计量经济学第二章一元线性回归模型.pptx

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1、第二章第二章 经典单方程计量经济学模型：经典单方程计量经济学模型： 一元线性回归模型一元线性回归模型回归分析概述回归分析概述 一元线性回归模型的参数估计一元线性回归模型的参数估计 一元线性回归模型的检验一元线性回归模型的检验一元线性回归模型的预测一元线性回归模型的预测实例实例4/22/202212.1 2.1 回归分析概述回归分析概述一、一、变量间的关系及回归分析的基本概念变量间的关系及回归分析的基本概念二、总体回归函数（二、总体回归函数（PRFPRF）三、随机扰动项三、随机扰动项四、样本回归函数（四、样本回归函数（SRFSRF）4/22/20222一、变量间的关系及回归分析的基本概念一、变量

2、间的关系及回归分析的基本概念1. 变量间的关系变量间的关系（1）确定性关系确定性关系或函数关系函数关系：研究的是确定现象非随机变量间的关系。2,半径半径圆面积f（2）统计依赖）统计依赖或相关关系：相关关系：研究的是非确定现象随机变量间的关系。施肥量阳光降雨量气温农作物产量,f4/22/20223n对变量间对变量间统计依赖关系统计依赖关系的考察主要是通过的考察主要是通过相关相关分析分析(correlation analysis)或或回归分析回归分析(regression analysis)来完成的来完成的 正相关 线性相关 不相关 相关系数：统计依赖关系 负相关 11XY 有因果关系 回回归归分

3、分析析 正相关 无因果关系 相相关关分分析析 非线性相关 不相关 负相关4/22/20224n注意注意不线性相关并不意味着不相关。有相关关系相关关系并不意味着一定有因果关系因果关系。相关分析相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个变量都被看作是随机的。 回归分析回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分应变量（被解释变量）和自变量（解释变量）：前者是随机变量，后者不是。4/22/202252. 回归分析的基本概念回归分析的基本概念n回归分析回归分析(regression analysis)(regression analysis)是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理

4、论。n其目的其目的在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。n被解释变量被解释变量（Explained Variable）或应变应变量量（Dependent Variable）。n解释变量解释变量（Explanatory Variable）或自变自变量量（Independent Variable）。4/22/20226n回归分析构成计量经济学的方法论基础，其回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要内容包括：主要内容包括：（1）根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得回归方程；（2）对回归方程、参数估计值进行显著性检验；（3）利用回归方程进行分析、评价及预测。4/

5、22/20227二、总体回归函数（二、总体回归函数（PRF）n回归分析回归分析关心的是根据解释变量的已知或关心的是根据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体均值给定值，考察被解释变量的总体均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。4/22/20228n例例2.1n一个假想的社区有100户家庭组成，要研究该社区每月家庭消费支出家庭消费支出Y与每月家庭可支配收家庭可支配收入入X的关系。 即如果知道了家庭的月收入，能否预测该社区家庭的平均月消费支出水平。 为达到此目的，将该100户家庭划分为组内收入差不多的10组，以分析每一收入组的家庭消费支出。4

6、/22/20229表表 2.1.1 某某社社区区家家庭庭每每月月收收入入与与消消费费支支出出统统计计表表 每月家庭可支配收入X（元） 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1100 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1144 1364 1551 1749 2046 2178 2530 638 847 979 1155 1397 1595 1804 2068 2266 2

7、629 935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 2860 968 1045 1243 1474 1672 1881 2189 2486 2871 1078 1254 1496 1683 1925 2233 2552 1122 1298 1496 1716 1969 2244 2585 1155 1331 1562 1749 2013 2299 2640 1188 1364 1573 1771 2035 2310 1210 1408 1606 1804 2101 1430 1650 1870 2112 1485 1716 1947 2200 每 月 家 庭

8、消 费 支 出 Y （元） 2002 共计 2420 4950 11495 16445 19305 23870 25025 21450 21285 15510 4/22/202210n由于不确定因素的影响，对同一收入水平X，不同家庭的消费支出不完全相同；n但由于调查的完备性，给定收入水平X的消费支出Y的分布是确定的，即以X的给定值为条件的Y的条件分布（Conditional distribution）是已知的，例如：P(Y=561|X=800）=1/4。4/22/202211n因此，给定收入X的值Xi，可得消费支出Y的条件均值条件均值（conditional mean）或条件期望条件期望（co

