2022年中考数学专题复习专题五解直角三角形的实际应用训练.pdf

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1、专题五解直角三角形的实际应用类型一母子型( 2015 河南 ) 如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是 30，朝大树方向下坡走6 米到达坡底A处，在 A处测得大树顶端B的仰角是 48.若坡角 FAE 30，求大树的高度( 结果保留整数参考数据：sin 480.74，cos 480.67， tan 481.11，31.73)例 1 题图【分析】根据所求构造直角三角形，在直角三角形中，利用锐角三角函数的性质求解问题即可【自主解答】如解图，延长BD交 AE于点 G ，过点 D作 DH AE于点 H. 例 1 题解图由题意，得 DAE BGH 3

2、0，DA 6，GD DA 6，GH AH DA cos 30 33，GA 63. 设 BC x 米，在 RtGBC中， GC BCtan BGC3x. 在 RtABC中， AC BCtan BACxtan 48 . GC AC GA ，3xxtan 48 63，解得 x13. 即大树的高度约为13 米1( 2018 泰州 ) 日照间距系数反映了房屋日照情况如图，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数L(H H1) ，其中 L 为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度如图，山坡EF朝北， EF长为 15 m，坡度为i 10.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5 m 的

3、楼房AB ，底部 A到 E点的距离为4 m. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - - (1) 求山坡 EF的水平宽度FH ；(2) 欲在 AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD ，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9 m ，要使该楼的日照间距系数不低于1.25 ，底部 C距 F 处至少多远？图图2. (2018 商丘模拟 ) 如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是 FD

4、C 30，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5 米， BG 1 米， BG平行于 AC所在的直线， 迎水坡的坡度i 43，坡高 BE 8 米，求小船 C到岸边的距离CA的长？ ( 参考数据：31.7 ，结果保留一位小数) 3如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD 、小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D 的仰角为60，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌顶部C的仰角为45. 已知山坡AB的坡度 i 13，AB10 米，AE15 米，求这块宣传牌CD的高度 ( 测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1 米参考数据：21.414，31.732)精品资料 - - - 欢迎下载 -

5、 - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 4( 2018 新乡一模 ) 如图，为探测某座山的高度AB ，某飞机在空中C处测得山顶A处的俯角为31，此时飞机的飞行高度为CH 4 千米；保持飞行高度与方向不变，继续向前飞行2 千米到达D处，测得山顶A处的俯角为50. 求此山的高度AB.( 参考数据： tan 30 0.6 ，tan 50 1.2) 5( 2018 烟台 ) 汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速，如图

6、，学校附近有一条笔直的公路l ，其间设有区间测速，所有车辆限速40 千米/ 小时，数学实践活动小组设计了如下活动：在l 上确定 A，B 两点，并在AB路段进行区间测速在l外取一点P，作 PC l ，垂足为点C.测得 PC30 米，APC 71， BPC 35. 上午9 时测得一汽车从精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 点 A 到点 B 用时6 秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速( 参考数据： sin 35 0.57，cos 3

7、50.82，tan 35 0.70，sin 71 0.95，cos 71 0.33，tan 71 2.90)6( 2018 河南说明与检测) 如图，在电线杆CD上的 C处引拉线CE ，CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角 CED 60，在离电线杆6 米的 B处安置高为1.5 米的测角仪AB ，在 A处测得电线杆上C处的仰角为 30，求拉线CE的长 ( 参考数据：21.41，31.73. 结果保留一位小数) 7( 2018 河南说明与检测) 某数学兴趣小组在学习锐角三角函数以后，开展测量物体高度的实践活动，他们在河边的一点A处测得河对岸小山顶上一座铁塔的塔顶C的仰角为 66、塔底B的仰角为 6

8、0，已知铁塔的高度BC为 20 m( 如图 ) ，你能根据以上数据求出小山的高BD吗？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 8( 2018 河南说明与检测) 太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300 cm，AB的倾斜角为30， BE CA 50 cm ，支撑角钢CD 、EF与底座地

9、基台面接触点分别为D 、F，CD垂直于地面， FE AB 于点 E.两个底座地基高度相同( 即点 D、F 到地面的垂直距离相同)，均为 30 cm，点 A到地面的垂直距离为50 cm，求支撑角钢CD和 EF的长度各是多少厘米 ( 结果保留根号 ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 9( 2018 遵义 ) 如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为 64，吊臂底部 A距地面 1.5 m (

10、计算结果精确到0.1 m ，参考数据 sin 640.90，cos 640.44，tan 64 2.05)(1) 当吊臂底部A与货物的水平距离AC为 5 m 时，吊臂 AB的长为 _m；(2) 如果该吊车吊臂的最大长度AD为 20 m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？( 吊钩的长度与货物的高度忽略不计) 类型二背靠背型( 2018 河南) “高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答如图所示，底座上A，B两点间的距离为90

