1集合论与实分析基础(数理经济学讲义-西安交大寿纪麟).pptx

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1、1 第第 章章 集集合合论论与与实实分分析析基基础础经经济济学学, ,简简单单的的讲讲, ,集集合合是是具具有有某某种种确确定定性性的的事事物物的的全全体体。21.1 xy11 2 2例例 ( (x x, ,y y) )| | 表表示示以以原原点点为为中中心心，半半径径为为 的的圆圆周周上上点点的的全全体体。1.2 例例 x x| |u u( (x x）= = 表表示示消消费费者者的的效效用用值值为为 的的商商品品组组合合212121 3 (y) = , xR| yAx x 1 1例例 . . ( (x x） 的的全全体体, ,即即为为一一条条效效用用值值为为 的的无无差差别别曲曲线线。集集合

2、合已已被被广广泛泛应应用用在在现现代代数数学学的的各各个个方方面面，尤尤其其是是应应用用在在1.4 Ca, bf(x)|f(x)a, b 例例 为为上上的的连连续续函函数数ABx |xA,xB 并并：或或ABx|xA,xB交交：且且A B x |xA,xB 差差： 但但cAx | xA 余余： 集集合合的的运运算算规规则则：ABBAABBA;交交换换律律： ，ABCABCABCAC结结合合律律：（）（）, , （）（B B）; ;ABCACBCABCACBC分配律： (）（）（）,分配律： (）（）（）, （）（）（）;（）（）（）;ABABBABA,A, ABAA; 吸吸收收律律； 若若，则

3、则 ； ，1.5ABCACBC例例 求求证证（）（）（）。 xABC xAB xC证证（），则则且且 ，xA xBxC从从而而， 或或 ，且且 ，xA xC xB xC这这就就是是说说，且且 ， 或或 ， 且且 ，xACBC 即即 （）（），ABCACBC 所所以以 （）（）（）。 xACBC另另一一方方面面， （）（），xAC xBC 则则 ， 或或 。xC xA xBxABC 从从而而, , 且且 或或 ，即即 （）， ACBCABC （）（）（）。 ACBCABC因因此此 （）（）（）。DeMorgen原原理理的的证证明明。(1) x (Ax AxA C C) )，CCC xAx A ,

4、 (AA C C，) )CCx AxAxA 另另一一方方面面， ，C x Ax (A, A (ACCCC)C (AA C C) )CA BAB ; 转转换换律律: : DeMorgen对对偶偶原原理理；（原原理理）CC(1) (AA(2) (AAC CC C) ), ,) ) 。212（ ）由由（ ）可可以以证证（ ）。CCC(A(A)A, C C因因 为为 ) ) CAA C C所所 以以 ( () ) 。1.82例例 0 0, , 可可以以被被区区间间族族：CC CAA BAA BAA证证 （ ）（）（）CCAABAAAB（）（）（）ABAB （） 实实分分析析基基础础 有有理理数数是是指

5、指一一切切形形如如p p/ /q q 的的数数，其其中中 p p, ,q q0 0 均均为为整整数数， Q = x|x=p/q , p,q = x|x=p/q , p,q为为整整数数，q0q01.1命命题题 有有理理数数集集是是稠稠密密的的。 xyQxy, xy zQ , zxy 即即对对、，必必使使 （ 、 ）。1.2命命题题 有有理理数数集集对对四四则则运运算算法法则则是是封封闭闭的的。但但是是有有理理数数对对极极限限运运算算不不是是封封闭闭的的，换换句句话话说说有有理理数数集集是是不不完完备备的的。定定义义 若若满满足足下下列列条条件件：(Q)有有理理数数集集 1122nn(1) a ,

6、ba ,b.a ,b. nnnnn (2) a ,bba0 闭闭区区间间的的长长度度数数列列，则则称称这这个个闭闭区区间间列列为为一一个个闭闭区区间间套套。1.1ntor 定定理理 Co Co闭闭区区间间套套定定理理。（当当作作公公理理承承认认） nna ,b 设设为为任任意意一一个个闭闭区区间间套套，则则必必存存在在唯唯一一的的实实数数 ， nnnnn 1a ,bn=12.,m,. a ,b 使使 ， ，即即，且且nn lim a = lim b 1.2zanoWeierstrass ) 定定理理 （BolBol定定理理 任任何何有有界界数数列列必必有有收收敛敛子子列列。 nn x a, b

