2022年中考相似三角形经典综合题解析.pdf

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1、学习好资料欢迎下载中考相似三角形经典综合题解析1、 （2013 哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点0 为坐标原点， A点的坐标为(3 ，0)，以 0A为边作等边三角形OAB ，点 B在第一象限，过点B作 AB的垂线交x 轴于点 C 动点 P从 0 点出发沿 0C向 C点运动，动点 Q从 B点出发沿 BA向 A点运动， P,Q两点同时出发，速度均为1 个单位秒。设运动时间为t 秒 (1)求线段 BC的长； (2)连接 PQ交线段 OB于点 E，过点 E作 x 轴的平行线交线段BC于点 F。设线段 EF的长为 m ，求 m与 t 之间的函数关系式，并直接写出自变量t 的取值范围： (3)在(2)

2、 的条件下，将 BEF绕点 B 逆时针旋转得到 BE1F1, 使点 E 的对应点 E1落在线段 AB上，点 F的对应点是 F1，E1F1交 x 轴于点 G ，连接 PF、QG ，当 t为何值时， 2BQ-PF= 33QG? (1) 解：如图 l AOB 为等边三角形BAC= AOB=60 。BC AB ABC=900ACB=300OBC=300ACB= OBC CO=OB=AB=OA=3 AC=6 BC=32AC= 3 3(2) 解：如图 l 过点 Q作 QN 0B交 x 轴于点 N QNA= BOA=600=QAN QN=QA AQN 为等边三角形NQ=NA=AQ=3-t NON=3- (3

3、-t)=t PN=t+t=2t OE QN POE PNQ OEPOQNPN132OEt3122OEtEF x 轴BFE= BCO= FBE=300EF=BE m=BE=OB-OE1322t精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载(0t3) (3) 解：如图 2 11180120BE FBEFEBFEFBAEG=600= EAG GE1=GA AE G 为等边三角形1113312222QEBEBQmtttt111131

4、22QEGAAEABBEBQtQEl= 2 3=4 l+ 2+3+4=18002+3=900即QGA=900EF OC BFBEBCBO33 333223 3BFmBFmt313322BCCF3CPCOOPt313332263 3tCFtCPCBCAFCP= BCA FCP BCA 32PFCPtPFABCA 2BQ PF=33QG 33312(33 )2322tttt=1当 t=1 时，2BQ PF=33QG 2、 （2013?天津）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0） ，点 B（0，4） ，点E 在 OB 上，且 OAE=0BA（）如图 ，求点 E 的坐标；（）如图 ，将 AEO 沿 x

5、 轴向右平移得到 A E O ，连接 A B、BE 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载 设 AA =m，其中 0m2，试用含 m 的式子表示 A B2+BE2，并求出使A B2+BE2取得最小值时点 E 的坐标； 当 A B+BE 取得最小值时，求点E 的坐标（直接写出结果即可） 解： （）如图 ，点 A（2，0） ，点 B（0，4） ，OA=2，OB=4OAE=0BA，EOA=AOB=90 ，OAEOBA，=，

6、即=，解得， OE=1，点 E 的坐标为（ 0，1） ；（） 如图 ，连接 EE 由题设知 AA =m（0m2） ，则 A O=2m在 RtA BO 中，由 A B2=A O2+BO2，得 A B2=（2m）2+42=m24m+20A E O 是AEO 沿 x 轴向右平移得到的，EE AA ，且 EE =AA BEE =90 ，EE =m又 BE=OBOE=3，在 RtBE E 中，BE2=E E2+BE2=m2+9，A B2+BE2=2m24m+29=2（m1）2+27当 m=1 时，A B2+BE2可以取得最小值，此时，点E 的坐标是（ 1，1） 如图 ，过点 A 作 AB x，并使 AB

7、 =BE=3易证 AB A EBE ，B A=BE ，A B+BE =A B+B A 当点 B、A 、B 在同一条直线上时， A B+BA 最小，即此时 A B+BE 取得最小值易证 AB A OBA ，= ，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载AA = 2= ，EE =AA = ，点 E 的坐标是（，1） 3、 （2013?淮安压轴题）如图，在ABC 中， C=90 ，BC=3，AB=5点 P 从点 B 出发，以