9、nditional expectation）：E(Y|X=Xi)。n该例中：E(Y | X=800)=605n描出散点图发现：随着收入的增加，消费“平均地说平均地说”也在增加，且Y的条件均值均落在一根正斜率的直线上。这条直线称为总总体回归线体回归线。4/22/20221205001000150020002500300035005001000150020002500300035004000每月可支配收入X（元）每月消费支出Y（元）4/22/202213n在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期望轨迹称为总体回归线总体回归线（population regression line），或更一般地称为

10、总体回归曲线总体回归曲线（population regression curve）。)()|(iiXfXYE称为（双变量）总体回归函数总体回归函数（population regression function, PRF）。 相应的函数：4/22/202214n含义：含义：回归函数（PRF）说明被解释变量Y的平均状态（总体条件期望）随解释变量X变化的规律。 函数形式：函数形式：可以是线性或非线性的。 例2.1中，将居民消费支出看成是其可支配收入的线性函数时: iiXXYE10)|(为一线性函数。线性函数。其中，0，1是未知参数，称为回归系数回归系数（regression coefficients

11、）。4/22/202215三、随机扰动项三、随机扰动项n总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下，该社区家庭平均的消费支出水平。n但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均水平有偏差。n称为观察值围绕它的期望值的离差离差（deviation），是一个不可观测的随机变量，又称为随机干扰项随机干扰项（stochastic disturbance）或随机误差项随机误差项（stochastic error）。)|(iiiXYEY 4/22/202216n例2.1中，给定收入水平Xi ,个别家庭的支出可表示为两部分之和：（1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称为系统性系统性（system

12、atic）或确定性（确定性（deterministic)部分；部分；（2）其他随机随机或非确定性非确定性（nonsystematic)部部分分 i。4/22/202217n上式称为总体回归函数（PRF）的随机设定形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外，还受其他因素的随机性影响。n由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为总体回归模型。4/22/202218n随机误差项主要包括下列因素随机误差项主要包括下列因素n在解释变量中被忽略的因素的影响；n变量观测值的观测误差的影响；n模型关系的设定误差的影响；n其他随机因素的影响。n产生并设计随机误差项的主要原因产生并设计随机误差项

13、的主要原因n理论的含糊性；n数据的欠缺；n节省原则。4/22/202219四、样本回归函数（四、样本回归函数（SRF）n问题：问题：能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？n例例2.2：在例2.1的总体中有如下一个样本，能否从该样本估计总体回归函数PRF？表表2.1.3 家家庭庭消消费费支支出出与与可可支支配配收收入入的的一一个个随随机机样样本本 Y 800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 X 594 638 1122 1155 1408 1595 1969 2078 2585 2530 4/22

14、/202220 该样本的散点图散点图（scatter diagram)：n 画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自总体，。该直线称为样本回归线样本回归线（sample regression lines）。4/22/202221n 记样本回归线的函数形式为：iiiXXfY10)(称为样本回归函数（样本回归函数（sample regression function，SRF）。4/22/202222样本回归函数的随机形式样本回归函数的随机形式/ /样本回归模型样本回归模型同样地，样本回归函数也有如下的随机形式： iiiiieXYY10式中，ie称为（样样本本）残残差差（或剩剩余余）项项（res

15、idual） ，代表了其他影响iY的随机因素的集合，可看成是i的估计量i。 由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型，因此也称为样本回归模型（样本回归模型（sample regression model）。 4/22/202223回归分析的主要目的回归分析的主要目的：根据样本回归函数SRF，估计总体回归函数PRF。即，根据 iiiiieXeYY10估计iiiiiXXYEY10)|(4/22/2022242.2 2.2 一元线性回归模型的参数估计一元线性回归模型的参数估计一、一元线性回归模型的基本假设一、一元线性回归模型的基本假设 二、参数的普通最小二乘估计（二、参数的普通最小二乘估计（OLSO