7、, a x 0NmnN，当当，时时，有有nm xa/2, xa/2 kk axb , k=1,2,3,.k kn n所所以以 nnnnnnn lim(ba )0 , limalimb - - kknnnk x xlimx 因因为为为为的的子子列列，故故。 n xmn n=1n=1定定义义设设为为一一个个数数列列，若若当当，时时, ,nmnmxx0, 0 N , m n N |xx | 有有 - - 即即 ，当当 ，时时, ,有有- - N A=max xxx,1 11 12 2+ +1 1令令, , ,. . . ., , nnA1xAx 因因此此，为为的的上上界界，- -（ 1 1）为为的的

8、下下界界。nxA+1, n即即 nnn 1.2 xx x k k由由定定理理在在中中必必存存在在子子列列，使使knxa k k nn limx 现现在在来来证证明明a anmnmnm xxxaax|xa|+|xa| n xCauchy即即为为数数列列。 nn xCauchyx（） 设设为为列列，首首先先我我们们来来证证为为有有界界数数列列。11nm1 NmnN|xx | 1事事实实上上，取取 ，当当，时时，11nmmN1, nN, |xx | 1取取当当时时kn 0, K, kK xa/2 事事实实上上，当当 时时，有有 。 n11 xCauchy NkN由由设设为为数数列列，故故, ,当当

9、时时，k1nkN因因而而 时时，故故有有kkn |xx|/ 2 1Nmax K,NkN 当当 时时，则则当当 时时，kkkn |xa|xxxa/2/2 k kn n1.4 定定理理 （单单调调收收敛敛定定理理）单单调调有有界界数数列列必必收收敛敛。 nx 证证 不不妨妨设设为为单单调调增增上上有有界界数数列列， nxN 0 0反反证证法法 若若不不收收敛敛，则则必必存存在在 ，使使对对任任意意得得正正整整数数 ，nmmn N|xx | 0 0 必必有有，使使，所所以以111nmNmn1 , |xx| 1010当当 1 1时时，必必有有时时 使使 ，2221nm Nm+1mnm1x 2 20 0

10、当当 时时，必必有有，使使 x x ， . 如如此此继继续续下下去去，可可得得到到12knmnm.nm.12k12kkknm |xx| , k=1,2,. 0 0使使 mnmn0 xxxxx kkkkkkkkn n因因为为单单调调增增，所所以以 |- | = - |- | = - mn0m0n0n0 x xxx2 .xk k kk kk k- -1 1k k- -1 11 1mlimx, k kk k 故故 nx1.4这这与与为为有有界界数数列列得得假假设设矛矛盾盾，定定理理得得证证。AMA定义:设 为一个数集，若为 的一个上界，且对定义:设 为一个数集，若为 的一个上界，且对0, Axx M

11、 MA 任意必存在 中的 ，使 - ,则称为 的上确界，任意必存在 中的 ，使 - ,则称为 的上确界，MsupA记记为为 xxm, mminfA 的的 ，使使则则称称为为A A的的下下确确界界，记记为为 。通通俗俗的的说说，数数集集A A的的上上确确界界是是A A的的最最小小上上界界；MsupA MAA 注注意意：设设，则则可可能能属属于于 ；也也可可能能不不属属于于。 A a bM supA bA 例例如如 设设 = = , , , , 则则 = = = = ； Aa,b), M supA bA 若若 设设 则则 = = = = 。 ( )m+ mxm=infAA 数数集集A A的的下下确

12、确界界是是A A的的最最大大下下界界。 AMMA?思思考考题题：若若 的的上上确确界界，问问是是否否一一定定属属于于m0A 同同理理，若若为为A A的的一一个个下下界界，若若对对任任意意，必必存存在在 中中 ( )M MM=supAAx1.5 定定理理（确确界界存存在在定定理理） 上上有有界界的的数数集集必必有有上上确确界界； 下下有有界界的的数数集集必必有有下下确确界界。0 r证证 设设A A为为有有上上界界的的数数集集，取取最最小小的的整整数数上上界界为为2将将每每个个单单位位区区间间二二等等分分，在在以以 为为分分母母的的有有理理数数中中取取221r 22最最小小的的上上界界为为；再再将

