基于gerschgorin理论稀疏度估计的宽带频谱感知算法-赵知劲.pdf

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1、Joumal of Computer Applications计算机应用，2016，36(1)：8790，95ISSN 1001908lCODEN JYIIDU2016一叭一10http：wwwjocacn文章编号：10019081(2016)01008704 DOI：1011772jissn100l一90812016Ol，0087基于Gerschgorin理论稀疏度估计的宽带频谱感知算法赵知劲12，陈京来r(1杭州电子科技大学通信工程学院，杭州310018；2中国电子科技集团第36研究所通信系统信息控制技术国家级重点实验室，浙江嘉兴314001)(通信作者电子邮箱etherlailai163

2、com)摘要：针对在低信噪比(sNR)情况下稀疏度欠估计和高信噪比情况下稀疏度过估计的问题，提出了一种基于Gerschgorin理论稀疏度估计的宽带频谱感知算法。首先，该算法利用Gersch90rin理论分离信号圆盘与噪声圆盘得到稀疏度估计值；然后，利用正交匹配追踪(0MP)算法得到频谱支撑集；最后，完成宽带频谱感知。仿真结果表明，所提算法、AIcOMP算法和MDLOMP算法频谱感知的检测概率达到95信噪比分别需要46 dB、85 dB和97 dB；所提算法频谱感知的虚警概率在信噪比大于13 dB时趋近于o，明显低于BPD一0MP和GDRIoMP算法的虚警概率，因此，所提算法对于压缩感知(cS

3、)的信号稀疏度估计兼顾了低信噪比和高信噪比时的稀疏度估计性能，频谱感知性能优于AIcOMP算法、MDL一0MP算法、BPD一0MP算法和GDRI一0MP算法。关键词：宽带频谱感知；压缩感知；稀疏度；Gerschgorin理论；正交匹配追踪算法中图分类号：TP39304 文献标志码：AWide-band spectr哪se璐ing algorithm砸ing spa船ity estimation b嬲ed on Gerschgon theoremZHA0 Zhiiinl。2，CHEN Jinglail(1Scoof 0，n如communJ!cni鲫E增i肿e馏，舶几静ou Di吐商哳i淝船氓舶孵

4、bu孙咖。昭3 1001 8，批；2s口把y鼬om幻ry o，咖rr眦渤n co眦roc扎cnoI!ogy汛commun泌。豳凡sys把m，o36如rc托m“把，曲ino E如c抛n抽加zogy c0印mio凡，o枥w肌咖肌g 31400l，吼im)Abstract：Io solVe the problems ounde卜estimatlon of sparsiy at low SlgnaltoNoise RaIio(SNR) and oVe卜estllnationof sparsity af high SNR，a wideband spectrum sensing aIgorithm usi

5、ng sparsity estimation baSed on(krschgorin theorem wasproposed Firstly， Gerschgorin theorem was used to separate the signal disk and noise disk in order to estimate the sparsity7rhen，the spectmm support set was obtained by using Onhogonal Matching Pursuit(OMP)algorithmFinally，the widebandspectnlm se

6、nsing was accomplishedThe simulation results show lhat，lhe sNR of lhe proposed algorithm，AIC一0MP(AkaikeInfo咖ation CriterionOnhogonal Matching Pursuit) algorithm and MDL一0MP(Minimum Description Len殍h-0nhogonalMatching Pursuit)algorithm need 46 dB，85 dB and 97 dB respectively while their detection pmb

7、ability reaching to 95；the false alarm probability of fhe proposed algorithm tends to 0 when the SNR is higher than 1 3 dB，which is far lower than thatof BPDOMP(Bayesian Predictive DensityOnhogonal Matching Pursuit)algorithm and GDRIOMP(Gerschgorin Disk RadiiIteration一0rthogonal Matching Pursuit) al

8、gorithm Therefore， the pmposed algo打thm takes account of sparsity estimationperf0丌nances under both low SNR and high SNR， and the spectmm sensing perforIIlance of the pmposed algorithm is better【han that of AIC一0MP aIgorithm，MDL一0MP aIgorithm，BPD一0MP aIgorithm and GDRI一0MP aIgothmKey words： wide_ban