11、cm. 低杠上点 C到直线 AB的距离 CE的长为 155 cm，高杠上点D到直线 AB的距离 DF的长为 234 cm，已知低杠的支架AC与直线 AB的夹角 CAE为 82.4，高杠的支架BD与直线 AB的夹角 DBF 为 80.3. 求高、低杠间的水平距离CH的长 ( 结果精确到1 cm，参考数据sin 82.40.991，cos 82.4 0.132，tan 82.4 7.500，sin 80.3 0.983，cos 80.3 0.168，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共

12、21 页 - - - - - - - - - - tan 80.3 5.850)例 2 题图【分析】利用锐角三角函数，在 RtACE和 RtDBF中，分别求出AE 、BF的长计算出 EF.通过矩形CEFH的性质得到CH的长【自主解答】解：在 RtACE中，AE CEtan 82.4 155tan 82.4 20. 7，在 RtBDF中，BFDFtan 80.3 234tan 80.3 40，在矩形CEFH 中， CH EF，CH EFAEAB BF20.7 9040151(cm)答：高低杠间的水平距离CH的长为 151 cm. 1( 2018 驻马店一模 ) 小明利用寒假进行综合实践活动，他想

13、利用测角仪和卷尺测量自家所住楼( 甲楼 )与对面邮政大楼( 乙楼 ) 的高度，现小明用卷尺测得甲楼宽AE是 8 m ，用测角仪在甲楼顶E处与 A处测得乙楼顶部 D的仰角分别为37和 42，同时在A处测得乙楼底部B处的俯角为32，请根据小明测得数据帮他计算甲、乙两个楼的高度( 精确到0.01 m)(cos 32 0.85，tan 32 0.62，cos 42 0.74，tan 42 0.90，cos 37 0.80，tan 37 0.75)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 21 页

14、 - - - - - - - - - - 2( 2018 甘肃省卷 ) 随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到 B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到 B地的路程已知： CAB 30， CBA45，AC 640 公里，求隧道打通后与打通前相比，从 A地到 B地的路程将约缩短多少公里？( 参考数据：31.7 ，21.4)3( 2018 常州 ) 京杭大运河是世界文化遗产综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽( 岸沿是平行的) ，如图，在岸边分别选定了点A

15、、B和点 C、D，先用卷尺量得AB 160 m，CD 40 m，再用测角仪测得CAB 30，DBA 60，求该段运河的河宽(即 CH的长 ) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 4( 2018 眉山 ) 知识改变世界，科技改变生活导航装备的不断更新极大方便了人们的出行如图，某校组织学生乘车到黑龙滩( 用 C表示 ) 开展社会实践活动， 车到达 A地后，发现 C地恰好在A地的正北方向，且距离 A地 13 千米，导航显示车辆应沿北偏东6

16、0方向行驶至B地，再沿北偏西37方向行驶一段距离才能到达C地，求 B、C两地的距离 ( 参考数据： sin 53 45，cos 53 35，tan 53 43) 5. (2018 河南说明与检测) 如图， B地在 A地的北偏东56方向上， C地在 B地的北偏西19方向上，原来从 A地到 C地的路线为ABC，现在沿A地北偏东 26方向新修了一条直达C地的公路，路程比原来少了 20 千米求从A地直达 C地的路程 ( 结果保留整数参考数据：21.41，31.73) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第

17、 9 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 6( 2018 河南说明与检测) 如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方23米处的点 C出发，沿斜面坡度i 13的斜坡 CD前进 4 米到达点 D，在点 D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为 37，量得仪器的高DE为 1.5 米，已知 A，B，C，D，E在同一平面内， AB BC ，AB DE ，求旗杆AB的高度 ( 参考数据： sin 37 35，cos 37 45，tan 37 34. 计算结果保留根号) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -

18、- - - - - - - - -第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 7( 2018 河南说明与检测) 中国南海是中国固有领海，我方渔政船经常在此海域执勤巡察，一天我方渔政船停在小岛A北偏西 37方向的B处，观察 A岛周边海域，据测算，渔政船距A岛的距离AB长为 10 海里，此时位于 A岛正西方向C处的我方渔船遭到某国军舰的袭扰，船长发现在其北偏东50的方向上有我方渔政船，便发出紧急求救信号，渔政船接警后，立即沿BC航线以每小时30 海里的速度前往救助，问渔政船大约需要多少分钟能到达渔船所在的C处？ (参考数据： sin 370.60，cos 370.80，si