13、将每每个个单单位位区区间间等等分分，在在以以为为分分母母22r2的的有有理理数数中中取取最最小小的的上上界界为为 ，在在以以为为分分母母的的有有理理数数中中2r取取最最小小的的上上界界为为 ；.nr的的有有理理数数中中取取最最小小的的上上界界为为 ，显显然然，01nrr.r.nn22以以此此类类推推，再再将将每每个个单单位位区区间间等等分分，在在以以为为分分母母n r1.4xn n 为为单单调调降降的的有有界界数数列列，由由定定理理，数数列列收收敛敛，nnlimxM, MA 设设 现现来来验验证证即即为为 的的上上确确界界。n (1) MAr显显然然是是 的的一一个个上上界界.(.(因因为为

14、都都是是A A的的上上界界）；(2) 0 xAx M- ，必必存存在在，使使 。 M ,MA反反证证法法，若若不不然然，在在（）中中不不存存在在 中中的的数数，2n2r但但由由有有理理数数的的稠稠密密性性，必必存存在在以以为为分分母母的的有有理理数数 ，nn rrMnrM 这这与与的的关关系系相相矛矛盾盾，定定理理得得证证。 ab|I 定定义义设设，为为闭闭区区间间，为为一一个个开开区区间间族族，I 其其中中都都是是开开区区间间，指指标标集集 可可以以是是有有限限的的，也也可可以以是是无无限限集集。nrMMA使使 （ ，），且且也也是是 的的上上界界， 证证令令 Ax*|x*a,b ,ax*

15、且且，能能被被 中中有有限限个个开开区区间间覆覆盖盖aA A 则则 ，。A1.5A另另一一方方面面 是是一一个个有有界界集集，由由定定理理， 有有上上确确界界， abx 若若，中中每每一一点点 ，必必含含于于开开区区间间族族 的的某某一一区区间间 abab中中，则则称称区区间间，被被 所所覆覆盖盖，或或 覆覆盖盖了了区区间间，。1.6 HeineBorel定定理理（有有限限覆覆盖盖定定理理） ab|I 若若闭闭区区间间，被被一一个个开开区区间间族族 覆覆盖盖，则则必必能能 从从 中中选选出出有有限限个个开开区区间间族族： B abBab 使使 覆覆盖盖 ， , ,称称 为为 的的对对 ， 有有

16、限限子子覆覆盖盖。 iiB|i1 2 .,n ， ， c sup Acbcab令令 = = ，显显然然，从从而而，c 设设 中中取取一一个个开开区区间间含含有有 ，令令此此开开区区间间为为（ ， ），c 则则 x*A, x*c 于于是是由由上上确确界界的的定定义义知知，使使。cA 从从而而 。 cb 最最后后要要证证明明。c b, Ax*A 反反证证法法，若若，则则在在（）中中还还必必存存在在 中中的的 ，cAcb这这与与 是是 的的上上确确界界相相矛矛盾盾。故故 。HeineBorel1.1利利用用定定理理可可以以证证明明定定理理。1.1 ontor定定理理（C C闭闭区区间间套套定定理理）

17、 n nn n证证 设设a a , ,b b为为任任一一闭闭区区间间套套，要要证证明明至至少少存存在在 nnnnn1n1a ,b a ,b 一一个个 ，即即 。 nnnnn1 a ,ba ,b 反反证证法法 若若，不不妨妨设设所所有有的的 nnn1, a ,b 由由对对偶偶原原理理的的余余集集为为 nnnnn1n=1a ,ba ,bRa,b c c c c nnnna ,b,abc c其其中中 （- -）（,+,+ ）是是两两个个开开区区间间之之并并abiiii c cnnnn由由有有限限覆覆盖盖定定理理，必必存存在在有有限限个个,使使 m ci=1aba,b i ii in nn n , ,