9、d speclnlm sensing； Compressed Sensing(CS)； sparsity； GerSchgorin theorem； 0nhogonalMatching Pursuit(0MP)algorithm0 引言宽带频谱感知。的带宽一般高达数GHz，而传统奈奎斯特采样过高的采样速率和过大的数据量对模数转换器(Analogt0一Digital convener，ADc)与数字信号处理(Digitalsignal Processing，DSP)处理速度提出了很高要求，限制了宽带频谱感知的发展。压缩感知(Compressed Sensing，CS)“理论允许信号在稀疏前提下以

10、远低于奈奎斯特采样速率进行采样，由于宽带频谱具有明显的频谱稀疏性，因此将压缩感知应用于宽带频谱感知大大减轻了硬件设备的处理负担。文献3最先将压缩感知技术应用于宽带频谱感知，但该方法仍基于奈奎斯特采样速率下的采样值；文献4提出了调制宽带转换器(Modulated wideband converter，MwC)采样方法，以远低于奈奎斯特采样速率对宽带模拟信号进行采样；文献5利用重构算法对压缩后的信号进行恢复，得到信号功率谱实现频谱感知。上述方法均需要稀疏度作为先验条件，然而实际宽带频谱的稀疏度通常是未知的。文献67的频谱感知算法，分别采用了赤池信息量准则(AkaikeInfo肿ation crit

11、erion，AIc)、最小描述长度(MinimumDescIiption IJen昏h，MDL)准则和贝叶斯预测密度(BayesianPredictive Density，BPD)准则估计频谱稀疏度，但两种算法性能仍有待提高。近年来，Gerschg嘶n圆盘理论中信号圆盘与收稿日期：2叭5一0623；修回日期：2015一0913。作者简介：赵知劲(1959一)，女，浙江宁波人，教授，博士，主要研究方向：认知无线电、通信信号处理、自适应信号处理；陈京来(1992一)男，浙江温岭人，硕士研究生，主要研究方向：认知无线电。万方数据88 计算机应用 第36卷噪声圆盘分离的特点已引起研究者关注，已有相应的

12、理论18与应用研究结果、9。“发表。文献9一10提出了基于Gerschgorin圆盘的信号源个数估计算法，相比AICMDL与BPD算法，Gerschgorin圆盘估计算法不仅考虑了自相关矩阵特征值，还充分考虑了自相关矩阵特征向量信息，提高了估计性能。文献11研究了奈奎斯特采样下利用Gerschgorin圆盘的宽带频谱感知，提出了基于Gerschgorin圆盘半径迭代(Gerschgorin Disk Radii Iteration，GDRI)算法的宽带频谱感知算法。本文以恢复频谱支撑集为目标，将Gerschgorin理论应用于频谱稀疏度估计，提出了基于Gerschgorin理论稀疏度估计(Ge

13、rSchgorin neory Estimation，GrIE)的宽带频谱感知算法。该算法有效提高了频谱稀疏度估计性能，同时提高了频谱的感知性能。l 基础理论11宽带频谱感知模型假设宽带信号戈(t)具有频域稀疏特性，带宽为0，日。频带被划分为K个信道，每个信道的带宽为8，信道之间彼此互不重叠。各个信道中的主用户(Primary user，Pu)信号为相互独立的高斯过程，主用户占用的信道称为活跃信道，活跃信道数记为p，活跃信道集合记为6，西=6，6：，6。，6；表示第i个活跃信道的编号。P和6为未知参数，最大活跃信道数记为p。宽带信号x(f)包含了Pu信号和信道噪声，可以表示成如下形式“：Pz(

14、)=(f)吣)e如6p+n() (1)百其中：各个主用户信号满足s。(f)N(o，仃：)，是。(t)为第i个活跃信道的信道增益，噪声n(f)N(o，旷：)的高斯白噪声。对宽带信号戈(t)进行Mwc采样4 3，即采用个通道(p。)，每个通道采样点，调制矩阵为D，得到维的观测矩阵J，y=y。，j，：，y。“，其中j，：表示；个通道采样得到的观测向量，j，。=y。1，y。2，y。r“。观测信号模型的频域4 J表示为y(力=6峪(力+(力，其中：y(力为观测信号频域向量，s(力为信号频域向量，(力为噪声向量。在已知观测向量y()和调制矩阵D的情况下，可以利用正交匹配追踪(0nhogonal Match

