2022年中考数学重难点专题讲座第三讲动态几何问题2.pdf
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1、中考数学重难点专题讲座第三讲 动态几何问题【前言】从历年中考来看, 动态问题经常作为压轴题目出现,得分率也是最低的。动态问题一般分两类,一类是代数综合方面,在坐标系中有动点,动直线,一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题,在梯形,矩形,三角形中设立动点、线以及整体平移翻转,对考生的综合分析能力进行考察。所以说,动态问题是中考数学当中的重中之重,只有完全掌握,才有机会拼高分。在这一讲,我们着重研究一下动态几何问题的解法,第一部分真题精讲【例 1】 (2010,密云,一模)如图,在梯形ABCD中,ADBC,3AD,5DC,10BC,梯形的高为4动点M从B点出发沿线段BC以每秒 2 个单位
2、长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点D运动设运动的时间为t(秒) DNCMBA(1)当MNAB时,求 t 的值;(2)试探究:t为何值时,MNC为等腰三角形【思路分析1】本题作为密云卷压轴题,自然有一定难度,题目中出现了两个动点,很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题,首先就是要找谁在动,谁没在动, 通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说,都有一个由动转静的瞬间,就本题而言, M ,N 是在动,意味着BM,MC以及 DN,NC都是变化的。但是我们发现,和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的,而且动
3、态条件之间也是有关系的。所以当题中设定 MN/AB 时,就变成了一个静止问题。由此,从这些条件出发,列出方程,自然得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页,共 17 页 - - - - - - - - - - 出结果。【解析】解: (1)由题意知,当M、N运动到 t 秒时,如图,过D作DEAB交BC于E点,则四边形ABED是平行四边形ABMCNEDABDE,ABMNDEMN(根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法,成功将MN放在三角形内,将动态问题转化成平行时候的静态问题)MCNCECCD
4、(这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键) 1021035tt解得5017t【思路分析2】第二问失分也是最严重的,很多同学看到等腰三角形,理所当然以为是MN=NC即可,于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。 在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形,一定不要忘记分类讨论的思想,两腰一底一个都不能少。具体分类以后,就成为了较为简单的解三角形问题,于是可以轻松求解【解析】(2)分三种情况讨论: 当MNNC时,如图作NFBC交BC于F,则有2MCFC即 (利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质)4sin5DFCCD,3cos5C,310225tt,解得258t精品资料 - - - 欢迎下
5、载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页,共 17 页 - - - - - - - - - - ABMCNFD 当MNMC时,如图,过M作MHCD于 H则2CNCH,32 1025tt6017tABMCNHD 当MCCN时,则102tt103t综上所述,当258t、6017或103时,MNC为等腰三角形【例 2】 (2010,崇文,一模)在 ABC中,ACB=45o 点D (与点 B、C不重合)为射线BC上一动点,连接AD ,以 AD为一边且在 AD的右侧作正方形ADEF (1)如果 AB=AC 如图, 且点 D在线段
6、 BC上运动 试判断线段CF与 BD之间的位置关系,并证明你的结论(2)如果 AB AC ,如图,且点D在线段 BC上运动(1)中结论是否成立,为什么?(3) 若正方形 ADEF的边 DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P , 设 AC4 2,3BC,CD=x,求线段 CP的长(用含x的式子表示)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页,共 17 页 - - - - - - - - - - 【思路分析1】本题和上题有所不同,上一题会给出一个条件使得动点静止,而本题并未给出那个 “静止点”,
7、所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中,什么条件是不动的。由题我们发现,正方形中四条边的垂直关系是不动的,于是利用角度的互余关系进行传递,就可以得解。【解析】:(1)结论: CF与 BD位置关系是垂直;证明如下:AB=AC , ACB =45o, ABC=45 o由正方形 ADEF得 AD=AF , DAF= BAC =90o , DAB= FAC , DAB FAC , ACF= ABD BCF= ACB+ ACF= 90o 即 CFBD 【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法,那么思路很简单,就是从一般中构筑一个特殊的条件就行,于是我们和上题一样找AC的垂线,就可以变成第一问
8、的条件,然后一样求解。(2)CFBD (1) 中结论成立理由是:过点A作 AG AC交 BC于点 G, AC=AG 可证: GAD CAF ACF= AGD=45o BCF= ACB+ ACF= 90o 即 CFBD 【思路分析3】这一问有点棘手,D在 BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的,所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是 4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP. (3)过点 A作 AQ BC交 CB的延长线于点Q ,点 D在线段 BC上运动时,BCA=45o ,可求出AQ= CQ=4 DQ=4-x ,易证 AQD DCP ,CPCDDQA
9、Q,44CPxx,24xCPx 点 D在线段 BC延长线上运动时,BCA=45o ,可求出AQ= CQ=4 , DQ=4+x 过 A作ACAG交 CB延长线于点G,则ACFAGD CFBD,GABCDEF精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页,共 17 页 - - - - - - - - - - AQD DCP ,CPCDDQAQ,44CPxx,24xCPx 【例 3】 (2010,怀柔,一模)已知如图, 在梯形ABCD中,24ADBCADBC,点M是AD的中点,MBC是等边三角形(1)求