16、LS） 三、参数估计的最大似然法三、参数估计的最大似然法(ML)(ML)* * 四、最小二乘估计量的性质四、最小二乘估计量的性质 五、五、参数估计量的概率分布及随机干参数估计量的概率分布及随机干 扰项方差的估计扰项方差的估计4/22/202225 一、线性回归模型的基本假设一、线性回归模型的基本假设 假设1. 解释变量X是确定性变量，不是随机变量； 假设2. 随机误差项具有零均值、同方差和不序列相关性： E(i)=0 i=1,2, ,n Var (i)=2 i=1,2, ,n Cov(i, j)=0 ij i,j= 1,2, ,n 4/22/202226假设3. 随机误差项与解释变量X之间不相

17、关： Cov(Xi, i)=0 i=1,2, ,n 假设4. 服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 iN(0, 2 ) i=1,2, ,n4/22/2022271. 如果假设1、2满足，则假设3也满足;2. 如果假设4满足，则假设2也满足。注意注意 以上假设也称为线性回归模型的经典假经典假设设或高斯（高斯（Gauss）假设假设，满足该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模型经典线性回归模型（Classical Linear Regression Model, CLRM）。 4/22/202228 另外另外，在进行模型回归时，还有两个暗含的假设： 假设5. 随着样本容量的无限增加，解释变量X

18、的样本方差趋于一有限常数。即nQnXXi,/)(2 假设6. 回归模型是正确设定的 4/22/202229二、参数的普通最小二乘估计（二、参数的普通最小二乘估计（OLSOLS） 给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,n）要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值. 普通最小二乘法普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）给出的判断标准是：二者之差的平方和niiiniXYYYQ121021)()(最小。4/22/202230方程组（*）称为正规方程组（正规方程组（normal equations）。 4/22/202231记22221)(iiiiXnXXXx i

19、iiiiiiiYXnYXYYXXyx1)(上述参数估计量可以写成： XYxyxiii1021 称为OLS估计量的离差形式（离差形式（deviation form）。 由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到 的，故称为普通普通最小二乘估计量（最小二乘估计量（ordinary least squares estimators）。 4/22/202232 例例2.2.1：在上述家庭可支配收入可支配收入- -消费支出消费支出例中，对于所抽出的一组样本数，参数估计的计算可通过下面的表2.2.1进行。 表表 2.2.1 参参数数估估计计的的计计算算表表 iX iY ix iy iiyx 2ix 2iy 2

20、iX 2iY 1 800 594 -1350 -973 1314090 1822500 947508 640000 352836 2 1100 638 -1050 -929 975870 1102500 863784 1210000 407044 3 1400 1122 -750 -445 334050 562500 198381 1960000 1258884 4 1700 1155 -450 -412 185580 202500 170074 2890000 1334025 5 2000 1408 -150 -159 23910 22500 25408 4000000 1982464 6

21、2300 1595 150 28 4140 22500 762 5290000 2544025 7 2600 1969 450 402 180720 202500 161283 6760000 3876961 8 2900 2078 750 511 382950 562500 260712 8410000 4318084 9 3200 2585 1050 1018 1068480 1102500 1035510 10240000 6682225 10 3500 2530 1350 963 1299510 1822500 926599 12250000 6400900 求和 21500 1567

22、4 5769300 7425000 4590020 53650000 29157448 平均 2150 1567 4/22/202233777. 07425000576930021iiixyx172.1032150777. 0156700XY因此，由该样本估计的回归方程为： iiXY777.0172.10314/22/202234 四、最小二乘估计量的性质四、最小二乘估计量的性质 当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需考察参数估计量的统计性质。 一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方面考察其优劣性： （1）线性性）线性性，即它是否是另一随机变量的线性

23、函数；4/22/202235（2）无偏性）无偏性，即它的均值或期望值是否等于总体的真实值；（3）有效性）有效性，即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。n 这三个准则也称作估计量的小样本性质。小样本性质。 拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量（best liner unbiased estimator, BLUE）。 4/22/202236（4）渐近无偏性）渐近无偏性，即样本容量趋于无穷大时，是否它的均值序列趋于总体真值；（5）一致性）一致性，即样本容量趋于无穷大时，它是否依概率收敛于总体的真值；（6）渐近有效性）渐近有效性，即样本容量趋于无穷大时，是否它在所有的一致估计量中具有最小

