2022年中考数学第二部分题型研究拓展题型二次函数综合题试题.pdf

《2022年中考数学第二部分题型研究拓展题型二次函数综合题试题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年中考数学第二部分题型研究拓展题型二次函数综合题试题.pdf（33页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1 拓展题型二次函数综合题拓展一二次函数与线段和差问题针对演练1. (2016 贺州 10 分) 如图，矩形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(10 ，8)，沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC 上的E处，E点坐标为 (6 ，8)，抛物线yax2bxc经过O，A，E三点(1) 求此抛物线的解析式；(2) 求AD的长；(3) 点P是抛物线对称轴上的一动点，当PAD的周长最小时，求点P的坐标第 1 题图2. (2016大连 12 分) 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx214与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称(1) 填空，点B的坐标是 _；(2) 过点B的直线y

2、kxb( 其中k0) 与x轴相交于点C， 过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点， 且PBPC. 求线段PB的长( 用含k的式子表示 ) ，并判断点P是否在抛物线上，说明理由；(3) 在(2) 的条件下，若点C关于直线BP的对称点C恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标第 2 题图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 2 3. 如图， 抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点， 与y轴交于点C，点O为坐标原点，点E在抛物线上，

3、点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF 2，EF 3. (1) 求抛物线的解析式；(2) 连接CB交EF于点M，再连接AM交OC于点R，连接AC，求ACR的周长；(3) 设G(4 ，5) 在该抛物线上，P是y轴上一动点， 过点P作PHEF于点H，连接AP，GH，问APPHHG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由第 3 题图备用图【答案】1解：(1) 四边形OABC是矩形，B(10 ，8) ，A(10 ，0). (1 分) 又抛物线yax2bxc经过点A(10 ，0) 、E(6 ，8) 和O(0 ，0)，22101006680abcabcc，解得131030abc，抛物

4、线的解析式为y13x2103x； (3分) (2) 由题意可知：ADED，BE1064，AB8， (4 分) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 3 设AD为x，则EDx，BDABAD8x，在 RtBDE中，ED2EB2BD2，即x242(8 x)2， (5 分) 解得x5，即AD5；(6 分 ) (3) 由(2) 可知，D点的坐标是 (10 ，5)，PAD的周长lPAPDADPAPD5， (7 分) 抛物线的对称轴是线段OA的垂直

5、平分线，点P是抛物线对称轴上的一动点，POPA，lPAPD5POPD5，当POPD最小时，PAD的周长l最小，即 当 点P移 动 到 直 线OD与 抛 物 线 对 称 轴 的 交 点 处 时POPD最小， (8分) 设直线OD的解析式为ykx，将D点坐标 (10 ，5) 代入得：510k，解得k12，直线OD的解析式为y12x，(9 分) 当x5 时，y52，P点的坐标是 (5 ，52) (10 分) 2解： (1)(0 ，12) ； (2分 ) 【解法提示】由yx214得：A(0 ，14) ，点B、O关于点A对称，B(0，12) (2) 直线BC过点B(0 ，12) ，直线BC解析式为ykx

6、12，(3 分) C(12k，0) ，又P是直线l上一点，可设P(12k，a)如解图，过点P作PNy轴，垂足为N，连接PB，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 4 第 2 题解图则在 RtPNB中，由勾股定理得：PB2PN2NB2，PBPCa，a2(12k)2(a12)2，(5 分) 解得a21144k，PB21144k，P点坐标为 (12k，21144k) ，(6 分) 当x12k时，y21144k，点P在抛物线上；(7 分) (

7、3) 如解图，由C在y轴上，可知CBPCBP，第 2 题解图PBPC，CBPPCB，PCCB，PCBABC，CB PCBPABC60，PBC为等边三角形，OB12，BC1，OC32，PC1，P(32，1) (12 分) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 5 3解：(1) 四边形OCEF为矩形，且OF2，EF3，C(0，3) ，E(2，3) ，将C(0，3) ，E(2，3) 代入抛物线解析式yx2bxc得，3423cbc，解得23b

8、c，抛物线的解析式为yx22x3；(2) 由(1) 得yx22x3，令y0，得x22x30，解得x1 1，x23，A( 1，0) ，B(3 ，0) ，AO1，BO3，又C(0 ，3) ，OC3，在 RtAOC中，由勾股定理，得AC2210AOOC，COBO3，OF2，OBCOCB45，AF 3，BF1，MFBF1，ROMF，AROAMF，ROAOMFAF，113RO，解得RO13，CR31383，在 RtAOR中，AR221101( )33，ACR的周长为108310384103；(3) 存在点P，使得APPHHG的值最小如解图， 取OF中点A，连接AG交直线EF的延长线于点H，过点H作HPy

