正弦定理和余弦定理.doc

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1、正弦定理和余弦定理正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC变形(1)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；(2)sinA，sinB，sinC；(3)abcsinAsinBsinC；(4)asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinAcosA；cosB；cosCSABCabsinCbcsinAacsinB(abc)r(r是三角形内切圆半径)，并可由此计算R、r选择题在ABC中，已知a2，b，A45，则满足条

2、件的三角形有()A1个 B2个 C0个 D无法确定解析bsinA，bsinAa1，所以只需使边长为3及x的对角都为锐角即可，故即8x20，所以2x.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA，则ABC为()A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形解析已知cosA，由正弦定理，得cosA，即sinCsinBcosA，所以sin(AB)sinBcosA，即sinBcosAcosBsinAsinBcosA0，所以cosBsinA0，于是有cosB1.角B不存在，即满足条件的三角形不存在若ABC的三个内角满足sinAsinBsinC51113，则ABC()A一定是锐角三

3、角形 B一定是直角三角形C一定是钝角三角形 D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形解析由正弦定理2R(R为ABC外接圆半径)及已知条件sinAsinBsinC51113，可设a5x，b11x，c13x(x0)则cosC0，C为钝角，ABC为钝角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“ab”是“cos2Acos2B”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析因为在ABC中，absinAsinBsin2Asin2B2sin2A2sin2B12sin2A12sin2Bcos2Acos2B，所以“ab”是“cos2Acos2B”的充分必要条件在A

4、BC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2(1sinA)，则A()A. B. C. D.解析在ABC中，由bc，得cosA，又a22b2(1sinA)，所以cosAsinA，即tanA1，又知A(0，)，所以A，故选C.在ABC中，AB，AC1，B30，ABC的面积为，则C()A30 B45 C60 D75解析SABCABACsinA，即1sinA，sinA1，由A(0，180)，A90，C60，故选C已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则B等于()A. B. C. D.解析根据正弦定理2R，得，即a2c2b2ac，得cosB，故B，故选C.在ABC中，

5、角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A，a2，b，则B等于()A. B. C.或 D.解析A，a2，b，由正弦定理可得，sinBsinA，A，B设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若bc2a,3sinA5sinB，则角C等于()A. B. C. D.解析因为3sinA5sinB，所以由正弦定理可得3a5b.因为bc2a，所以c2aaa.令a5，b3，c7，则由余弦定理c2a2b22abcosC，得49259235cosC，解得cosC，所以C.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2(ab)26，C，ABC的面积是()A3 B. C. D3解析c2(ab)

6、26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcosa2b2ab.由得ab60，即ab6，SABCabsinC6.填空题ABC中，若bcosCccosBasinA，则ABC的形状为_解析由已知得sinBcosCcosBsinCsin2A，sin(BC)sin2A，sinAsin2A，又sinA0，sinA1，A，ABC为直角三角形在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a1，b，则SABC_.解析因为角A，B，C依次成等差数列，所以B60.由正弦定理，得，解得sinA，因为0A180，所以A30或150(舍去)，此时C90，所以SABCab在ABC

7、中，a4，b5，c6，则_解析由余弦定理：cosA，sinA，cosC，sinC，1.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tanBac，则角B的值为_解析由余弦定理，得cosB，结合已知等式得cosBtanB，sinB，B或在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosCbsinCac0，则角B_解析由正弦定理知，sinBcosCsinBsinCsinAsinC0sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC，代入上式得sinBsinCcosBsinCsinC0sinC0，sinBcosB10，2sin1，即sin.B(0，)，B在ABC中，

8、已知sinAsinB1，c2b2bc，则三内角A，B，C的度数依次是_解析由题意知ab，a2b2c22bccosA，即2b2b2c22bccosA，又c2b2bc，cosA，A45，sinB，B30，C105.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cosC，3sinA2sinB，则c_解析由3sinA2sinB及正弦定理，得3a2b，又a2，所以b3，故c2a2b22abcosC4922316，所以c4.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sinB，C，则b_解析因为sinB且B(0，)，所以B或B.又C，BC，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，在AB

9、C中，A60，AC2，BC，则AB_解析A60，AC2，BC，设ABx，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosA，化简得x22x10，x1，即AB1.在ABC中，A，ac，则_解析在ABC中，a2b2c22bccosA，将A，ac代入，可得(c)2b2c22bc，整理得2c2b2bc，c0，等式两边同时除以c2，得22，可解得1在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc2，cosA，则a的值为_解析cosA，0A，sinA，SABCbcsinAbc3，bc24，又bc2，b22bcc24，b2c252，由余弦定理得，a2b2c22bccosA522