19、n 500.77 ，cos 50 0.64，sin 53 0.80，cos 53 0.60，sin 40 0.64，cos 40 0.77)8( 2018 河南说明与检测) 如图，在一笔直的海岸线l 上有 A、B两个观测站， A在 B的正东方向， AB2 km.有一艘小船在点P处，从 A测得小船在北偏西60的方向，从B测得小船在北偏东45的方向(1) 求点 P到海岸线 l 的距离；(2) 小船从点 P处沿射线 AP的方向航行一段时间后， 到点 C处， 此时，从 B测得小船在北偏西15的方向求点 C与点 B之间的距离 ( 上述两小题的结果都保留根号) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - -

20、- - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 9( 2018 衡阳 ) 一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30的方向行走2 000 米到达石鼓书院A处， 参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45方向的雁峰公园B处，如图所示(1) 求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；(2) 若这名徒步爱好者以100 米/ 分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15 分钟内能否到达宾馆？精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -

21、 - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 参考答案类型一针对训练1解：(1) iEF10.7543EHFH，设 EH 4x，则 FH3x，EF（3x）2（4x）25x15，x 3，FH 3x9，即山坡 EF的水平宽度FH为 9 m. 第 1 题解图(2) 如解图，延长BA、FH交于点 G，则 AG EH43 12，GH AE 4，BG BA AG 22.5 1234.5.设 CFy，则 CG CF FHGH y94y13，由题知 CG (BGCP)1.25，y1334.5 0.91.25，

22、解得 y29，底部 C距 F 处至少 29 m 远2解：如解图，延长DG交 CA于点 H，得 RtABE和矩形 BEHG. i BEAE43，第 2 题解图BE 8，AE 6，DG 1.5 ，BG 1，DH DG GH 1.5 89.5 ，AH AE EH 617. 在 RtCDH中，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - - - CFDC 30， DH 9.5 ，CH DHtan 30 9.53. 又CH CA AH ，即 9.53CA7，

23、CA 9.2( 米 ) 答： CA的长约是 9.2 米3解：如解图，过点B作 BF AE ，交 EA的延长线于点F，作 BG DE于点 G. RtABF中， i tan BAF 1333，第 3 题解图BAF 30，BF 12AB 5，AF53. BG AFAE5315. RtBGC中，CBG 45，CG BG 5315. RtADE中，DAE 60， AE 15，DE AE tan 60 3AE153. CD CG GE DE 53155153201032.7 m.答：宣传牌CD高约 2.7 米4解：如解图，延长BA交 CD的延长线于点E，则 BE CE ， CH BE 4 千米，设 AE

24、x 千米，第 4 题解图RtADE中，ADE 50，DE AEtan 50 x1.256x. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 21 页 - - - - - - - - - - CE 56x2. RtACE中，ACE 31，AE CE tan 31 ，即x0.6 (56x2) ，解得 x2.4 ，AB BE AE42.4 1.6( 千米 ) 答：山的高度AB约为 1.6 千米5解：在 RtAPC中， AC PC tan APC 30tan 71 302.9087 米，在 RtB

25、PC中， BC PCtanBPC 30tan 35 300.7021 米，则 AB AC BC 872166 米，该汽车的平均速度为66611 m/s ，40 km/h11.1 m/s ，该车没有超速6解：如解图，过点A作 AH CD ，垂足为点H，由题意知，四边形ABDH 为矩形， CAH 30，第 6 题解图AB DH 1.5 ，BD AH 6. 在 RtACH中， CH AH tan CAH ，CH 6tan 30 23( 米) DH 1.5 ，CD (231.5)( 米) 在 RtCDE中，CED 60，CE CDsin 60 435.7( 米 ) ，答：拉线CE的长约为 5.7 米7

26、解：能求出小山的高，设小山的高BD为 x m. 在 RtABD中， AD xtan 60 . 同理，在RtACD中， AD CDtan 66 x20tan 66 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 即xtan 60 x20tan 66 . 解得：x67.4.答：小山的高BD约为 67.4 m. 8解：如解图，过点A作 AG CD ，垂足为点G ，则CAG 30，在RtACG中，第 8 题解图CG CA sin 30 50122

27、5. 由题意得GD 503020，则 CD CG GD 252045. 连接 FD并延长与 BA的延长线交于点H. 由题意得 H30.在 RtCDH中， CH CDsin 30 2CD 90，EH EC CH AB BE AC CH 300505090290. 在 RtEFH中，EFEH tan 30 2903329033. 支撑角钢CD的长度为 45 cm，EF的长度为29033 cm. 9解： (1)11.4 【解法提示】 在 RtABC中，BAC 64， AC 5 m，AB ACcos 64 50.4411.4 m；第 9 题解图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