9、轴于点P，连接AP，此时，APPHHG的值最小，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 6 第 3 题解图设直线AG的解析式为ykxa，将A(1，0) ，G(4 ， 5)代入得，045kaka，解得5353ka，直线AG的解析式为y53x53，令x2，得y1035353，点H的坐标为 (2 ，53) ，符合题意的点P的坐标为 (0 ，53) 拓展二二次函数与三角形面积问题针对演练1. (2016永州 12 分) 已知抛物线yax2bx3

10、 经过 ( 1，0) ，(3，0) 两点，与y轴交于点C，直线ykx与抛物线交于A，B两点(1) 写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 7 (2) 当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；(3) 是否存在实数k使得ABC的面积为3102？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由第 1 题图2. (2015攀枝花 ) 如图，已知抛物线yx2bxc与x轴交于A( 1，0) ，B(3 ，

11、 0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M， 连接PB. (1) 求该抛物线的解析式；(2) 在(1) 中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D， 使得BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3) 在(1) 中的抛物线上是否存在点Q，使得QMB与PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由第 2 题图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 33 页 - - - - - - - - - -

12、8 3. (2015 桂林 )如图，已知抛物线y12x2bxc与坐标轴分别交于点A(0 ，8) 、B(8 ，0)和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1 个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1 个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动(1) 直接写出抛物线的解析式：_；(2) 求CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式； 当t为何值时， CED的面积最大？最大面积是多少？(3) 当CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P( 点E除外 ) ，使PCD的面积等于CED的最大面积，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由第 3 题图4. (2

13、016常州 10 分) 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yx与二次函数yx2bx的图象相交于O、A两点，点A(3 ，3) ，点M为抛物线的顶点(1) 求二次函数的表达式；(2) 长度为 22的线段PQ在线段OA( 不包括端点 ) 上滑动， 分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；(3) 直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足SAOFSAOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由第 4 题图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - -

14、- -第 8 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 9 【答案】1解： (1) 令x0，得y 3，C(0， 3) ，把( 1，0) 和(3，0) 代入yax2bx3 中，得309330abab，解得12ab，抛物线的解析式为yx22x3；(3 分) (2) 联立方程组223yxxykx，解得212212416224162kkkxkkkkky，222222416224162kkkxkkk kky，O是AB的中点，x1x20，即2224162416022kkkkkk解得k 2，1132 3xy或2232 3xy，A( 3，23) ，B(3， 23) ；(7 分) ；(3) 不存

15、在实数k使得ABC的面积为3102. 理由如下：假设存在实数k使得ABC的面积为3102，联立方程组223yxxykx，解得精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 10 212212416224162kkkxkkkkky，222222416224162kkkxkkk kky，则A(22224162416,22kkkkkkkk) ，B(22224162416,22kkkkkkkk) ，SABC12OC(xBxA) 3102，123 332

16、416kk3102，k24k1610，即k24k60，b24ac16240，此方程无解，不存在实数k使得ABC的面积为3102. (12 分) 2解： (1) 把点A( 1，0) ，B(3，0)代入yx2bxc，得10930bcbc，解得23bc，yx22x3；【一题多解】由题意可知点A( 1，0)，点B(3 ，0) 是抛物线与x轴的两个交点，抛物线解析式为y(x 1)(x3) x22x3. (2) 存在点D，使得BCD的面积最大设D(t，t22t3) ，如解图，作DHx轴于点H，C点坐标为 (0 ，3)，第 2 题解图则SBCDS四边形 DCOHSBDHSBOC12t( t22t3 3)12

17、(3 t)( t22t3) 123 33332t292t，320，即抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 11 当t9223（32）32时，SBCD323 (32)292332278，即点D的坐标为 (32，154) 时，SBCD有最大值，且最大面积为278； (3) 存在点Q，使得QMB与PMB的面积相等如解图，P(1，4) ，过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一，第 2 题