8、每秒 1 个单位长度沿 BCAB 的方向运动；点 Q 从点 C 出发，以每秒 2 个单位沿 CAB 方向的运动，到达点B 后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为 秒（1）当 =7时，点 P与点 Q 相遇；（2） 在点 P 从点 B 到点 C 的运动过程中，当 为何值时，PCQ 为等腰三角形？（3）在点 Q 从点 B 返回点 A 的运动过程中，设 PCQ的面积为 s平方单位 求 s与 之间的函数关系式； 当 s最大时，过点 P 作直线交 AB 于点 D，将 ABC 中沿直线 PD 折叠，使点 A 落在直线 PC上，求折叠后的 APD 与PCQ重叠部分的面积：解： （1

9、）在直角 ABC 中，AC=4，则 Q 从 C 到 B 经过的路程是 9，需要的时间是 4.5 秒此时 P 运动的路程是 4.5，P 和 Q 之间的距离是： 3+4+54.5=7.5根据题意得：（t4.5）+2（t4.5）=7.5，解得： t=7精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（2）Q 从 C 到 A 的时间是 3 秒，P从 A 到 C 的时间是 3 秒则当 0 t 2 时，若 PCQ 为等腰三角形，则一定有：

10、PC=CQ，即 3t=2t，解得： t=1当 2t 3 时，若 PCQ 为等腰三角形，则一定有PQ=PC（如图 1） 则 Q在 PC的中垂线上，作QHAC，则 QH=PCAQHABC，在直角 AQH 中，AQ=2t4，则 QH=AQ=PC=BCBP=3t，（2t4）=3t，解得： t=；（3） 在点 Q 从点 B 返回点 A 的运动过程中，P 一定在 AC 上， 则 PC=t3，BQ=2t9，即 AQ=5（2t9）=142t同（2）可得： PCQ 中，PC 边上的高是：（142t） ，故 s= （2t9） （142t）= （t2+10t2） 故当 t=5 时，s 有最大值，此时， P 在 AC

11、 的中点 （如图 2） 沿直线 PD 折叠，使点 A 落在直线 PC上，PD 一定是 AC 的中垂线则 AP= AC=2，PD= BC= ，则 SAPD= AP?PD= 2= AQ=142t=142 5=4则 PC边上的高是：AQ= 4=则 SPCQ= PC?= 2=故答案是： 7精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载4、 如图， 点 A 是ABC 和ADE 的公共顶点，BACDAE180 ， ABk AE，ACk

12、AD，点 M 是 DE 的中点，直线 AM 交直线 BC 于点 N（1）探究 ANB与BAE 的关系，并加以证明（2）若 ADE 绕点 A 旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中（1）的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化， 请画出变化后的一个图形，并证明变化后ANB 与BAE 的关系解： （1）ANB+BAE=180 证明： （法一）如图，延长AN 到 F，使 MF=AM ，连接 DF、EF点 M 是 DE 的中点，DM=ME，四边形 ADFE 是平行四边形ADEF，AD=EF DAE+AEF=180 BAC+DAE=180 BAC=AEF AB=kAE ，

13、AC=kAD AB AE =AC AD AB AE =AC EF ABCEAF B=EAF ABCEMDN精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载ANB+B+BAF=180 ANB+EAF+BAF=180 即ANB+BAE=180 （法二）如图，延长DA 到 F，使 AF=AD，连接 EFBAC+DAE=180 ，DAE+EAF=180 BAC=EAF AB=kAE ，AC=kAD AB AE =AC AD AB AE

14、 =AC AF ABCAEF B=AEF 点 M 是 DE 的中点DM=ME， 又AF=AD AM 是DEF 的中位线AMEF NAE=AEF B=NAE ANB+B+BAN=180 ANB+NAE+BAN=180 即ANB+BAE=180 （2）变化如图， ANB=BAE选取（），如图证明：延长 AM 到 F，使 MF=AM ，连接 DF、EF点 M 是 DE 的中点DM=ME 四边形 ADFE 是平行四边形ADFE，AD=EF DAE+AEF=180 BAC+DAE=180 BAC=AEF AB=kAE ，AC=kAD ，k=1 AB=AE，AC=AD AC=EF ABCEAF B=EAF

15、 ANB+B+BAF=180 ANB+EAF+BAF=180 即ANB+BAE=180 选取（），如图证明： AB=AC B=1/ 2 （180 -BAC）BAC+DAE=180 DAE=180 -BAC B=1/ 2 DAE AB=kAE ，AC=kAD AE=AD 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载AM 是ADE 的中线， AB=AC EAM=1 /2 DAE B=EAM ANB+B+BAM=180 ANB+