18、iii0mnnni=1,a, a, a而而有有限限个个（- -）的的并并： （- -）（- -）iii0mnnni=1bbb有有限限个个（,+,+ ）的的并并： （,+,+ ）（,+,+ ） ii00nn, aba,b而而（- -）（,+,+ ）是是不不可可能能覆覆盖盖的的。 iiii0000nnnn a ,b a,b ,a ,b 因因为为（）（）中中的的点点是是不不能能所所覆覆盖盖的的nnnnlimalimb 由由已已知知条条件件知知 1212nnn=1 a ,b ，使使 最最后后我我们们要要证证明明， 是是唯唯一一的的。nnn=1 a ,b 121212121212若若有有两两个个 ， ，

19、使使 ，不不妨妨设设 ，nnabn=1 2 .) 1212则则 , , （， ，思思考考题题： a,b有有限限覆覆盖盖定定理理中中，为为闭闭区区间间，若若把把它它改改为为 开开区区间间 a,b ,a,b ,定定理理1 1是是否否必必成成立立? ?1.71例例 (0 (0， 能能被被开开区区间间：nn1 31 31 313.,. 2 24 48 822( ( ，),(),( ，),(),( ，) )， ( (， ),),所所覆覆盖盖，1但但却却不不能能从从中中选选出出有有限限个个来来覆覆盖盖(0(0， 。1.82例例 0, 0, 可可以以被被区区间间族族：11 22 3n1n.,222 33 4

20、nn1 0, ),0, ), ，),), ，), ), ，) )及及1, 1, 所所覆覆盖盖，2也也不不能能从从中中选选出出有有限限个个来来覆覆盖盖0, 0, 。 开开集集、闭闭集集及及其其性性质质 aa, 定定义义 设设E E为为R R上上任任意意点点集集， 为为直直线线上上一一点点，若若， ,aaa 则则称称为为 的的一一个个邻邻域域；若若E E，存存在在 的的一一个个邻邻域域 Ea ，则则称称 为为E E中中的的一一个个内内点点。a 若若 E,a E,a都都是是E E的的内内点点，则则称称E E为为一一个个开开集集。1.7定定理理 R R上上的的开开集集全全体体满满足足下下列列性性质质：

21、(1) (1) 空空集集与与直直线线R R都都是是开开集集；（2 2）任任意意个个开开集集之之并并是是开开集集; ;（3 3）有有限限个个开开集集之之交交是是开开集集。1证证 （ ）显显然然; ; IG |IGG（2 2）设设为为一一族族开开集集，令令 ，0G=GG , xG I , 若若，则则 为为空空集集；若若， Gx2所所以以x x也也为为 的的内内点点，由由 的的任任意意性性, ,（ ）得得证证。 00 xG x,GG 使使，的的一一个个邻邻域域，niG G ,.,GRGG 1 12 2n ni i1 1（3 3）设设, ,为为 上上的的几几个个开开集集，令令 ，niG , xGxGi

22、1 2 .,n i i1 1设设，则则 , , ， ， iiiii i,Gx, i1 2 .,n 对对任任意意 ，使使 ， ， iiiii maxmin ,G iiii取取 ， ，则则， nii x,G 1 1 注注意意，无无限限多多个个开开集集之之交交不不一一定定是是开开集集。n1 11.9 G n1 2 ., n n例例 （- -，）, , ， 则则 nn GG0 1 1 为为一一个个单单点点零零，它它不不是是开开集集。 aaa 定定义义 设设ERER，R R若若对对 的的任任一一邻邻域域，Eaa必必存存在在 中中不不同同于于 的的点点，则则称称 为为E E的的一一个个极极限限点点（或或聚

23、聚点点）。 若若用用数数学学符符号号表表达达，则则为为： ,a,E aaE ， ，则则称称 为为 的的聚聚点点。, 一一个个点点集集可可以以有有极极限限点点，也也可可能能没没有有极极限限点点 但但是是任任何何有有限限点点集集都都没没有有极极限限点点。11,.,. ,E0 ,3n1 1设设 E E 1 1，则则 有有一一个个极极限限点点为为2 2E但但是是,0,0不不属属于于 。 (1) ER 定定义义设设，由由E E的的所所有有极极限限点点组组成成的的集集合合，称称为为E E的的导导集集 记记成成 E E；(2) EE EE称称为为 的的闭闭包包，记记为为 E E ； (3) EERc c若若