24、的渐近方差。 当不满足小样本性质时，需进一步考察估计量的大样本大样本或或渐近性质渐近性质：4/22/202237 在给定经典线性回归的假定下，在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。性无偏估计量。高斯高斯马尔可夫定理马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem)4/22/2022383 3、有有效效性性（最最小小方方差差性性） ，即在所有线性无偏估计量中，最小二乘估计量0、1具有最小方差。 (1)先求0与1的方差 )var()var()var()var(21021iiiiiiikXkYk22222iiixxx22222

25、22221121iiiiixxXkXnnkXkXnn22222222221iiiiixnXxnXnxxXn221020)/ 1 ()var()var()var(iiiiiikXnXwYw4/22/202239五、参数估计量的概率分布及随机干扰项五、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计方差的估计 1、参数估计量、参数估计量0和和1的概率分布的概率分布 ),(2211ixN),(22200iixnXN4/22/2022402. 随机误差项随机误差项 的方差的方差 2的估计的估计2又称为总体方差总体方差。 4/22/202241由于随机项 i不可观测，只能从 i的估计残差ei出发，对总体方差进

26、行估计。 可以证明可以证明， 2的最小二乘估计量最小二乘估计量为222nei它是关于2的无偏估计量。 4/22/202242在随机误差项的方差2估计出后，参数0和1的方方差差和标标准准差差的估计量分别是： 1的样本方差： 2221ixS 1的样本标准差： 21ixS 0的样本方差： 22220iixnXS 0的样本标准差： 220iixnXS 4/22/2022432.3 2.3 一元线性回归模型的统计检验一元线性回归模型的统计检验 一、一、拟合优度检验拟合优度检验 二、二、变量的显著性检验变量的显著性检验 三、三、参数的置信区间参数的置信区间 4/22/202244n在抽样中，参数的估计值与

27、真值的差异有多大，是否显著，这就需要进一步进行统计检统计检验验。n主要包括拟合优度检验、拟合优度检验、变量的显著性检验显著性检验及参数的区间估计。区间估计。4/22/202245 一、拟合优度检验一、拟合优度检验 拟合优度检验拟合优度检验对样本回归直线与样本观测值之间拟合程度的检验。 度量拟合优度的指标：判定系数判定系数（可决系数可决系数）R2 2 问题问题：采用普通最小二乘估计方法，已经保证了模型最好地拟合了样本观测值，为什么还要检验拟合程度？4/22/202246 1 1、总离差平方和的分解、总离差平方和的分解 已知由一组样本观测值（Xi,Yi），i=1,2,n得到如下样本回归直线 iiX

28、Y10iiiiiiiyeYYYYYYy)()(4/22/2022474/22/202248 如果Yi=i 即实际观测值落在样本回归“线”上，则拟合最好拟合最好。 可认为，“离差”全部来自回归线，而与“残差”无关。4/22/202249TSS=ESS+RSS22)(YYyTSSii记22)(YYyESSii22)(iiiYYeRSS总体平方和总体平方和（Total Sum of Squares）回归平方和回归平方和（Explained Sum of Squares）残差平方和残差平方和（Residual Sum of Squares ）4/22/202250TSSRSSTSSESSR1记22、可

29、决系数、可决系数R2 2统计量统计量 称 R2 为（样本）可决系数（样本）可决系数/判定系数（判定系数（coefficient of determination)。 可决系数可决系数的取值范围取值范围：0，1 R2 2越接近越接近1 1，说明实际观测点离样本线越近，说明实际观测点离样本线越近，拟合优度越高拟合优度越高。4/22/202251在实际计算可决系数时，在1已经估计出后： 22212iiyxR 在例2.1.1的收入消费支出收入消费支出例中， 9766. 045900207425000)777. 0(222212iiyxR4/22/202252 二、变量的显著性检验二、变量的显著性检验