15、ing Pursuit，OMP)列算法确定s(力的支撑集。自相关矩阵R，表示成：胄，=Eyy“(力=钟矿+EH (2)其中，P=Es(Ds“(力。估计自相关矩阵为R，=眇“，假设存在矩阵u，对R。进行如下分解：毫=9uu”9”=yy“ (3)其中u的支撑集与s的支撑集相同”，因此可由y=9u模型确定s(D的支撑集。12 Gerschgorin圆盘定理Gerschgorin圆盘定理给出了简洁的矩阵特征值包含域，可有效地对高阶矩阵的特征值范围进行估计，适用于不需要准确估计高阶矩阵特征值场合。设A=(o。i)是n阶复数矩阵，AC“4。1)在复数平面上，工满足式(4)条件的所在区域称为矩阵A的一个Ge

16、rsch90rin圆盘，记为D。(A)，如下所示：D。(A)=zc z一。ll ni l；i=l，2，昂却(4)将Ii I记为砂。(A)，D。(A)为圆心为。半径为lfr，(A)的圆盘。2)若矩阵A的m个圆盘组成一个连通并集0与其余nm个圆盘不相连，则0内包含m个A的特征值。当矩阵A为自相关矩阵曰。时，由于足，是Hemitian矩阵，其特征值都为实数，因此根据Gersch90rin圆盘定理，每个圆盘D，(A)是在实轴上有不同圆心和半径的圆，得到各个圆盘就可以大致确定特征值范围。Gerschg嘶n圆盘可以分为信号圆盘和噪声圆盘，两者可能会出现圆盘重叠现象，Gerschgorin酉变换可有效解决此

17、问题。13 Gerschgo面酉变换将自相关矩阵R。进行如下的矩阵分块：矗，= (5)其中：詹。为(一1)(一1)阶矩阵，为(一1)l维列向量。R。可分解成：胄，=Ql 7Q川 (6)其中：Q 7为R，特征向量“构成的酉矩阵，如式(7)所示；l为R，特征值A。(A。A 72AL-1)构成的对角矩阵，如式(8)所示：Q=g g2 譬。一。 (7)生=diag(A。，A2，A一1) (8)Gerschgorin酉变换矩阵w如式(9)。9 o所示：w=孑： 自相关矩阵R，经过Gerschgorin酉变换得到矩阵G：G=矿R。W=r QR，Q【 ，nQ， A 0 0 A2 -： ：0 0 pl p2p

18、lp2：_pLrU(10)其中：p。=口?r=g?p。P叫，D。、伤分别为9的前一1行和第三行。根据文献9结论，p。具有如下特性：刈， 嗡p (11)【h I=o， ip根据式(11)特性，自相关矩阵R，通过Gerschgorin酉变换即可分离出p个圆盘半径菲零的信号圆盘和五一P一1个圆盘半径为零的噪声圆盘。2 基于Gersch90dn理论稀疏度估计的频谱感知利用式(3)得到的u的支撑集就实现了对观测信号y(力的频谱感知，但是0MP算法求解u的支撑集时，需要稀疏度作为算法的先验条件，而在实际中，稀疏度是未知的。由于各，_-_J，乜，yHRr-L=OO，“。p万方数据第1期 赵知劲等：基于Ger

19、Schgorin理论稀疏度估计的宽带频谱感知算法 89个信道的信号互不相关，因此式(2)中的自相关矩阵P的秩等于稀疏度值(主用户信号个数)P。自相关矩阵R，的特征值具有如下特性：AIA2A。A。+l=A=彰 (12)分析置，的特征值即可得宽带频谱的稀疏度值。然而受到噪声影响及采样次数有限限制，实际接收机得到的是白相关矩阵的估计足，其特征值为：A lA 2A。A。+lA L (13)式(13)表明，无法直接通过足。特征值完成稀疏度估计。本文利用Gerschgorin理论对信号圆盘与噪声圆盘进行分离，其中信号圆盘个数即为所估计的频谱稀疏度。21 基于GerSchgorin理论稀疏度估计实际得到的G

20、并不满足式(11)特性，即在ip时h l并不为零，因此无法直接根据式(11)从p。中得到频谱稀疏度。本文利用自相关矩阵的特征值和特征向量特点估计圆盘半径，提出基于GTE的稀疏度估计算法。根据Gerschgorin圆盘定理，由式(4)可知，当iL时矩阵G的圆盘半径砂i(G)即为h l。根据cauchyschwanz不等式，沙(G)可表示为：砂：(G)=Ip。1=l口?D。P酬ll|q?D。|l|P酬|I=妒II口，HD。|I (14)其中，妒=II P酬I|与i无关，Gerschgorin圆盘半径实际由g，HD。决定。若矿为信号特征向量，则D。(G)为信号圆盘，圆盘半径砂。(G)为一个非零值；若