10、2464，a8.解答题在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A，b2a2c2(1)求tanC的值；(2)若ABC的面积为3，求b的值解(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C.所以cos2Bsin2C.又由A，即BC，得cos2Bcos2cossin2C2sinCcosC，由解得tanC2.(2)由tanC2，C(0，)得sinC，cosC，因为sinBsin(AC)sin，所以sinB，由正弦定理得cb，又因为A，bcsinA3，所以bc6，故b3.已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，absinAacosB.(1)求角B；(2)若b2，ABC的面

11、积为，求a，c.解(1)由absinAacosB及正弦定理，得sinAsinBsinAsinAcosB，0A0，sinBcosB1，即sin，又0B，B，B.(2)SacsinB，ac4，又b2a2c22accosB，即a2c28.由联立解得ac2.如图，在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长解(1)SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD.因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC，由正弦定理可得.(2)因为SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理，知AB2

12、AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26，由(1)知AB2AC，所以AC1.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acb，sinBsinC(1)求cosA的值；(2)求cos的值解(1)ABC中，由，及sinBsinC，可得bc，又由acb，有a2c，所以cosA(2)在ABC中，由cosA，可得sinA于是，cos2A2cos2A1，sin2A2sinAcosA所以，coscos2Acossin2Asin已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sinAsinB)(cb

13、)sinC，则ABC面积的最大值为解析由正弦定理，可得(2b)(ab)(cb)ca2，a2b2c2bc，即b2c2a2bc由余弦定理，得cosA，sinA.由b2c2bc4，得b2c24bc.b2c22bc，即4bc2bc，bc4，SABCbcsinA，即(SABC)max.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ab，c，cos2Acos2BsinAcosAsinBcosB.(1)求角C的大小；(2)若sinA，求ABC的面积解(1)由题意得sin2Asin2B，即sin2Acos2Asin2Bcos2B，sinsin.由ab，得AB，又AB(0，)，所以2A2B，即AB，所

14、以C.(2)由c，sinA，得a，由ac，得AC，从而cosA，故sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC，所以，ABC的面积为SacsinB.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cosB，sin(AB)，ac2，求sinA和c的值解在ABC中，由cosB，得sinB，因为ABC，所以sinCsin(AB).因为sinCsinB，所以CB，可知C为锐角所以cosC.因此sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC.由，可得a2c，又ac2，所以c1.专项能力提升在ABC中，AC，BC2，B60，则BC边上的高等于()A. B. C. D.解析设ABc，

15、则由AC2AB2BC22ABBCcosB知7c242c，即c22c30，c3(负值舍去)BC边上的高为ABsinB3.在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若cacosB(2ab)cosA，则ABC的形状为()A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形解析cacosB(2ab)cosA，C(AB)，由正弦定理得sinCsinAcosB2sinAcosAsinBcosA，sinAcosBcosAsinBsinAcosB2sinAcosAsinBcosAcosA(sinBsinA)0，cosA0或sinBsinA，A或BA或BA(舍去)，ABC为等腰或直角三角

16、形在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若SABC2，ab6，2cosC，则c()A2 B4 C2 D3解析2cosC，由正弦定理，得sinAcosBcosAsinB2sinCcosC，sin(AB)sinC2sinCcosC，由于0C，sinC0，cosC，C.SABC2absinCab，ab8，又ab6，或c2a2b22abcosC416812，c2，故选C.在ABC中，若b5，B，tanA2，则a_解析由tanA2得sinA2cosA，又sin2Acos2A1得sinA.b5，B，根据正弦定理，有，a2.在ABC中，B120，AB，A的角平分线AD，则AC_解析由正弦定理得，即，解得sinADB，所以ADB45，从而BAD15DAC，所以C1801203030，AC.在ABC中，B60，AC，则AB2BC的最大值为_解析由正弦定理知，AB2sinC，BC2sinA.又AC120，AB2BC2sinC4sin(120C)2(sinC2sin120cosC2cos120sinC)2(sinCcosCsinC)2(2sinCcosC)2sin(C)，其中tan，是第一象限角，由于0C120，且是第一象限角，因此AB2BC有最大值2.12