28、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 21 页 - - - - - - - - - - (2) 如解图，过点D作 DH 地面于H，交水平线于点E，在 RtADE中，AD 20 m，DAE 64， EH 1.5 m ，DE sin 64 AD 200.9 18 m，即DH DE EH 181.5 19.5 m ，答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为 20 m，那么从地面上吊起货物的最大高度是19.5 m. 类型二针对训练1解：如解图，过点A作 AN BD于点 N，第 1 题解图在 RtDNE ，tan 37 DNEN0.7534，设 DN 3

29、x，则 EN 4x，在 RtDNA中，有 DN 3x，AN 4x8，tan42DNAN3x4x 80.90，解得： x12，DN 312 36，AN 412 840，在 RtBNA中，由题意知 NAB 32，tan 32 BNAN，BN tan 32 AN 24.8，DB DN BN3624.8 60.8 ，AC BN 24.8 ，答：甲楼的高为60.8 m ，乙楼的高为24.8 m. 2解：如解图，过点C作 CD AB于点 D，在 RtADC和 RtBCD中，CAB 30，CBA 45，AC 640，CD 12AC 320，AD 3203，BD CD 320，BC 3202，AC BC 64

30、032021088，AB AD BD3203320864，1088 864224(公里 ) ，答：隧道打通后与打通前相比，从A地到 B地的路程将约缩短224 公里精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 第 2 题解图3解：如解图，过D作 DE AB于点 E，可得四边形CHED 为矩形，HE CD 40 m，设 CH DE x m，在 RtBDE中，DBA 60，BE DEtan 60 33x m，在 RtACH中，BAC 30，AH

31、CHtan 30 3x m，由 AH HE EB AB 160 m，得3x 4033x160，解得： x303，即 CH 303 m，答：该段运河的河宽为303 m. 第 3 题解图4解：如解图，过点B作 BD AC于点 D，则BAD 60， DBC 903753，第 4 题解图设 AD x，在 RtABD中， BD ADtanBAD 3x，在 RtBCD中， CD BDtanDBC 3x43433x，由 AC AD CD可得 x433x13，解得： x433，则 BC BDcosDBC3x35533(433) 2053，即 BC两地的距离为 (20 53) 千米5解：如解图，过点B作 BD

32、AC ，垂足为D.设 BD x. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 21 页 - - - - - - - - - - 第 5 题解图在 RtABD中，BAD 562630，AB BDsin 30 2x，AD BDtan 30 3x. 在 RtBCD中，C261945，BC BDsin 45 2x，CD BDtan 45 x. AC 3xx. 由题意得AB BC AC 20，2x2x(3xx) 20，解得 x29.4.AC 2.7329.480.26280(千米) 从 A地直达

33、C地的路程约为80 千米6解：如解图，延长ED交 BC延长线于点F，则CFD 90，第 6 题解图tan DCF i 1333，DCF 30，CD 4，DF 12CD 2，CFCD cosDCF 43223. BF BC CF232343. 过点 E作 EG AB于 G ，则 GE BF 43，BG EFEDDF1.5 23.5 ，又AEG 37，AG GE tan AEG 43tan3733. AB AG BG (333.5) 米精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 21 页 -

34、 - - - - - - - - - 答：旗杆AB的高度约为 (333.5) 米7解：如解图，过点B作 BD AC ，垂足为D，第 7 题解图根据题意，得 ABD BAM 37，CBD BCN 50，在 RtABD中，cosABD BDAB. BD AB cos 37 100.8 8( 海里 ) 在 RtCBD中，cosCBD BDBC，BC BDcos 50 80.6412.5( 海里 ) 12.530512( 小时 ) ，51260 25( 分钟) 渔政船大约需25 分钟能到达渔船所在的C处8解： (1) 如解图，过点P作 PD AB于点 D，设 PD x，由题意得知， PBD 45，PA

35、D 30.在 RtBDP中， BD PD x，在 RtPDA中， AD PDtan 30 3PD 3x，AB 2 km， x3x2，解得 x3 1，点 P到海岸线 l 的距离为 (31) km. (2) 如解图，过点B作 BF CA于点 F，在 RtABF中，BFAB sin30 2121 km. 在ABC中，C180BAC ABC 1803045451545，在 RtBFC中，BC 2BF212 km. 点 C与点 B之间的距离为2 km. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共

36、21 页 - - - - - - - - - - 第 8 题解图9解： (1) 如解图，过点C作 CP AB于 P，第 9 题解图由题意可得： A30，AC 2 000 米，则 CP 12AC 1 000 米；答：这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离为1 000 米(2) 在 RtPBC中， PC 1 000 米，PBC BPP 45，BC 2PC 1 0002米这名徒步爱好者以100 米/ 分的速度从雁峰公园返回宾馆需要的时间为1 000210010215. 他在 15 分钟内能到达宾馆精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 21 页 - - - - - - - - - -