30、回归分析回归分析是要判断解释变量解释变量X是否是被解释被解释变量变量Y的一个显著性的影响因素。 在一元线性模型一元线性模型中，就是要判断X是否对Y具有显著的线性影响。这就需要进行变量的显著性变量的显著性检验。检验。 变量的显著性检验所应用的方法是数理统计变量的显著性检验所应用的方法是数理统计学中的学中的假设检验假设检验。 计量经济学中，主要是针对变量的参数真值计量经济学中，主要是针对变量的参数真值是否为零来进行显著性检验的。是否为零来进行显著性检验的。 4/22/202253 1、假设检验、假设检验 所谓假设检验假设检验，就是事先对总体参数或总体分布形式作出一个假设，然后利用样本信息来判断原假

31、设是否合理，即判断样本信息与原假设是否有显著差异，从而决定是否接受或否定原假设。4/22/202254n假设检验采用的逻辑推理方法是反证法假设检验采用的逻辑推理方法是反证法 先假定原假设正确，然后根据样本信息，观察由此假设而导致的结果是否合理，从而判断是否接受原假设。n判断结果合理与否，是基于判断结果合理与否，是基于“小概率事件不易小概率事件不易发生发生”这一原理的这一原理的4/22/202255 2、变量的显著性检验、变量的显著性检验 ),(2211ixN)2(1112211ntSxti4/22/202256 检验步骤：检验步骤： （1）对总体参数提出假设 H0： 1=0， H1：10（2）

32、以原假设H0构造t统计量，并由样本计算其值11St （3）给定显著性水平，查t分布表得临界值t /2(n-2)4/22/202257 (4) 比较，判断 若 |t| t /2(n-2)，则拒绝H0 ，接受H1 ； 若 |t| t /2(n-2)，则拒绝H1 ，接受H0 ； 4/22/202258在上述收入消费支出例中，首先计算2的估计值 134022107425000777. 04590020222221222nxyneiii)2(0022200ntSxnXtii41.98742500010/53650000134022220iixnXS4/22/202259t统计量的计算结果分别为： 29.

33、180425. 0777. 0111St048. 141.9817.103000St 给定显著性水平=0.05，查t分布表得临界值 t 0.05/2(8)=2.306 |t1|2.306，说明家庭可支配收入在95%的置信度下显著，即是消费支出的主要解释变量； |t2|2.306,表明在95%的置信度下，无法拒绝截距项为零的假设。 4/22/202260 假设检验可以通过一次抽样的结果检验总体参数可能的假设值的范围（如是否为零），但它并没有指出在一次抽样中样本参数值到底离总体参数的真值有多“近”。 三、参数的置信区间三、参数的置信区间 4/22/2022611)(P 如果存在这样一个区间，称之为

34、置信区间置信区间（confidence interval）； 1-称为置信系数置信系数（置信度置信度）（confidence coefficient）， 称为显著性水平显著性水平（level of significance）；置信区间的端点称为置信限置信限（confidence limit）或临界值临界值（critical values）。4/22/202262一元线性模型中一元线性模型中， i (i=1，2）的置信区间的置信区间: :在变量的显著性检验中已经知道： )2(ntstiii 意味着，如果给定置信度（1-），从分布表中查得自由度为(n-2)的临界值，那么t值处在(-t/2, t/2

35、)的概率是(1- )。表示为： P ttt() 221即P tstiii() 221Ptstsiiiii()2214/22/202263于是得到:(1-)的置信度下, i的置信区间是 (,)iitstsii22在上述收入收入- -消费支出消费支出例中，如果给定 =0.01，查表得： 355. 3) 8 () 2(005. 02tnt由于042. 01S41.980S于是，1、0的置信区间分别为： （0.6345,0.9195) （-433.32,226.98） 4/22/202264n由于置信区间一定程度地给出了样本参数估计值与总体参数真值的“接近”程度，因此置信区间越小越好。n要缩小置信区间

36、，需要n（1）增大样本容量）增大样本容量n。因为在同样的置信水平下，n越大，t分布表中的临界值越小；同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；4/22/202265 （2）提高模型的拟合优度。）提高模型的拟合优度。因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型拟合优度越高，残差平方和应越小。 4/22/2022662.4 2.4 一元线性回归分析的应用：一元线性回归分析的应用： 预测问题预测问题 一、一、0 0是条件均值是条件均值E(Y|X=X0)或个值或个值Y0的一个无偏估计的一个无偏估计二、总体条件均值与个值预测值的置信二、总体条件均值与个值预测值的置信区间区间4/22/2

