2022年6.2等差数列典型例题及详细解答.pdf

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1、1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母_d_表示2等差数列的通项公式如果等差数列 an 的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3等差中项如果Aab2，那么A叫做a与b的等差中项4等差数列的常用性质(1) 通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*) (2) 若an 为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*) ，则akalaman.(3) 若an 是等差数列，公差为d，则a2n 也是等差数列，公差为2d.(4) 若an ，bn是等差数列，则panqbn

2、也是等差数列(5) 若an 是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m， (k，mN*) 是公差为md的等差数列5等差数列的前n项和公式设等差数列 an的公差为d，其前n项和Snna1an2或Snna1nn12d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snd2n2a1d2n.数列 an是等差数列 ?SnAn2Bn(A、B为常数 ) 7等差数列的前n项和的最值在等差数列 an中，a10，d0，则Sn存在最 _大_值；若a10，则Sn存在最 _小_值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1) 若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列 ( )(

3、2) 数列 an 为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有 2an1anan2.( )(3) 等差数列 an的单调性是由公差d决定的 ( )(4) 数列 an 为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数( )精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - - (5) 数列 an 满足an1ann，则数列 an 是等差数列 ( )(6) 已知数列 an 的通项公式是anpnq( 其中p，q为常数 ) ，则数列 an 一定是等差数列 ( )1( 2

4、015重庆 ) 在等差数列 an中，若a24，a42，则a6等于 ( )A 1 B 0 C 1 D 6答案B解析由等差数列的性质，得a62a4a222 40，选 B.2( 2014福建 ) 等差数列 an的前n项和为Sn，若a12，S3 12，则a6等于 ( )A8 B 10 C 12 D 14答案C解析由题意知a12，由S33a1322d12，解得d2，所以a6a15d252 12，故选 C.3在等差数列 an 中，已知a4a816，则该数列前11 项和S11等于 ( )A58 B 88 C 143 D 176答案B解析S1111a1a11211a4a8288.4设数列 an是等差数列，若a

5、3a4a512，则a1a2a7等于 ( )A14 B 21 C 28 D 35答案C解析a3a4a53a412，a44，a1a2a77a428.5( 2014北京 ) 若等差数列 an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时， an的前n项和最大答案8解析因为数列 an是等差数列，且a7a8a93a80，所以a80. 又a7a10a8a90，所以a90. 故当n8 时，其前n项和最大题型一等差数列基本量的运算精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 16 页 - - - - - -

6、- - - - 例 1 (1) 在数列 an中，若a1 2，且对任意的nN*有 2an112an，则数列 an 前 10 项的和为 ( )A2 B 10 (2) 已知在等差数列an 中，a27，a415，则前 10 项和S10等于 ( )A100 B210C380 D400答案(1)C (2)B解析(1) 由 2an 112an得an1an12，所以数列 an 是首项为 2，公差为12的等差数列，所以S1010 ( 2)1010121252.(2) 因为a27，a415，所以d4，a13，故S10103121094 210.思维升华(1) 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后

7、由通项公式或前n项和公式转化为方程( 组) 求解 (2) 等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想(1)( 2015课标全国) 设Sn是等差数列 an的前n项和，若a1a3a53， 则S5等于 ( )A5 B 7 C 9 D 11(2) 已知等差数列 an 的前n项和为Sn，且满足S33S221，则数列 an 的公差是 ( ) B 1 C 2 D 3答案(1)A (2)C解析(1) an为等差数列，a1a52a3，a1a3a53a33，得a31，S55a1a525a35. 故选 A.(2) Snna1an2，Snna1a

8、n2，又S33S221，得a1a32a1a221，即a3a22，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 数列 an的公差为 2.题型二等差数列的判定与证明例 2 已知数列 an 中，a135，an21an1(n2，nN*) ，数列 bn 满足bn1an 1(nN*) (1) 求证：数列 bn 是等差数列；(2) 求数列 an中的最大项和最小项，并说明理由(1) 证明因为an21an1(n2，nN*) ，bn1an1(nN*) ，所以bn