10、证:梯形ABCD是等腰梯形;( 2) 动 点P、Q分 别 在 线 段BC和MC上 运 动 , 且60MPQ保 持 不 变 设PCxMQy,求y与x的函数关系式;(3)在( 2)中,当y取最小值时,判断PQC的形状,并说明理由【思路分析1】本题有一点综合题的意味,但是对二次函数要求不算太高,重点还是在考察几何方面。 第一问纯静态问题,自不必说,只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1 一样是双动点问题,所以就需要研究在P,Q 运动过程中什么东西是不变的。题目给定MPQ=60 , 这个度数的意义在哪里?其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来. 因为最终求两条线段的关系, 所以我们很
11、自然想到要通过相似三角形找比例关系. 怎么证相似三角形呢 ? 当然是利用角度咯. 于是就有了思路. 【解析】(1)证明:MBC是等边三角形60MBMCMBCMCB,M是AD中点AMMDADBC60AMBMBC,A D C B P M Q 60精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页,共 17 页 - - - - - - - - - - 60DMCMCBAMBDMCABDC梯形ABCD是等腰梯形(2)解:在等边MBC中,4MBMCBC,60MBCMCB,60MPQ120BMPBPMBPMQPC
12、 (这个角度传递非常重要, 大家要仔细揣摩) BMPQPCBMPCQPPCCQBMBPPCxMQy,44BPxQCy,444xyx2144yxx ( 设元以后得出比例关系, 轻松化成二次函数的样子) 【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数,很轻易就可以求出当X 取对称轴的值时Y 有最小值。接下来就变成了“给定PC=2 ,求 PQC形状”的问题了。由已知的BC=4 ,自然看出P是中点,于是问题轻松求解。(3)解:PQC为直角三角形21234yx当y取最小值时,2xPCP是BC的中点,MPBC,而60MPQ,30CPQ,90PQC以上三类题目都是动点问题,这一
13、类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件,例如某边相等,某角固定时,将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件,那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点, 而是一些具体的图形时,思路是不精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页,共 17 页 - - - - - - - - - - 是一样呢 ?接下来我们看另外两道题. 【例 4】2010,门头沟,一模已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EFBD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG CG,(1)
14、直接写出线段EG与CG的数量关系;(2)将图 1 中BEF绕B点逆时针旋转45,如图 2 所示,取DF中点G,连接 EGCG, 你在( 1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明(3)将图 1 中BEF绕B点旋转任意角度,如图3 所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?(不要求证明)图3图2 图1FEABCDABCDEFGGFEDCBA【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转 45到旋转任意角度,要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说,两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。 第二问将 BEF旋转 45之后, 很多考生就想不到思路了。事实上
15、,本题的核心条件就是 G是中点, 中点往往意味着一大票的全等关系,如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后,抛开其他条件,单看G点所在的四边形ADFE ,我们会发现这是一个梯形,于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法,自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。(1)CGEG(2) (1)中结论没有发生变化,即CGEG证明:连接AG,过G点作MNAD于M,与EF的延长线交于N点在DAG与DCG中, ADCDADGCDGDGDG,DAGDCGAGCG精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - -
16、 - - - - - - - -第 7 页,共 17 页 - - - - - - - - - - 在DMG与FNG中,DGMFGNFGDGMDGNFG,DMGFNGMGNG在矩形AENM中,AMEN在Rt AMG与Rt ENG中, AMENMGNG,AMGENGAGEGEGCGMN图2 ABCDEFG【思路分析2】第三问纯粹送分,不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因,如果BEF任意旋转,哪些量在变化, 哪些量不变呢?如果题目要求证明,应该如何思考。 建议有余力的同学自己研究一下,笔者在这里提供一个思路供参考:在BEF的旋转过
17、程中,始终不变的依然是G点是 FD的中点。可以延长一倍EG到 H,从而构造一个和EFG全等的三角形,利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形,就需要证明三角形EBC和三角形 CGH 全等,利用角度变换关系就可以得证了。(3) (1)中的结论仍然成立G图3FEABCD精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页,共 17 页 - - - - - - - - - - 【例 5】 (2010,朝阳,一模)已知正方形ABCD 的边长为 6cm,点 E是射线 BC上的
18、一个动点,连接AE交射线 DC于点 F,将ABE沿直线 AE翻折,点 B落在点 B 处(1)当CEBE=1 时,CF=_cm ,(2)当CEBE=2 时,求 sin DAB 的值;(3)当CEBE= x 时(点 C 与点 E 不重合),请写出 ABE 翻折后与正方形ABCD公共部分的面积 y 与 x 的关系式,(只要写出结论,不要解题过程)【思路分析】 动态问题未必只有点的平移,图形的旋转, 翻折(就是轴对称) 也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题,第一问给出比例为1,第二问比例为2,第三问比例任意,所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化,
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- 2022 年中 数学 难点 专题讲座 第三 动态 几何 问题
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