18、解图直线BC为yx3，过点P作BC的平行直线l1，设l1为yxb，将P(1，4)代入即可得到直线l1的解析式为yx5，联立方程组2523yxyxx，解得1123xy，2214xy，Q1(2 ，3) ；直线PM为x1，直线BC为yx3，M(1，2) ，设PM与x轴交于点E，PMEM2，过点E作BC的平行直线l2，则过点E且与BC平行的直线l2与抛物线的交点也为所求Q点之一，即将直线BC向下平移 2 个单位得到直线l2，解析式为yx1，联立方程组2123yxyxx，解得1131721172xy，2231721172xy，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢

19、迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 12 Q2(317117,22) ，Q3(317117,22) ，满足条件的Q点为Q1(2 ， 3) ，Q2(317117,22) ，Q3(317117,22) 3解： (1)y12x23x8；【解法提示】把点A(0 ，8) 、B(8 ，0) 代入y12x2bxc可得，83280cbc，解得38bc，抛物线解析式为y12x2 3x8. (2) 在y12x23x8 中，当y0 时，12x23x80，解得x12，x28，E( 2，0) ，BE10，SCED12DE2OC，S1

20、2t(10 t) 12t25t，S与t的函数关系式为：S12t25t，S12t25t12(t5)2252，当t5 时，CED的面积最大，最大面积为252；(3) 存在，当CED的面积最大时，t5，即BDDE5，此时，要使SPCDSCED，CD为公共边，故只需求出过点B、E且平行于CD的直线即可，如解图第 3 题解图设直线CD的解析式为ykxb，由(2) 可知OC5，OD3，C(0，5) ，D(3，0) ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 33 页 - - - - - - - -

21、 - - 13 把C(0，5) 、D(3，0) 代入ykxb，得530bkb，解得535kb，直线CD的解析式为y53x5，DEDB5，过点B且平行于CD的直线解析式为y53(x 5)5，过点E且平行于CD的直线解析式为y53(x5) 5，分别与抛物线解析式联立得：方程：12x23x853(x5) 5，解得x18，x243，方程：12x23x853(x5) 5，解得x3343，x4 2( 舍去 ) ，分别将x值代入抛物线解析式，得y10，y21009，y32009，又P点不与E点重合，满足题意的P点坐标有 3 个，分别是P1(8 ，0) ，P2(43，1009) ，P3(343，2009) 4

22、解： (1) 由题意知，A(3 ，3) 在二次函数yx2bx的图象上，将x3，y3 代入得 93b3，解得b 2，二次函数表达式为yx22x；(2 分) (2) 如解图所示，过点P作PBQQ1于点B，第 4 题解图PQ22，且在直线yx上，PBQB2 ，(3 分) 设P(a，a) ，则Q(a2，a2) ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 14 P1(a，a22a) ，Q1(a2，(a2)22(a2) ，即Q1(a2，a22a)

23、，四边形PQQ1P1的面积为：22(2 )(22 )22aaaaaaS 2a22a22(a12)252，(4 分) 当Q运动到点A时，OPOQPQ2，a1，a的取值范围为0a1，当a12时，四边形PQQ1P1的面积最大，最大值为52； (5 分) (3) 存在，点E的坐标为E1(43，43) ，E2(143，143) ，如解图所示，连接OM，第 4 题解图点M为抛物线顶点，M(1， 1) ，又OA所在直线为yx，OMOA，即AOM90，在AOF和AOM中，以OA为底，当面积相等时，则两三角形OA边上的高相等，又OMOA，且OM2，可作两条与OA互相平行且距离为2的直线，(6 分) 如解图所示，

24、在直线HD、MC上的点F均满足SAOFS AOM，只需满足E点的对称点F在这两条直线上即可如解图， 过点A作ACMC于点C，易得四边形OACM为矩形，AM为该矩形的一条对角线，取AM中点O，过O作AM垂线，交OA于点E1，交MC于点F1，OA 32，2222(3 2)(2)2 5AMOAOM，AO5，AO E1AOM，(7 分) 11AEAOOEAOAOAMAM，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 15 13 253 22 5OE

25、，解得OE1423，点E1在yx上，E1(43，43) ，(8 分) 同理可得HF2GE2423，又OG2OA62，OE2624231423，E2(143，143) 综上所述，符合条件的E点的坐标为：E1(43，43) 、E2(143，143) (10 分) 拓展三二次函数与特殊四边形判定问题针对演练1. (2016茂名 8 分) 如图，抛物线yx2bxc经过A( 1，0) ，B(3 ，0) 两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD. (1) 求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；(2) 点P是线段BD上一点，当PEPC时，求点P的坐标；(3)