9、 1bn1an 111an1121an11an1anan11an11.又b11a1152.所以数列 bn 是以52为首项， 1 为公差的等差数列(2) 解由(1) 知bnn72，则an11bn122n7.设f(x) 122x7，则f(x) 在区间 ( ，72) 和(72， ) 上为减函数所以当n3 时，an取得最小值 1，当n4 时，an取得最大值3.引申探究例 2 中，若条件变为a135，nan1(n1)ann(n1)，探求数列 an的通项公式解由已知可得an1n1ann1，即an 1n1ann1，又a135，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下

10、载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - - ann是以a1135为首项， 1为公差的等差数列，ann35(n1) 1n25，ann225n.思维升华等差数列的四个判定方法(1) 定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数(2) 等差中项法：证明对任意正整数n都有 2an 1anan 2后，可递推得出an2an1an 1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列an为等差数列(3) 通项公式法：得出anpnq后，得an 1anp对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列 an为等差数列(4) 前n项和公式

11、法：得出SnAn2Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列 an为等差数列(1) 若an 是公差为 1 的等差数列，则a2n12a2n 是( )A公差为 3 的等差数列B公差为 4 的等差数列C公差为 6 的等差数列D公差为 9 的等差数列(2) 在数列 an中，若a11，a212，2an11an1an2(nN*) ，则该数列的通项为( )Aan1nBan2n1Can2n2Dan3n答案(1)C (2)A解析(1) a2n12a2n(a2n32a2n2)(a2n1a2n3) 2(a2na2n2)222 6，a2n12a2n是公差为 6 的等差数列(2) 由已知式2an11a

12、n1an 2可得1an11an1an21an1，知1an 是首项为1a11，公差为1a21a1211 的等差数列， 所以1ann，即an1n.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 题型三等差数列的性质及应用命题点 1 等差数列的性质例 3

13、 (1)( 2015广东 ) 在等差数列 an 中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_.(2) 已知等差数列 an 的前n项和为Sn，且S1010，S2030，则S30_.答案(1)10 (2)60解析(1) 因为 an 是等差数列，所以a3a7a4a6a2a8 2a5，a3a4a5a6a75a525，即a55，a2a82a510.(2) S10，S20S10，S30S20成等差数列，且S1010，S2030，S20S1020，S30 3010210 30，S3060.命题点 2 等差数列前n项和的最值例 4 在等差数列 an 中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何

14、值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值解a120，S10S15，10201092d152015142d，d53.方法一由an20(n1) 5353n653.得a130.即当n12 时，an0，当n14 时，an0.当n12 或 13 时，Sn取得最大值，且最大值为S12S13122012112 53130.方法二Sn20nnn12 5356n21256n56n25223 12524.nN*，当n12 或 13 时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.方法三由S10S15得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - -

15、 - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 当n12 或 13 时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.引申探究例 4 中，若条件“a120”改为a1 20，其他条件不变，求当n取何值时，Sn取得最小值，并求出最小值解由S10S15，得a11a12a13a14a150，a13 0. 又a1 20，a120，当n12 或 13 时，Sn取得最小值，最小值S12S1313a1a132 130.思维升华(1) 等差数列的性质：项的性质：在等差数列an 中，aman(mn)d?amanmnd(mn

16、) ，其几何意义是点(n，an) ，(m，am) 所在直线的斜率等于等差数列的公差和的性质：在等差数列an 中，Sn为其前n项和，则aS2nn(a1a2n) n(anan1) ；bS2n1(2n1)an.(2) 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法：函数法： 利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解邻项变号法：a当a10，d0 时，满足am0，am10的项数m使得Sn取得最大值Sm；b当a10，d0 时，满足am0，am10的项数m使得Sn取得最小值Sm.(1) 等差数列 an 的前n项和为Sn，已知a5a74，a6a8 2，则当Sn取最大值时