37、02267 对于一元线性回归模型 iiXY10给定样本以外的解释变量的观测值X0，可以得到被解释变量的预测值0 0 ，可以此作为其条件均条件均值值E(Y|X=X0)或个别值个别值Y0的一个近似估计。 严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计值，而不是预测值。原因: （1）参数估计量不确定； （2）随机项的影响说说 明明4/22/202268一、一、0 0是条件均值是条件均值E(Y|X=X0)或个值或个值Y0的一的一个无偏估计个无偏估计对总体回归函数总体回归函数E(Y|X=X0)=0+1X，X=X0时 E(Y|X=X0)=0+1X00100XY于是0101000100)()()()(XEXEXE

38、YE可见，可见，0是条件均值是条件均值E(Y|X=X0)的无偏估计。的无偏估计。4/22/202269对总体回归模型总体回归模型Y=0+1X+，当X=X0时0100XY于是0100100100)()()(XEXXEYE0101000100)()()()(XEXEXEYE4/22/202270二、总体条件均值与个值预测值的置信区二、总体条件均值与个值预测值的置信区间间 1、总体均值预测值的置信区间、总体均值预测值的置信区间 由于 0100XY),(2211ixN),(22200iixnXN于是0101000)()()(XEXEYE)(),(2)()(12010000VarXCovXVarYVar

39、可以证明 2210/),(ixXCov4/22/202271因此 222022022202)(iiiixXxXXxnXYVar200222222XXXXnXnXxii)(20222XXnxxii)(1(2202ixXXn故 )(1(,(22020100ixXXnXNY4/22/202272) 2()(00100ntSXYtY)(1(22020iYxXXnS于是，在1-的置信度下，总体均值总体均值E(Y|X0)的置的置信区间为信区间为 0202000)|(YYStYXYEStY其中4/22/2022732、总体个值预测值的预测区间、总体个值预测值的预测区间 由 Y0=0+1X0+ 知: ),(2

40、0100XNY于是 )(11 (, 0(220200ixXXnNYY) 2(0000ntSYYtYY式中 :)(11 (220200iYYxXXnS从而在1-的置信度下， Y0的置信区间的置信区间为 002020000YYYYStYYStY4/22/202274在上述收入收入消费支出消费支出例中，得到的样本回归函数为:iiXY777. 0172.103 则在 X0=1000处， 0 = 103.172+0.7771000=673.84 29.37277425000)21501000(10113402)(20YVar而05.61)(0YS4/22/202275 因此，总体均值总体均值E(Y|X=

41、1000)的95%的置信区间为： 673.84-2.30661.05 E(Y|X=1000) 673.84+2.30661.05或 （533.05, 814.62） 同样地，对于Y在X=1000的个体值个体值，其95%的置信区间为： 673.84 - 2.30661.05Yx=1000 673.84 + 2.30661.05或 (372.03, 975.65)4/22/202276 总体回归函数的置信带（域）置信带（域）（confidence band） 个体的置信带（域）置信带（域） 4/22/202277 对于Y的总体均值E(Y|X)与个体值的预测区间（置信区间）:（1）样本容量n越大，预

42、测精度越高，反之预测精度越低；（2）样本容量一定时，置信带的宽度当在X均值处最小，其附近进行预测（插值预测）精度越大；X越远离其均值，置信带越宽，预测可信度下降。4/22/2022782.5 2.5 实例：时间序列问题实例：时间序列问题 一、一、中国居民人均消费模型中国居民人均消费模型 二、时间序列问题二、时间序列问题 4/22/202279 一、中国居民人均消费模型一、中国居民人均消费模型 例例2.5.1 考察中国居民收入与消费支出的关系。GDPP： 人均国内生产总值人均国内生产总值（1990年不变价）CONSP：人均居民消费人均居民消费（以居民消费价格指数（1990=100）缩减）。4/2

43、2/202280 表表2.5.1 中中国国居居民民人人均均消消费费支支出出与与人人均均GDP（元元/人人） 年份 人均居民消费 CONSP 人均GDP GDPP 年份 人均居民消费 CONSP 人均GDP GDPP 1978 395.8 675.1 1990 797.1 1602.3 1979 437.0 716.9 1991 861.4 1727.2 1980 464.1 763.7 1992 966.6 1949.8 1981 501.9 792.4 1993 1048.6 2187.9 1982 533.5 851.1 1994 1108.7 2436.1 1983 572.8 931.