26、在(2) 的条件下，过点P作PFx轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标第 1 题图备用图2. (2016安顺 14 分) 如图，抛物线经过A( 1，0) ，B(5 ，0) ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 16 C(0 ，52)三点(1) 求抛物线的解析式；(2) 在抛物线的对称轴上有一点P，使PAPC的值最小，求点P的坐标；(3)

27、点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A、C、M、N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由第 2 题图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 17 3. (2016 南充 10 分) 如图，抛物线与x轴交于点A(5，0) 和点B(3 ，0) ，与y轴交于点C(0 ，5) 有一宽度为1，长度足够的矩形( 阴影部分 ) 沿x轴方向平移，与y轴平行的一组对边交抛物线于点P和Q，交直线AC于点M和

28、N，交x轴于点E和F. (1) 求抛物线解析式；(2) 当点M和N都在线段AC上时，连接MF，如果 sin AMF1010，求点Q的坐标；(3) 在矩形的平移过程中，当以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标第 3 题图4. (2016成都 12 分) 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线ya(x1)23 与x轴交于A、B两点 ( 点A在点B的左侧 ) ，与y轴交于点C(0 ，83) ，顶点为D，对称轴与x轴交于点H， 过点H的直线l交抛物线于P、Q两点，点Q在y轴的右侧(1) 求a的值及点A、B的坐标；(2) 当直线l将四边形ABCD分为面积比为37 的两部分时，求直线

29、l的函数表达式；(3) 当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否成为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由第 4 题图备用图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 18 【答案】1解：(1) 抛物线yx2bxc经过A( 1，0) ，B(3，0) 两点，10930bcbc，解得23bc，经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为yx22x3；(2 分) (2) 如解图，连接PC、

30、PE，第 1 题解图2122( 1)ba，当x1 时，y1234，点D坐标为 (1，4) ，设直线BD为：ymxn，将点B、D坐标分别代入表达式，得304mnmn，解得26mn，y 2x6，设点P坐标为 (x， 2x6) ，由勾股定理可得PC2x2(3 2x6)2，PE2(x1)2( 2x6)2，PCPE，x2(32x6)2(x1)2( 2x6)2，解得x2，则y23262，P(2，2) ；(5 分) (3) 依题意可设点M坐标为 (a，0)，则G坐标为 (a，a2 2a3)如解图，以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，必有FMMG，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - -

31、- - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 19 第 1 题解图即|2 a| | a22a3| ， 2 a ( a22a3)，解得a1212， 2 aa22a3，解得a3132，综上所述，M点的坐标为 (1212，0) ，(1212，0) ，(3132，0) ，(3132，0) (8 分) 2解： (1) 设抛物线的解析式为yax2bxc(a0)，将点A( 1，0)，B(5 ，0)，C(0 ，52) 代入得，0255052abcabcc，解得12252abc，抛物线的解析式为y12x2 2x5

32、2；(4 分) (2) 由题意知，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B，如解图，连接BC交抛物线的对称轴于点P，则P点即为所求，第 2 题解图设直线BC的解析式为ykxb1(k0)，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 20 由题意得115052kbb，解得11252kb，直线BC的解析式为y12x52，抛物线y12x22x52的对称轴是x2，当x2 时，y12x52123 25232，点P的坐标是 (2 ，32) ；(9 分) (3

33、) 存在(10 分) (i) 当存在的点N在x轴的下方时，如解图所示，第 2 题解图四边形ACNM是平行四边形，CNx轴，点C与点N关于对称轴x2 对称，C点的坐标为 (0 ，52) ，点N的坐标为 (4 ，52) ； (11 分) (ii)当存在的点N在x轴上方时，如解图所示，作NHx轴于点H，四边形ACM N是平行四边形，ACM N ，N M HCAO，AOCM HN ，RtCAORtN M H (AAS) ，N HOC，点C的坐标为 (0 ，52) ，N H52，即N 点的纵坐标为52，12x22x5252，解得x1214，x2214. 点N 的坐标为 (2 14，52) 或(2 14，

34、52) (13 分) 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 21 综上所述，满足题目条件的点N共有三个，分别为(4，52) ，(2 14，52) ，(2 14，52) (14 分) 3解： (1) 根据题意得，A( 5，0) ，B(3 ，0) 是抛物线与x轴的交点，设抛物线的解析式为ya(x5)(x3) ，(1 分) 抛物线过点C(0 ，5) ，a13，抛物线的解析式为y13(x5)(x3) 13x223x5；(2 分) (2) 如