17、，n的值是 ( )A5 B 6 C 7 D 8(2) 设数列 an是公差d0 的等差数列，Sn为前n项和，若S65a110d，则Sn取最大值时，n的值为 ( )A5 B6C5 或 6 D11精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - - (3) 已知等差数列 an 的首项a120，公差d2，则前n项和Sn的最大值为 _答案(1)B (2)C (3)110解析(1) 依题意得 2a64,2a7 2，a620，a7 1 0；又数列 an 是等差数列

18、，因此在该数列中， 前 6 项均为正数， 自第 7 项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n6，选 B.(2) 由题意得S66a115d5a110d，所以a60，故当n5 或 6 时，Sn最大，选C.(3) 因为等差数列 an 的首项a120，公差d2，代入求和公式得，Snna1nn12d20nnn122n221nn21222122，又因为nN*，所以n10 或n11 时，Sn取得最大值，最大值为110.6等差数列的前n项和及其最值典例(1) 在等差数列 an中， 2(a1a3a5) 3(a7a9) 54，则此数列前10 项的和S10等于( )A45 B60C75 D90(2) 在等差数

19、列 an 中，S10100，S10010，则S110_.(3) 等差数列 an中，已知a50，a4a70，则 an 的前n项和Sn的最大值为 ( )AS4 B S5 C S6 D S7思维点拨(1) 求等差数列前n项和，可以通过求解基本量a1，d，代入前n项和公式计算，也可以利用等差数列的性质：a1ana2an1；(2) 求等差数列前n项和的最值，可以将Sn化为关于n的二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项解析(1) 由题意得a3a89，所以S1010a1a10210a3a82109245.(2) 方法一设数列 an 的公差为d，首项为a1，精品资

20、料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 则10a11092d100，100a1100992d10，解得a11 099100，d1150.所以S110110a11101092d110.方法二因为S100S10a11a100902 90，所以a11a100 2，所以S110a1a1101102a11a1001102110.(3) 因为a4a7a5a60，所以a50，a60，a2a3a1da2d(a1a2) 2d，由于d正负不确定，因而a2a3符号

21、不确定，故选项A 错；若a1a30，a1a2a1a3d(a1a3) d，由于d正负不确定，因而a1a2符号不确定，故选项B错；若 0a10，d0，a20，a30，所以a22a1a3(a1d)2a1(a12d) d20，所以a2a1a3，故选项 C正确；若a10，则 (a2a1) (a2a3) d( d) d20，故选项D错3设等差数列 an 的前n项和为Sn，若Sm1 2，Sm0，Sm1 3，则m等于 ( )A3 B4C5 D6答案C解析数列 an 为等差数列，且前n项和为Sn，数列Snn也为等差数列Sm 1m1Sm1m12Smm，即2m13m10，解得m5，经检验为原方程的解，故选C.4数列

22、 an 的首项为 3，bn 为等差数列，且bnan 1an(nN*) ，若b3 2，b1012，则a8等于 ( )A0 B3精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - - C8 D11答案B解析设 bn 的公差为d，b10b37d12( 2) 14，d2.b32，b1b32d 24 6.b1b2b77b1762d7 (6) 212 0.又b1b2b7(a2a1) (a3a2) (a8a7) a8a1a830，a83. 故选 B.5已知数列 a

23、n满足an1an57，且a15，设 an的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的序号n的值为 ( )A7 B8C7 或 8 D8 或 9答案C解析由题意可知数列an 是首项为5，公差为57的等差数列，所以an557(n 1) 405n7，该数列前7 项是正数项，第8 项是 0，从第 9 项开始是负数项，所以Sn取得最大值时，n7 或 8，故选 C.6已知数列 an中，a11 且1an11an13(nN*) ，则a10_.答案14解析由已知得1a101a1(10 1) 13134，故a1014.7已知递增的等差数列an满足a11，a3a224，则an_.答案2n1解析设等差数列的公差为d，a3a

24、224，1 2d(1d)24，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 解得d24，即d2.由于该数列为递增数列，故d2.an1(n1)2 2n1.8设数列 an的通项公式为an2n10(nN*) ，则 |a1| |a2| |a15| _.答案130解析由an2n10(nN*) 知an是以 8 为首项，2为公差的等差数列， 又由an2n100得n5，n5 时，an0，当n5 时，an0，|a1| |a2| |a15| (a1a2a3a4