44、4 1995 1213.1 2663.7 1984 635.6 1059.2 1996 1322.8 2889.1 1985 716.0 1185.2 1997 1380.9 3111.9 1986 746.5 1269.6 1998 1460.6 3323.1 1987 788.3 1393.6 1999 1564.4 3529.3 1988 836.4 1527.0 2000 1690.8 3789.7 1989 779.7 1565.9 4/22/202281 1. 建立模型建立模型 拟建立如下一元回归模型 GDPPCCONSP采用Eviews软件软件进行回归分析的结果见下表 该两组数据

45、是19782000年的时间序列数据时间序列数据（time series data）； 前述收入收入消费支出例消费支出例中的数据是截面数据截面数据（cross-sectional data）。4/22/202282 表表2.5.2 中中国国居居民民人人均均消消费费支支出出对对人人均均GDP的的回回归归（19782000） LS / Dependent Variable is CONSP Sample: 1978 2000 Included observations: 23 V ariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 201.1071

46、14.88514 13.51060 0.0000 GDPP1 0.386187 0.007222 53.47182 0.0000 R-squared 0.992709 Mean dependent var 905.3331 Adjusted R-squared 0.992362 S.D. dependent var 380.6428 S.E. of regression 33.26711 Akaike info criterion 7.092079 Sum squared resid 23240.71 Schwarz criterion 7.190818 Log likelihood -112

47、.1945 F-statistic 2859.235 Durbin-W atson stat 0.550288 Prob(F-statistic) 0.000000 4/22/202283一般可写出如下回归分析结果： (13.51) (53.47) R2=0.9927 F=2859.23DW=0.5503 R2=0.9927T值：C：13.51， GDPP：53.47 临界值: t0.05/2(21)=2.08斜率项：00.38621，符合绝对收入假说 2. 模型检验模型检验 4/22/2022843. 预测预测 2001年：GDPP=4033.1（元）（1990年不变价） 点估计：CONSP

48、2001= 201.107 + 0.38624033.1 = 1758.7（元） 2001年实测实测的CONSP（1990年价）:1782.2元， 相对误差相对误差: -1.32%。 4/22/2022852001年人均居民消费的预测区间预测区间 人均GDP的样本均值样本均值与样本方差样本方差： E(GDPP) =1823.5 Var(GDPP) = 982.042=964410.4 在95%的置信度下，E(CONSP2001)的预测的预测区间区间为： )4 .964410) 123() 5 .18231 .4033(231(22371.23240306. 27 .17582 =1758.74

49、0.13或： （1718.6,1798.8） 4/22/202286 同样地，在95%的置信度下，CONSP2001的的预测区间预测区间为： )4 .964410) 123() 5 .18231 .4033(2311 (22371.23240306. 27 .17582 =1758.786.57或 （1672.1, 1845.3） 4/22/202287 二、时间序列问题二、时间序列问题 上述实例表明，时间序列完全可以进行类似于截面数据的回归分析。 然而，在时间序列回归分析中，有两个需注意的问题： 第一，关于抽样分布的理解问题。第一，关于抽样分布的理解问题。 能把表2.5.1中的数据理解为是从

50、某个总体中抽出的一个样本吗？4/22/202288 可决系数R2，考察被解释变量Y的变化中可由解释变量X的变化“解释解释”的部分。 这里“解释解释”能否换为“引起引起”?第二，关于第二，关于“伪回归问题伪回归问题”（spurious spurious regression problemregression problem）。）。4/22/202289 在现实经济问题中，对时间序列数据作回归，即使两个变量间没有任何的实际联系，也往往会得到较高的可决系数，尤其对于具有具有相同变化趋势（同时上升或下降）的变量相同变化趋势（同时上升或下降）的变量，更是如此。这种现象被称为“伪回归伪回归”或“虚假虚假