16、EAM+BAM=180 即ANB+BAE=180 点评：本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，三角形5.如图，已知一个三角形纸片ABC， BC边的长为 8， BC 边上的高为 6 ，B和C 都为锐角， M 为 AB 一动点（点 M 与点 AB、不重合） ， 过点 M 作 MNBC，交 AC 于点 N ，在AMN中，设 MN 的长为x， MN 上的高为 h（1）请你用含x的代数式表示 h（2）将AMN沿 MN 折叠，使AMN落在四边形 BCNM 所在平面，设点 A落在平面的点为1A，1A MN与四边形 BCNM 重叠部分的面积为y， 当x为何值时，y最大，最大值为多少？【答案】解：（1）MNB

17、CAMNABC68hx34xh（2）1AMNA MN1A MN的边 MN 上的高为 h，当点1A落在四边形 BCNM 内或 BC 边上时，1A MNyS=211332248MN hxxx（04x）当1A落在四边形 BCNM 外时，如下图(48)x，设1A EF的边 EF 上的高为1h，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载则132662hhx11EFMNA EFA MN11A MNABCA EFABC1216A EF

18、ShSABC168242ABCS2236322 41 22 462EFxSxx1 A1122233912241224828A MNA EFySSxxxxx所以291224(48)8yxxx综上所述：当 04x时，238yx，取4x，6y最大当 48x时，2912248yxx，取163x，8y最大86当163x时，y最大，8y最大6. 已知正方形 ABCD 中，E为对角线 BD上一点，过 E点作 EF BD交 BC于 F，连接 DF ，G为 DF中点，连接 EG ，CG （1）求证： EG =CG ；M N C B E F A A1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - -

19、 - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转 45o，如图所示，取DF中点G，连接 EG ，CG 问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）将图中 BEF绕 B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（ 1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？解：（1） 证明： 在 RtFCD 中， G 为 DF 的中点， CG= FD 1分同 理 ， 在Rt DEF中 ，EG= FD 2分CG=EG 3 分

20、（2）解： （1）证明：在 RtFCD 中，G 为 DF 的中点， CG= FD 同理，在 RtDEF 中， EG= FD CG=EG （2） （1）中结论仍然成立，即EG=CG 证法一：连接 AG，过 G 点作 MNAD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点在DAG 与DCG 中， AD=CD ，ADG= CDG，DG=DG， DAGDCG AG=CG 在DMG 与FNG 中， DGM=FGN，FG=DG ，MDG=NFG， DMGFNG MG=NG 在矩形 AENM 中，AM=EN 在 RtAMG 与 RtENG 中， AM=EN， MG=NG ， AMGENG AG=EG EG=CG

21、证法二：延长 CG 至 M,使 MG=CG， 连接 MF，ME，EC，在DCG 与FMG 中，FG=DG ，MGF= CGD，MG=CG，DCG FMGMF=CD ，FMGDCGMF CD AB 在 RtMFE 与 RtCBE 中，D F B A C E 图F B A D C E G 图F B A D C E G 图精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载 MF=CB，EF=BE ，MFE CBEMECMEF FEC

22、CEBCEF90 MEC 为直角三角形 MG = CG ， EG= MC （3） （1）中的结论仍然成立，即 EG=CG 其他的结论还有 :EGCG7如图，抛物线经过(4 0)(1 0)(02)ABC，三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作 PMx轴，垂足为 M，是否存在 P 点，使得以 A，P，M 为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】解： （ 1）该抛物线过点(02)C，可设该抛物线的解析式为22yaxbx将(4 0)A，(1 0)B，代入，得1642020abab.，解得1252ab.，此抛物线的解析式为

23、215222yxx精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（2）存在如图，设 P 点的横坐标为m，则P点的纵坐标为215222mm，当14m时，4AMm，215222PMmm又90COAPMA，当21AMAOPMOC时，APMACO，即21542222mmm解得1224mm，（舍去） ，(2 1)P，当12AMOCPMOA时，APMCAO，即2152(4)222mmm解得14m，25m（均不合题意，舍去）当14m时，

24、(2 1)P，类似地可求出当4m时，(52)P，当1m时，(314)P，综上所述，符合条件的点P为(2 1)，或(52)，或(314)，8.如图，在 Rt ABC 中，ACB= 090,AC=6,BC=8,点 D 在边 AB 上运动， DE平分 CDB 交边 BC 于点 E，EMBD垂足为 M，ENCD垂足为 N。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（1） 当 AD=CD 时，求证： DEAC；（2） 探究： A

25、D 为何值时， BME 与CNE 相似？（3） 探究： AD 为何值时，四边形MEND 与BDE 的面积相等？（1）证明：ADCDDACDCA2BDCDAC 1分又DE 是BDC 的平分线BDC=2BDEDAC=BDE 2分DEAC 3分（2）解： （）当BMECNE时，得MBENCEBD=DCDE 平分 BDC DEBC，BE=EC.又ACB=90 DEAC. 4 分BEBDBCAB即2211522BDABACBCAD=5 5 分（）当BMEENC时，得EBMCENENBD又ENCD BDCD 即 CD 是ABC斜边上的高 6 分由三角形面积公式得ABCD=ACBCCD=24522185AD

26、ACCD 7 分综上，当 AD=5 或185时， BME 与CNE 相似. （3）由角平分线性质易得12MDEDENSSDM MEBDEMENDSS四边形12BD EMDM EM即12DMBD 8 分EM 是 BD 的垂直平分线 . 第 24 题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 13 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载EDB=DBE EDB=CDE DBE=CDE又 DCE=BCD CDECBD 9 分CDCEDEBCCDBD 10 分2CDBEBE

27、BCBDBM即4BECDBM45cos4554BMBCDBE 11分由式得2258CDCEBC3943939cos85810BEBMBEB39112102105ADABBM9如图，已知直线128:33lyx与直线2:216lyx相交于点Cll12， 、分别交x轴于 AB、两点矩形 DEFG 的顶点 DE、分别在直线12ll、上，顶点 FG、都在x轴上，且点 G 与点 B重合（1）求ABC的面积；（2）求矩形 DEFG 的边 DE 与 EF 的长；（3）若矩形 DEFG 从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1 个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)tt秒，矩形 DEFG 与ABC重叠部分的面积

28、为 S，求 S关于 t的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围【答案】 （1）解：由28033x，得4xA点坐标为4 0， 由2160 x， 得8xB点坐标为 80， A D B E O C F x y1ly 2l（G）第 24 题精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 14 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载8412AB由2833216yxyx，解得56xy， C 点的坐标为56， 111263622ABCCSAB y（2）解：点 D 在1l上且2888

29、833DBDxxy，D点坐标为 8 8，又点 E 在2l上且821684EDEEyyxx，E点坐标为4 8，8448OEEF，（3）解法一：当03t时，如图1，矩形 DEFG 与ABC重叠部分为五边形 CHFGR （0t时，为四边形CHFG ） 过 C 作 CMAB 于 M ，则RtRtRGBCMBBGRGBMCM，即36tRG，2RGtRtRtAFHAMC，11236288223ABCBRGAFHSSSStttt即241644333SttA D B E O R F x y1l2lM （图 3）G C A D B E O C F x y1l2lG （图 1）R M A D B E O C F

30、x y1l2lG （图 2）R M 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 15 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载当83t时，如图 2，为梯形面积， G（8t,0）GR=32838)8(32tt, 3803832838)4(32 421ttts当128t时，如图 3,为三角形面积，4883)12)(328(212tttts10如图，矩形 ABCD 中，3AD厘米， ABa厘米（3a） 动点 MN，同时从 B 点出发，分别沿 BA， BC运动，速度是 1厘

31、米秒过 M 作直线垂直于AB，分别交 AN ， CD 于PQ，当点 N 到达终点 C 时，点M也随之停止运动设运动时间为 t 秒（1）若4a厘米，1t秒，则 PM_厘米；（2）若5a厘米，求时间 t，使PNBPAD，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在， 求a的值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）34PM，（2）2t，使PNBPAD，相似比为 3: 2（3）PMABCBABAMPABC，AMPABC，P

32、MAMBNAB即()PMatt atPMtaa，(1)3t aQMa当梯形 PMBN 与梯形PQDA的面积相等，即()()22QPAD DQMPBN BM()33 (1)()22t attaatt taa化简得66ata，D Q C P N B M A D Q C P N B M A 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 16 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载E A D B C N M 3t ，636aa，则636aa ，（4）36a时梯形 PMBN

33、与梯形PQDA的面积相等梯形PQCN的面积与梯形 PMBN 的面积相等即可，则CNPM()3tatta，把66ata代入，解之得2 3a，所以2 3a所以，存在a，当2 3a时梯形 PMBN 与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积相等11. 如图，四边形 ABCD 是正方形， ABE是等边三角形， M为对角线 BD （不含 B点）上任意一点，将BM绕点 B逆时针旋转 60得到 BN ，连接 EN 、AM 、CM. 求证： AMB ENB ； 当 M点在何处时， AM CM 的值最小；当 M点在何处时， AM BM CM的值最小，并说明理由； 当 AM BM CM的最小值为13时，求正方形的边

34、长 . 解： ABE 是等边三角形BABE，ABE60 . MBN60MBNABN ABEABN. 即BMANBE. 又MBNB AMBENB（SAS）当 M 点落在 BD 的中点时， AMCM 的值最小连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AMBMCM 的值最小理由如下：连接 MN.由知， AMBENB AMEN. MBN60 ，MBNB BMN 是等边三角形 . BMMN. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 17 页，共 25 页 - - - - - - - - - -

35、 学习好资料欢迎下载AMBMCMENMNCM 根据“ 两点之间线段最短 ” ，得 EN MNCMEC 最短当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时， AMBMCM 的值最小，即等于 EC 的长过 E 点作 EFBC 交 CB 的延长线于 F EBF90 60 30设正方形的边长为x，则 BF3/2x ，EF=x/2 在 RtEFC 中EF2FC2EC2， （x/2）2 +（3/2x+x ）2=（3+1 ）2 解得 x=212如图，已知 ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的

36、速度是 2cm/s，当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点都停止运动，设运动时间为t（s） ，解答下列问题：（1）当 t2 时，判断 BPQ 的形状，并说明理由；（2）设 BPQ 的面积为 S（cm2） ，求 S与 t 的函数关系式；（3）作 QR/BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时， APR PRQ？【答案】解：(1) BPQ 是等边三角形 , 当 t=2 时,AP=21=2,BQ=2 2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4, 所以 BQ=BP. 又因为 B=600, 所以 BPQ 是等边三角形 . (2) 过 Q作 QE AB,垂足为 E,由 QB=2y,得 QE=2

37、t sin600=3t, 由 AP=t, 得 PB=6-t, 所以 SBPQ=21BP QE=21(6-t)3t= 23t2+33t ；(3)因为 QR BA,所以 QRC= A=600，RQC= B=600，又因为 C=600, 所以 QRC 是等边三角形 , 所以 QR=RC=QC=6-2t. 因为 BE=BQ cos600=212t=t, 所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以 EP QR,EP=QR, 所以四边形 EPRQ 是平行四边形 , 所以 PR=EQ=3t, 又因为 PEQ=900, 所以 APR= PRQ=900. 因为 APR PRQ, 所以 QPR= A

38、=600, 所以 tan600=PRQR, 即3326tt, 所以 t=56, 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 18 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载所以当 t=56时, APR PRQ13 在直角梯形 OABC 中， CBOA， COA90o， CB3， OA6， BA3 5 分别以 OA、OC 边所在直线为 x 轴、y 轴建立如图 1 所示的平面直角坐标系（1）求点 B 的坐标；（2）已知 D、E 分别为线段 OC、OB 上的点， OD5，O

39、E2EB，直线 DE 交x轴于点 F求直线 DE 的解析式；（3）点 M 是（2）中直线 DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一个点 N使以 O、D、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由A BD E（第 26 题图 1）FCOMNxy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 19 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载图 7-2 A D O B C 2 1 M N 图 7-1 A D B M N 1 2 图

40、7-3 A D O B C 2 1 M N O 14在图 15-1 至图 15-3 中，直线 MN 与线段 AB 相交于点 O，1 = 2 = 45 （1）如图 15-1，若 AO = OB，请写出 AO 与 BD的数量关系和位置关系；（2）将图 15-1 中的 MN 绕点 O 顺时针旋转得到图 15-2，其中 AO = OB求证： AC = BD，AC BD；（3）将图 15-2 中的 OB 拉长为 AO 的 k 倍得到图 15-3，求ACBD的值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 20 页

41、，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载【答案】解： （1）AO = BD，AOBD；（2）证明：如图 4，过点 B 作 BECA 交 DO 于 E， ACO = BEO又AO = OB，AOC = BOE，AOC BOEAC = BE又1 = 45 ，ACO = BEO = 135 DEB = 45 2 = 45 ，BE = BD，EBD = 90 AC = BD 延长 AC 交 DB 的延长线于 F，如图 4BEAC， AFD = 90 ACBD（3）如图 5，过点 B 作 BECA 交 DO 于 E， BEO = ACO又 BOE = AOC ，BOE

42、AOCAOBOACBE又OB = kAO，由 （2） 的方法易得BE = BD kACBD15如图，已知过A（2，4）分别作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M 、N，若点 P从 O点出发，沿 OM 作匀速运动， 1 分钟可到达 M点，点 Q从 M点出发，沿 MA作匀速运动， 1 分钟可到达 A点。（1）经过多少时间，线段PQ的长度为 2？（2）写出线段 PQ长度的平方 y 与时间 t 之间的函数关系式和t 的取值范围；（3）在 P、Q运动过程中，是否可能出现PQ MN ？若有可能，求出此时间t ；若不可能，请说明理由；（4）是否存在时间t ，使 P、Q 、M构成的三角形与 MON 相似？若存

43、在，求出此时间 t ；若不可能，请说明理由； Y N A Q 图 4 A D O B C 2 1 M N E F A O B C 1 D 2 图 5 M N E 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 21 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载 O P M X解： A（ 2，4）， OM=2 ，AM=4，点 P 从 O点出发 ， 沿 OM作匀 速运 动， 1 分钟 可到 达 M点， 点 Q从 M点出 发， 沿 MA作匀 速运 动， 1 分钟 可到 达 A 点

44、，点 P 的 速度 度 2， 点 Q速度 的 4，（ 1）设经 过 t 分钟 线段 PQ的 长度 是 2，则 PM=2-2t ， QM=4t，在 Rt PQM中， PQ2=PM2+QM2，即 22= （ 2-2t ）2+（4t ）2，解得 t=0（分 ）或 t=0.4 （ 分）答： 当 t=0 或 t=0.4时， 线段 PQ的长度 为 2；（ 2）由（ 1）可知 ， PM=2-2t ，QM=4t，在 Rt PQM中， PQ2=PM2+QM2， 即 y=（2-2t ）2+（ 4t ）2，整理 得， y=20t2-8t+4 （ 0 t 1）；（ 3）存在 A（2，4）， N（0，4）， M （2，

45、0）， ON=4 ，OM=2 ，当 MON PMQ时 ，OMMP=ONMQ，即2 2- 2t=4 4t，解 得 t=0.5；当 MON QMP时 ，OMMQ=ONMP，即2 4t=精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 22 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载4 2- 2t，解 得 t=0.2 故当 t=0.5分或 t=0.2分时 P、 Q 、 M构 成的 三 角 形与 MON 相似 16、 （2013?娄底压轴题）如图，在 ABC 中，B=45 ，BC=

46、5，高 AD=4 ，矩形EFPQ的一边 QP 在 BC 边上， E、F 分别在 AB、AC 上，AD 交 EF 于点 H（1）求证：；（2）设 EF=x，当 x 为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；（3）当矩形 EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒 1 个单位的速度沿射线DA 匀速向上运动（当矩形的边PQ到达 A 点时停止运动），设运动时间为t 秒，矩形 EFPQ与ABC 重叠部分的面积为S，求 S与 t 的函数关系式，并写出t 的取值范围（1）证明：矩形EFPQ，EFBC， AHFADC，EFBC， AEFABC，（2）解： B=45 ， BD=AD=4 ，CD=BCBD

47、=54=1EFBC， AEHABD，EFBC， AFHACD，即，EH=4HF，已知 EF=x，则 EH=xB=45 ，EQ=BQ=BD QD=BDEH=4xS矩形EFPQ=EF?EQ=x?（4x）=x2+4x=（x）2+5，当 x=时，矩形 EFPQ的面积最大，最大面积为5（3）解：由（ 2）可知，当矩形 EFPQ的面积最大时，矩形的长为，宽为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 23 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载4 =2在矩形 EFPQ沿射线

48、AD 的运动过程中：（I）当 0 t 2时，如答图 所示设矩形与 AB、AC 分别交于点 K、N，与 AD 分别交于点 H1，D1此时 DD1=t，H1D1=2，HD1=HDDD1=2t，HH1=H1D1HD1=t，AH1=AHHH1=2t， KNEF，即，得 KN=（2t） S=S梯形KNFE+S矩形EFP1Q1=（KN+EF）?HH1+EF?EQ1= （2t）+ t+（2t）=t2+5；（II）当 2t 4 时，如答图 所示设矩形与 AB、AC 分别交于点 K、N，与 AD 交于点 D2此时 DD2=t，AD2=ADDD2=4t，KNEF，即，得 KN=5tS=SAKN=KN?AD2=（5t） （4t）=t25t+10综上所述， S 与 t 的函数关系式为：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 24 页，共 25 页 - - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载S=精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 25 页，共 25 页 - - - - - - - - - -