35、解图，过点F作FDAC于点D，第 3 题解图OA5，OC5，CAO45. (3 分) 设AF的长为m，则DF22m，MEAEm1，sin AMFDFMF，2105 msin210DFMFmAMF，(4 分) 在 RtMEF中，FM2ME2EF2，(5m)2(m1)212，解得m11，m212( 不符合题意，舍去) ，(5 分 ) AF1，点Q的横坐标为 4. 又点Q在抛物线y13x223x5 上，Q( 4，73) ；(6 分) (3) 设直线AC的解析式为ykxn(k0)，由题意得505knn，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 -

36、- - - - - - - - -第 21 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 22 解得15kn，直线AC的解析式为yx5. (7 分) 由题知，点Q，N，F及点P，M，E的横坐标分别相同，设F(t，0) ，E(t1，0)，点M，N均在直线yx5 上，N(t，t5) ，M(t1，t6) ，点P，Q在抛物线y13x223x5 上，Q(t，13t223t5) ，P(t1，13t243t 4)，(8 分) 在矩形平移过程中，以P、Q、N、M为顶点的平行四边形有两种情况：点Q、P在直线AC的同侧时，QNPM，( 13t223t5)(t5)( 13t243t4) (t6) ，解得

37、t 3，M( 2，3) ；(9 分) 点Q，P在直线AC的异侧时，QNMP，( 13t223t5)(t5)(t6) ( 13t243t4) ，解得t136，t2 36，M( 26，36) 或( 26，36) ，符合条件的点M是( 2，3) ，( 26，36) 或( 26，36) (10 分) 4解：(1) 抛物线与y轴交于点C(0 ，83) ，a383，解得a13，y13(x1)23，当y0 时，有13(x1)230，解得x12，x2 4，A( 4，0) ，B(2 ，0) ；(3 分) (2) 由(1) 可知，A( 4，0)，B(2 ，0) ，C(0，83) ，D( 1， 3) ，S四边形 A

38、BCDSAHDS梯形 OCDHSBOC123 33 3123 (833) 3 1123 238310，从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：如解图，当直线l与边AD相交于点M1时，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 23 第 4 题解图则13=10=310AHMS，123 33 (1My) 3，1My 2，A( 4，0) ，D( 1，3) ，直线AD的解析式为yx4，M1( 2， 2) ，(5 分 ) 过点H

39、( 1，0)和M1( 2， 2) 的直线l的解析式为y2x2；如解图，当直线l与边BC相交与点M2时，同理可得点M2(12， 2) ，第 4 题解图过点H( 1，0)和M2(12，2) 的直线l的解析式为y43x43，综上所述：直线l的函数表达式为y2x2 或y43x43；(7 分) (3) 以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形设P(x1，y1) 、Q(x2，y2)，且过点H( 1，0) 的直线PQ的解析式为ykxb，第 4 题解图kb0，bk，ykxk. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -

40、第 23 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 24 由2128333ykxkyxx，13x2(23k)xk830，x1x2 23k，y1y2kx1kkx2k3k2，点M是线段PQ的中点，由中点坐标公式得点M(32k1，32k2) 假设存在这样的N点如解图，直线DNPQ，设直线DN的解析式为ykxk3，由23128333ykxkyxx，解得x11( 舍去) ，x23k1，N(3k1，3k23) ，四边形DMPN是菱形，DNDM，DN2DM2，即 (3k)2(3k2)222233()(3)22kk，整理得 3k4k240，k210， 3k240，解得k233，k0，k233，

41、N( 231，1) ，以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为( 23 1，1)(12 分) 拓展四二次函数与特殊三角形判定问题针对演练1. (2016枣庄 10 分) 如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x 1，且经过A(1，0) ，C(0，3) 两点，与x轴的另一个交点为B. (1) 若直线ymxn经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；(2) 在抛物线的对称轴x 1 上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；(3) 设点P为抛物线的对称轴x1 上的一个动点， 求使BPC为直角三角形的点P的坐标精品资料 - - - 欢迎下载

42、- - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 25 第 1 题图2. (2016新疆 13 分) 如图，抛物线yax2bx3(a0)的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BOOC3AO，直线y13x1 与y轴交于点D. (1) 求抛物线的解析式；(2) 求证：DBOEBC；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 33 页 - - - - -

43、 - - - - - 26 (3) 在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由第 2 题图3. (2016襄阳 13 分) 如图，已知点A的坐标为 ( 2，0) ，直线334yx与x轴，y轴分别交于点B和点C，连接AC，顶点为D的抛物线yax2bxc过A，B，C三点(1) 请直接写出B，C两点的坐标，抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2) 设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F. 若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；(3) 设点M是线段BC上的一动点， 过

44、点M作MNAB，交AC于点N.点Q从点B出发， 以每秒 1 个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t( 秒) 当t(秒) 为何值时， 存在QMN为等腰直角三角形？第 3 题图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 26 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 27 【答案】1解： (1) 依题意得1203baabcc，解得123abc，抛物线解析式为yx22x3，对称轴为x1，抛物线经过A(1 ，0) ，B( 3，0) ，把B(3，0) ，C(0 ，3) 分别代入ymx

45、n得，303mnn，解得13mn，直线BC的解析式为yx3；(3 分) (2) 设直线BC与对称轴x 1 的交点为M，如解图，连接AM，第 1 题解图MAMB，MAMCMBMCBC，使MAMC最小的点M应为直线BC与对称轴x 1 的交点，把x1 代入直线yx3，得y2，M( 1，2) ；(6 分) (3) 设P(1，t) ，B( 3，0) ，C(0 ，3) ，BC218，PB2( 13)2t24t2，PC2( 1)2(t3)2t26t10，若B为直角顶点，则BC2PB2PC2，即 184t2t26t10，解得t1 2；若C为直角顶点，则BC2PC2PB2，即 18t26t104t2，解得t24

46、；若P为直角顶点，则PB2PC2BC2，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 27 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 28 即 4t2t26t1018，解得t33172，t43172. 综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：P1( 1， 2) ，P2( 1，4) ，P3( 1，3172) ，P4( 1，3172) (10 分) 2(1) 解：当x0 时，yax2bx3 3，C(0， 3) ，即OC3，OBOC3OA，OB3，OA1，A( 1，0) ，B(3 ，0) ，

47、将A(1，0) ，B(3 ，0) 代入yax2bx3 得：309330abab，解得12ab，抛物线的解析式为yx22x3；(4 分) (2) 证明：由抛物线解析式yx22x3(x1)24 可得：E(1 ， 4) ，当x0 时，y13x11，D(0，1) ，即OD1，2210BDODOB，同理可得CE2，BE25，BC32，在DBO和EBC中，22DBDOBOEBECBC，DBOEBC；(9 分) (3) 解：存在，点P的坐标为 (1 ，1) ，(1， 317) ，(1 ，317)，(1 ，14) 或 (1，14) (13 分) 【解法提示】如解图，过点P作PGy轴于点G，连接PC，PB，设抛

48、物线对称轴与x轴的交点为M，设点P(1 ，a)，第 2 题解图则PG1，GC|a3| ，PM|a| ，PC21(a3)2，PB2a24，BC218，当P是等腰三角形顶点时，PC2PB2，即 1(a3)24a2，解得a 1，P1(1 ， 1) ；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 28 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 29 当C是等腰三角形顶点时，PC2CB2，即 1(a3)218，解得a1 317，a2 317，P2(1 ， 317) ，P3(1 ，317) ；当B是

49、等腰三角形顶点时，PB2CB2，即 4a218，解得a114，a214，P4(1 ，14) ，P5(1，14) 综上所述， 存在点P，使得PBC是等腰三角形， 点P的坐标分别为：P1(1，1) ，P2(1 ，317) ，P3(1 ，317) ，P4(1 ，14) ，P5(1，14) 3解： (1)B(4 ，0)，C(0 ，3) ，抛物线的解析式为y38x234x3，D(1 ，278) ； (4 分) 【解法提示】令x 0，代入y34x3，得y3，C(0，3) ，令y0，代入y34x3，得34x30，解得x4，B(4，0) ，设抛物线的解析式为ya(x2)(x4) ，把C(0，3) 代入ya(x

50、2)(x4)，a38，抛物线的解析式为y38(x2)(x4) 38x234x3 38(x1)2278，顶点D的坐标为 (1 ，278) (2) 如解图，第 3 题解图四边形DEFP是平行四边形，DPBC，设直线DP的解析式为ymxn，直线BC的解析式为y34x3，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 29 页，共 33 页 - - - - - - - - - - 30 m34，y34xn，把D(1，278) 代入y34xn，n338，直线DP的解析式为y34x338，联立y38x234x 3y3