24、 的的余余集集E E 为为开开集集，称称 为为 中中的的闭闭集集。1.8 EE 定定理理非非空空集集合合E E为为闭闭集集。 EEE证证明明（）反反证证法法 设设 为为闭闭集集，而而 ，则则cxExExEc c必必存存在在，且且，即即 ，因因为为E E 是是开开集集，则则 c x ,E,E 的的邻邻域域, , 使使，即即 ，xE 这这与与 的的断断言言矛矛盾盾，得得证证。 EE c cc cc c（）设设 E E ，则则 E E，下下面面要要证证 E E 是是开开集集。 c xEExEx, c c事事实实上上，因因而而的的邻邻域域， ,E x,E xE 使使，则则 （因因为为） cc ,E E

25、E ， 故故开开集集闭闭集集。 1.9 ER, EEE 定定理理设设为为闭闭集集。E1.8 EE 证证（）设设 为为闭闭集集，由由定定理理，得得， EE EE E E EE ，而而 ， 故故。 EE EEEE （）设设 ， ，由由定定理理8 8，得得E为为闭闭集集。1.10R定定理理 中中闭闭集集的的全全体体满满足足下下列列性性质质：R（1 1） 和和是是闭闭集集；（2 2） 任任意意个个闭闭集集之之交交是是闭闭集集；（3 3） 有有限限个个闭闭集集之之并并是是闭闭集集。 1 证证 （ ）显显然然。2eorgen（ ）利利用用D D M M对对偶偶原原理理及及开开集集的的性性质质， IIF |

26、IFFc cc c设设 为为一一族族闭闭集集， 为为开开集集，I F 为为闭闭集集。 3（ ）类类似似(2)(2)可可证证。0 ERfER xE定定义义 设设， 为为的的函函数数。，若若对对0n0nxlim f(x ) f(x )f n n任任意意的的 x x 都都有有 ，则则称称 在在0 x点点处处连连续续。 f xEf E若若在在 中中的的每每一一点点都都连连续续，则则称称 在在 上上的的连连续续函函数数。0 xE0 , 0 , 若若用用数数学学符符号号表表达达，则则为为：， xE |xx | f xf x 当当 ，。时时，均均有有 | |- -。 | |1.11Ff 定定理理 设设R R

27、为为有有界界闭闭集集（称称为为紧紧集集）， 为为定定义义FfF在在 上上的的连连续续函函数数，则则 在在 上上必必能能 取取到到它它的的最最大大和和最最小小值值。 f xF证证 先先证证明明 在在 上上为为上上有有界界的的。F n n反反证证法法，若若不不然然, ,则则必必存存在在点点到到x x ，使使nf() n n x xBolzanoWeierstrassn n由由于于x x 是是有有界界的的，由由定定理理，必必存存在在0 xf kkkknnnnnn一一个个收收敛敛子子序序列列 x x ,x x ,使使xFxF，由由 的的连连续续性性, , 0klimf()f xk kn n有有 x x

28、nnlimf(x ) f (x)F 这这与与 相相矛矛盾盾。故故在在 上上为为上上有有界界。x FFf (x)Msupf(x) 因因而而， 上上的的必必有有上上确确界界，令令 ，iii 1x Ff ()M i i则则必必存存在在 ，使使 x x，ii 1i x x k ki i对对 ，必必存存在在它它的的收收敛敛子子序序列列，x x ，使使k0 xF k ki ix x ki00k limf xf xMf x，即即 在在处处取取得得最最大大值值。f F同同理理可可证证, , 在在 上上可可以以取取得得最最小小值值。 龚龚怀怀云云，寿寿纪纪麟麟，王王绵绵森森，应应用用泛泛函函分分析析， 西西安安交交通通大大学学出出版版社社, 1982, 1982