25、) (a5a6a15) 20110130.9若数列 an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn1 0(n2) ，a112.(1) 求证：1Sn成等差数列；(2) 求数列 an的通项公式(1) 证明当n2 时，由an2SnSn10，得SnSn1 2SnSn 1，所以1Sn1Sn12，又1S11a12，故1Sn是首项为 2，公差为 2 的等差数列(2) 解由(1) 可得1Sn2n，Sn12n.当n2时，anSnSn112n12n1n1n2nn112nn1.当n1 时，a112不适合上式故an12，n1，12nn1，n2.10等差数列 an 中，设Sn为其前n项和，且a10，S3S11，则当n为多少

26、时，Sn最大？解方法一由S3S11得3a1322d11a111102d，则d213a1.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 从而Snd2n2a1d2na113(n7)24913a1，又a10，所以a1130. 故当n7 时，Sn最大方法二由于Snan2bn是关于n的二次函数，由S3S11，可知Snan2bn的图象关于n31127 对称由方法一可知aa1130，故当n7 时，Sn最大方法三由方法一可知，d213a1.要使Sn最大，则

27、有an0，an10，即a1n1213a10，a1n213a10，解得n，故当n7 时，Sn最大方法四由S3S11，可得 2a113d0，即(a16d) (a17d) 0，故a7a80，又由a10，S3S11可知d0，所以a70，a80，所以当n7 时，Sn最大B组专项能力提升( 时间： 20 分钟 )11设Sn为等差数列 an 的前n项和， (n1)SnnSn1(n N*) 若a8a7 1，则 ( )ASn的最大值是S8BSn的最小值是S8CSn的最大值是S7DSn的最小值是S7答案D解析由条件得SnnSn 1n1，即na1an2nn1a1an 12n1，所以anan1，所以等差数列 an为递

28、增数列又a8a71，所以a80，a70，即数列 an 前 7 项均小于0，第 8 项大于零，所以Sn的最小值为S7，故选 D.12 设等差数列 an 的前n项和为Sn，若a13，ak132，Sk 12，则正整数k_.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 答案13解析Sk 1Skak11232212，又Sk1k1a1ak 12k13322212，解得k13.13 设等差数列 an， bn的前n项和分别为Sn，Tn， 若对任意自然数n都

29、有SnTn2n 34n 3， 则a9b5b7a3b8b4的值为 _答案1941解析an ，bn 为等差数列，a9b5b7a3b8b4a92b6a32b6a9a32b6a6b6.S11T11a1a11b1b112a62b6211 3411 31941，a6b61941.14 已知数列 an 是首项为a， 公差为 1 的等差数列，bn1anan， 若对任意的nN*， 都有bnb8成立，则实数a的取值范围为 _答案( 8，7)解析依题意得bn11an，对任意的nN*，都有bnb8，即数列 bn 的最小项是第8 项，于是有1an1a8. 又数列 an是公差为 1 的等差数列，因此有a80，a90，即a

30、70，a80，由此解得 8a7，即实数a的取值范围是 (8， 7)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - - 15已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足a3a4117，a2a522.(1) 求通项an；(2) 求Sn的最小值；(3) 若数列 bn是等差数列，且bnSnnc，求非零常数c.解(1) 因为数列 an 为等差数列，所以a3a4a2a522. 又a3a4117，所以a3，a4是方程x222x1170 的两实根，又公差

31、d0，所以a3a4，所以a39，a413，所以a12d9，a13d13，所以a11，d4.所以通项an4n3.(2) 由(1) 知a11，d4，所以Snna1nn12d2n2n2n14218.所以当n1 时，Sn最小，最小值为S1a11.(3) 由(2) 知Sn2n2n，所以bnSnnc2n2nnc，所以b111c，b262c，b3153c.因为数列 bn 是等差数列，所以 2b2b1b3，即62c211c153c，所以 2c2c0，所以c12或c0( 舍去 ) ，经验证c12时， bn 是等差数列，故c12.精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - - -