）或（23，0）19如图所示，由条件可得抛物线上两点的坐标分别为M（32，4）， N（ 2，

23、72），设抛物线的表达式为y=ax2+c，则94,474.2acac解这个方程组，得2,76514acy=27x2+6514，当 x=0 时， y=6514，C（0，6514），OC=6514当 y=0 时，27x2+6514=0，解得 x=652A（652，0），B（652，0）， AB=65所以，抛物线拱形的表达式为y=27x2+6514隧道的跨度AB 为65m，拱高 OC 为6514m20（ 1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c根据题意，得321645cabcabc，解得163abc即 y=x2+6x3=（x3）2+6抛物线的对称轴为直线x=3（2）解得点 B（3+6，0）精品资

24、料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - - 设点 P 的坐标为（ 3，y），如图，由勾股定理，得BP2=BC2+PC2，即 BP2=（3+63）2+y2=y2+6L 与 x 轴的距离是254，y2+6=（254）2，解 y=234所求点 P 为（ 3，234）或（ 3，234）21（ 1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c ，根据题意得058abccabc，解得145abc所求抛物线的解析式为y=x2+4x+5 （2） C 点坐标为（ 0，

25、5）， OC=5，令 y=0则 x2+4x+5=0 ，解得 x1= 1，x2=5B 点坐标为（ 5，0）， OB=5 y=x2+4x+5=（ x2）2+9，顶点 M 的坐标为（ 2，9）过点 M 作 MN AB 于点 N，则 ON=2 ，MN=9 SMCB=S梯形OCMN+SBNMSOBC =12（ 5+9） 2+12 9（ 52）1255=1522（ 1） A（0，1）B 点纵坐标为1，1=x2，x0，x=1，B（1，1）， AB=1 C 点纵坐标为1，1=14x2，x2=4，x0，x=2C（2，1），BC=1 ， AB ：BC=1 ：1（2）D 点的横坐标为2，D 在 y=x2上，则 D（2， 4）E 点的纵坐标为4，E 在 y=14x2，则 E（4，4）过 O（0，0）， B（1，1）的直线解析式为y=xE（4，4）在这条直线上， 所以 O，B，E 三点在同一条直线上，并且直线解析式为y=x 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -