数学悖论和三次数学危机概述.pptx

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1、数学悖论与三次数学危机数学悖论与三次数学危机 什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很多看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为真。由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因真。由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。 如果

2、这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感。在这种情况下，悖论往往会直接导致遍危机感。在这种情况下，悖论往往会直接导致“数数学危机学危机”的产生。按照习惯的说法，在数学发展史上的产生。按照习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次这样的数学危机。迄今为止出现了三次这样的数学危机。 数学发展从来不是完全直线式的，而是常常出现悖数学发展从来不是完全直线式的，而是常常出现悖论。历史上一连串的数学悖论动摇了人们对数学可靠论。历史上一连串的数学悖论动摇了人们对数

3、学可靠性的信仰，数学史上曾经发生了三次数学危机。数学性的信仰，数学史上曾经发生了三次数学危机。数学悖论的产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和失悖论的产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望，望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望，促进了数学的繁荣。危机产生、解决、又产生的无穷促进了数学的繁荣。危机产生、解决、又产生的无穷反复过程，不断推动着数学的发展，这个过程也是数反复过程，不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。学思想获得重要发展的过程。 数学历来被视为严格、和谐、精确的学科，纵观数学发展史，数学历来被视为严格、和谐、

4、精确的学科，纵观数学发展史，数学发展从来不是完全直线式的，他的体系不是永远和谐的，数学发展从来不是完全直线式的，他的体系不是永远和谐的，而常常出现悖论。悖论是指在某一一定的理论体系的基础上，而常常出现悖论。悖论是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则，推出了两个互相矛盾的命题，或者是证根据合理的推理原则，推出了两个互相矛盾的命题，或者是证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式。数学悖论在数学理论中的发展是一件严重的事，因为它直式。数学悖论在数学理论中的发展是一件严重的事，因为它直接导致了人们对于相应理论的怀疑，

5、而如果一个悖论所涉及的接导致了人们对于相应理论的怀疑，而如果一个悖论所涉及的面十分广泛的话，甚至涉及到整个学科的基础时，这种怀疑情面十分广泛的话，甚至涉及到整个学科的基础时，这种怀疑情绪又可能发展成为普遍的危机感，特别是一些重要悖论的产生绪又可能发展成为普遍的危机感，特别是一些重要悖论的产生自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的动摇。自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的动摇。数学史上曾经发生过三次数学危机，每次都是由一两个典型的数学史上曾经发生过三次数学危机，每次都是由一两个典型的数学悖论引起的。本数学悖论引起的。本讲讲回顾了历史上发生的三次数学危机，重回顾了历史上发

6、生的三次数学危机，重点介绍了三次数学危机对数学发展的重要作用。点介绍了三次数学危机对数学发展的重要作用。毕达哥拉斯毕达哥拉斯 公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，其思想在当时被认为是绝对权威的真达哥拉斯学派，其思想在当时被认为是绝对权威的真理，毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为理，毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为“唯数论唯数论”的的哲学观点，他们认为宇宙的本质就是数的和谐。他们哲学观点，他们认为宇宙的本质就是数的和谐。他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数（即分数，两个整数的比

7、），的数（即分数，两个整数的比）， 除此之外不再有别除此之外不再有别的数，即是说世界上只有整数或分数。的数，即是说世界上只有整数或分数。毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了毕达哥拉斯定理，也就是我们所说的勾股定理。勾股毕达哥拉斯定理，也就是我们所说的勾股定理。勾股定理指出直角三角形三边应有如下关系，即定理指出直角三角形三边应有如下关系，即a a2 2+b+b2 2=c=c2 2，a a和和b b分别代表直角三角形的两条直角边，分别代表直角三角形的两条直角边，c c表示斜边。表示斜边。1 1毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机毕达哥拉斯悖论与第一次数

8、学危机 然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯很快便发现然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯很快便发现了这个论断的问题。他发现边长相等的正方形其对角线长了这个论断的问题。他发现边长相等的正方形其对角线长并不能用整数或整数之比来表示。假设正方形边长为并不能用整数或整数之比来表示。假设正方形边长为1，并设其对角线长为并设其对角线长为d，依勾股定理应有，依勾股定理应有d2=12+12=2，即，即d2=2，那么，那么d是多少呢？显然是多少呢？显然d不是整数，那它必是两整数之比不是整数，那它必是两整数之比。希伯斯花了很多时间来寻找这两个整数之比，结果没找。希伯斯花了很多时间来寻找这两个整数之比，结果没

9、找着，反而找到了两数不可通约性的证明，用反证法证明如着，反而找到了两数不可通约性的证明，用反证法证明如下：设下：设RtABC，两直角边为，两直角边为a=b，则由勾股定理有，则由勾股定理有c2=2a2，设已将，设已将a和和c中的公约数约去，即中的公约数约去，即a、c已经互素，于是已经互素，于是c为为偶数，偶数，a为奇数，不妨令为奇数，不妨令c=2m，则有，则有(2m)2=2a2，a2=2m2，于是于是a为偶数，这与前面已证为偶数，这与前面已证a为奇数矛盾。这一发现历史为奇数矛盾。这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。上称为毕达哥拉斯悖论。1 1毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机毕达哥拉斯悖论与第一次数学

10、危机 毕达哥拉斯悖论的出现，对毕达哥拉斯学派产生了毕达哥拉斯悖论的出现，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击，沉重的打击，“数即万物数即万物”的世界观被极大的动摇了的世界观被极大的动摇了,有理数的尊崇地位也受到了挑战，因此也影响到了整有理数的尊崇地位也受到了挑战，因此也影响到了整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱，历个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱，历史上称之为第一次数学危机。史上称之为第一次数学危机。 第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动了第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动了数学及其相关学科的发展。数学及其相关学科的发展。第一次数学危机的影响第一次数学危机的影响

11、首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类有理数和无理数的新的数类实数，并建立了完整的实数，并建立了完整的实数理论，为数学分析的发展奠定了基础。再者，第一实数理论，为数学分析的发展奠定了基础。再者，第一次数学危机表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明次数学危机表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演

12、绎推理，并由此建才是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系。欧氏几何就是人们为了消除矛盾，立了几何公理体系。欧氏几何就是人们为了消除矛盾，解除危机，在这时候应运而生的。第一次数学危机极大解除危机，在这时候应运而生的。第一次数学危机极大地促进了几何学的发展地促进了几何学的发展,使几何学在此后两千年间成为几使几何学在此后两千年间成为几乎是全部严密数学的基础，这不能不说是数学思想史上乎是全部严密数学的基础，这不能不说是数学思想史上的一次巨大革命。的一次巨大革命。第一次数学危机的影响第一次数学危机的影响牛顿牛顿莱布尼兹莱布尼兹贝克莱贝克莱2 2 贝克莱悖论与第二次数学危机贝克莱悖

13、论与第二次数学危机 第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几随着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的布尼兹所创立的微

14、积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本理论都建立在无穷小分析之上，但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。 1734年，贝克莱以年，贝克莱以“渺小的哲学家渺小的哲学家”之名出版了一本标题之名出版了一本标题很长的书很长的书分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其分析学家；或一篇致一位不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断

15、是不是比宗教的神中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理秘、信仰的要点有更清晰的表达，或更明显的推理。在这本。在这本书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为书中，贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿，为计算比如说计算比如说 x2 的导数，先将的导数，先将 x取一个不为取一个不为0的增量的增量 x ，由，由 (x + x)2 - x2 ，得到，得到 2xx + (x) 2 ，后再被，后再被 x 除，得到除，得到 2x + x ，最后突然令，最后突然令 x = 0 ，求得导数为，求得导数为 2x 。这是。这是“依靠双依

16、靠双重错误得到了不科学却正确的结果重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是无穷小量是“已死量的幽灵已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。2 2 贝克莱悖论与第二次数学危机贝克莱悖论与第二次数学危机 数学史上把贝克莱的问题称之为数学史上把贝克莱的问题称之为“贝贝克莱悖论克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可

17、以。笼统地说，贝克莱悖论可以表述为表述为“无穷小量究竟是否为无穷小量究竟是否为0”的问题：的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是既是0，又不是，又不是0。但从形式逻辑而言，这。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱，由此导致了的数学界引起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危机的产生。第二次数学危机的产生。2 2 贝克莱悖论与第二次数学危机贝克莱悖论与第二次数学危机 针对贝克莱的攻击，牛顿与莱布尼兹针对贝克莱的攻击，牛顿与莱布尼兹都曾试图通过完善自己的理论来解决，但都曾试图

18、通过完善自己的理论来解决，但都没有获得完全成功。这使数学家们陷入都没有获得完全成功。这使数学家们陷入了尴尬境地。一方面微积分在应用中大获了尴尬境地。一方面微积分在应用中大获成功，另一方面其自身却存在着逻辑矛盾，成功，另一方面其自身却存在着逻辑矛盾，即贝克莱悖论。这种情况下对微积分的取即贝克莱悖论。这种情况下对微积分的取舍上到底何去何从呢？舍上到底何去何从呢？ 2 2 贝克莱悖论与第二次数学危机贝克莱悖论与第二次数学危机 “向前进，向前进，你就会获得信念！向前进，向前进，你就会获得信念！”达朗贝尔吹起奋勇向前的号角，在此号角达朗贝尔吹起奋勇向前的号角，在此号角的鼓舞下，十八世纪的数学家们开始不顾

19、的鼓舞下，十八世纪的数学家们开始不顾基础的不严格，论证的不严密，而是更多基础的不严格，论证的不严密，而是更多依赖于直观去开创新的数学领地。于是一依赖于直观去开创新的数学领地。于是一套套新方法、新结论以及新分支纷纷涌现套套新方法、新结论以及新分支纷纷涌现出来。出来。 2 2 贝克莱悖论与第二次数学危机贝克莱悖论与第二次数学危机 经过一个多世纪的漫漫征程，几代数学家，经过一个多世纪的漫漫征程，几代数学家，包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力，数量惊斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力，数量惊人前所未有的处女地被开垦出来

20、，微积分理论获人前所未有的处女地被开垦出来，微积分理论获得了空前丰富。得了空前丰富。18世纪有时甚至被称为世纪有时甚至被称为“分析的分析的世纪世纪”。然而，与此同时十八世纪粗糙的，不严。然而，与此同时十八世纪粗糙的，不严密的工作也导致谬误越来越多的局面，不谐和音密的工作也导致谬误越来越多的局面，不谐和音的刺耳开始震动了数学家们的神经。的刺耳开始震动了数学家们的神经。 2 2 贝克莱悖论与第二次数学危机贝克莱悖论与第二次数学危机柯柯 西西 到十九世纪，批判、系统化和严密论到十九世纪，批判、系统化和严密论证的必要时期降临了。使分析基础严密证的必要时期降临了。使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯

21、西迈出了第化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于一大步。柯西于1821年开始出版了几本具年开始出版了几本具有划时代意义的书与论文。其中给出了分有划时代意义的书与论文。其中给出了分析学一系列基本概念的严格定义。如他开析学一系列基本概念的严格定义。如他开始用不等式来刻画极限，使无穷的运算化始用不等式来刻画极限，使无穷的运算化为一系列不等式的推导。为一系列不等式的推导。 2 2 贝克莱悖论与第二次数学危机贝克莱悖论与第二次数学危机 这就是所谓极限概念的这就是所谓极限概念的“算术化算术化”。后来，德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为后来，德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的我们目前所使用的完善的

22、我们目前所使用的“- ”方法。另方法。另外，在柯西的努力下，连续、导数、微分、外，在柯西的努力下，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上。不过，在当时情况下，由坚实的基础上。不过，在当时情况下，由于实数的严格理论未建立起来，所以柯西于实数的严格理论未建立起来，所以柯西的极限理论还不可能完善。的极限理论还不可能完善。2 2 贝克莱悖论与第二次数学危机贝克莱悖论与第二次数学危机 柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各柯西之后，魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究，都将分析基础归结为自经过自己独立深入的研究，都将分析

23、基础归结为实数理论，并于七十年代各自建立了自己完整的实实数理论，并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系。魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有界数数体系。魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有界数列极限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；列极限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托尔提出用有理康托尔提出用有理“基本序列基本序列”来定义无理数。来定义无理数。1892年，另一个数学家创用年，另一个数学家创用“区间套原理区间套原理”来建立来建立实数理论。由此，沿柯西开辟的道路，建立起来的实数理论。由此，沿柯西开辟的道路，建立起来的严谨的极限理论与实数理论，完成了分析学的逻辑严谨的极限理论与实数理论，

24、完成了分析学的逻辑奠基工作。奠基工作。 2 2 贝克莱悖论与第二次数学危机贝克莱悖论与第二次数学危机 数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上无矛盾性，从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分学基础，这项重要而困难的工作就重建微积分学基础，这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中微积分学坚实牢固基础的建立，结束了数学中暂时的混乱局面，同时也宣布

25、了第二次数学危暂时的混乱局面，同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。机的彻底解决。2 2 贝克莱悖论与第二次数学危机贝克莱悖论与第二次数学危机 但罗素在但罗素在19031903年出版了年出版了数数学的原理学的原理，书中提到著名，书中提到著名的罗素悖论，使数学基础产的罗素悖论，使数学基础产生了裂纹，因而震动了整个生了裂纹，因而震动了整个数学界，这就是所说的数学界，这就是所说的第三第三次数学危机次数学危机。罗素罗素Russell Bertrand Arthur Willian3 3 罗素悖论与第三次数学危机罗素悖论与第三次数学危机 罗素悖论的比喻罗素悖论的比喻 一天，萨维尔村理一天，萨维尔村理发发

26、师挂出一块招牌：师挂出一块招牌：“村里所有不自己理发的男人都由我村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发，我也只给这些人理发。给他们理发，我也只给这些人理发。”于是有人问他：于是有人问他：“您的头您的头发发由谁理呢由谁理呢?”理发师顿时哑口无言。理发师顿时哑口无言。 康托尔康托尔 十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发

27、现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成一切数学成果可建立在集合论基础上果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。这一发现使数学家们为之陶醉。1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：兴高采烈地宣称：“借助集合论概念，我们可以建造借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦整个数学大厦今天，我们可以说绝对的严格性已经达到今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了了” 可是，好

28、景不长。可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。名的罗素悖论。3 3 罗素悖论与第三次数学危机罗素悖论与第三次数学危机 罗素构造了一个集合罗素构造了一个集合S：S由一切不是自由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问：身元素的集合所组成。然后罗素问：S是否属是否属于于S呢？根据排中律，一个元素或者属于某个呢？根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定的集合，问是否属于它自己是

29、有意义个给定的集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果入两难境地。如果S属于属于S，根据，根据S的定义，的定义，S就不属于就不属于S；反之，如果；反之，如果S不属于不属于S，同样根，同样根据定义，据定义，S就属于就属于S。无论如何都是矛盾的。无论如何都是矛盾的。3 3 罗素悖论与第三次数学危机罗素悖论与第三次数学危机 其实，在罗素之前集合论中就已经发现了其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。如悖论。如1897年，布拉利和福尔蒂提出了最大年，布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论。序数悖论。1899年，康托尔自己发现

30、了最大基年，康托尔自己发现了最大基数悖论。但是，由于这两个悖论都涉及集合中数悖论。但是，由于这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一的许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。罗素悖论则不点小涟漪，未能引起大的注意。罗素悖论则不同。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合同。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。 3 3 罗素悖论与第三次数学危机罗素悖论与第三次数学危机 如如G.弗雷格在收到罗

31、素介绍这一悖论的信后弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。境地。”戴德金也因此推迟了他的戴德金也因此推迟了他的什么是数什么是数的本质和作用的本质和作用一文的再版。可以说，这一悖一文的再版。可以说，这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学

32、危机。机。3 3 罗素悖论与第三次数学危机罗素悖论与第三次数学危机 危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。切有价值的内容得以保存下来。”1908年，策梅罗在年，

33、策梅罗在自已这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，自已这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。 3 3 罗素悖论与第三次数学危机罗素悖论与第三次数学危机 除除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的伊曼等人提出的NBG系统等。公理化集合系统的建立，系统等。公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解成功排除了集合论中出现的悖论，从

34、而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等

35、。工作又都促进了数学的大发展等等。3 3 罗素悖论与第三次数学危机罗素悖论与第三次数学危机 以上简单介绍了数学史上由于数学悖论而导致以上简单介绍了数学史上由于数学悖论而导致的三次数学危机与度过，从中我们不难看到数学悖的三次数学危机与度过，从中我们不难看到数学悖论在推动数学发展中的巨大作用。有人说：论在推动数学发展中的巨大作用。有人说：“提出提出问题就是解决问题的一半问题就是解决问题的一半”，而数学悖论提出的正，而数学悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。它对数学家说：是让数学家无法回避的问题。它对数学家说：“解解决我，不然我将吞掉你的体系！决我，不然我将吞掉你的体系！”正如希尔伯特在正如希尔伯

36、特在论无限论无限一文中所指出的那样：一文中所指出的那样：“必须承认，在必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。受下去的。 人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？理性呢？”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展，这或批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展，这或许就是数学悖论重要意义之所在吧。许就是数学悖论重要意义之所在吧。