21、“为噪声特征向量，则D。(G)为噪声圆盘，圆盘半径砂。(G)将显著减小。由于式(5)中露7，为前一1个通道观测矩阵_)r。，y：，_)I。“的自相关矩阵，r为前L一1个通道观测值与第L个通道观测值儿的互相关向量，因此，式(10)中的特征值A。和圆盘半径l反f受个通道的排列顺序影响。为克服通道排列顺序影响，采用旋转平均进行改进，对R，进行如下旋转：R=衄：”c；m=l，2，L一1 (15)其中：霆表示为震，经过m次旋转后的矩阵，冠=足，。c为旋转矩阵表示为：C=0 10 O： ：O 01 0O 01 0： ：O 10 0(16)旋转得到的R：州即为通道顺序m+l，L，l，m下的观测矩阵y=y m

22、，。，yl一，y。“所得到的自相关矩阵，R：训=y(ym)“。R：砌进行Gersch90rin酉变换得到矩阵G细，其中fp“I表示G汩的圆盘半径驴。(G“曲)，A：神表示R：州的特征值，并对I p1、A：巾进行如下平均：LlI五l=Ip!“J儿 (17)一l一=州“儿 (18)根据上述分析，结合自相关矩阵的特征值和特征向量信息，令M=I五lA。由于信号圆盘的I五I和A。都比噪声圆盘的大，则信号圆盘的M就比噪声圆盘的大。令GTE稀疏度估计的判决量为：GZE(i)=y7。+l；i=1，2，p。 (19)式(19)中满足G咂(i)，7max(G陋(七)的i组成集合力，其中叼(70，1)为门限调整系数

23、，则可知集合n中的最大值即为GTE算法所估计的稀疏度五。五=max(力) (20)22 GTE一0MP频谱感知算法通过式(20)求得频谱稀疏度西，将其作为oMP算法停止迭代条件，利用0MP算法求解出声个与y相关性最强的原子，原子所在的具体位置构成了u的支撑集，进而可以求得活跃信道集合6，从而实现了频谱感知，这就是本文提出的基于Gerschgorin理论稀疏度估计的频谱感知算法，记为GTE一0MP。算法主要步骤如下：1)对接收信号z()进行Mwc采样，得到维的观测数据矩阵J，。2)根据观测数据计算自相关矩阵冠，并进行式(3)的分解得到y。3)根据式(15)和式(16)，对咒旋转得到旋转自相关矩阵

24、。4)根据式(9)和式(10)，对蠢：“进行Gerschgorin酉变换得到G。5)根据式(17)、式(18)和式(19)，计算得到判决量G旭(i)。6)由集合n，利用式(20)估计得到稀疏度估计值五。7)求得五后，利用oMP算法确定信号的频谱支撑集，该集合即为活跃信道集合占。3 算法仿真与性能分析仿真中，假设宽带信号的频带范围是0，360MHz，包含K=60个信道，信道的带宽曰=6 MHz，各个信道的。(f)=1；假设Mwc采样通道数=30，则Mwc采样频率厶们=加=180 MH2；信道最大稀疏度p=6，p一；噪声功率盯：=1；门限调整系数卵=o3。每次实验进行肘=10000次的蒙特卡洛仿真

25、。31稀疏度估计性能本节分析比较本文算法与文献67，11算法的稀疏度估计性能。采用式(21)所示的均方根误差(Root Mean SquareEor，RMsE)衡量稀疏度估计性能，其中，p。和五。分别表示第m次实验中稀疏度的实际值和估计值。 f1广_足删=I(p。一；。)2肛 (21)图1给出了，v=400时，5种算法的RMsE随信噪比的变化曲线。由图1可见，在低信噪比情况下，本文算法与基于BPDGDRI算法的RMsE相近，明显低于基于AICMDL算法的RMsE；在高信噪比情况下，本文算法和基于AICMDL算法的RMsE都趋近于零，明显低于基于BPDGDRI算法的RMsE。由此可见，本文算法较

26、好地兼顾了低信噪比和高信噪比时的稀疏度估计性能。万方数据计算机应用 第36卷32频谱感知性能在本节仿真中，将估计的稀疏度值作为仿真的先验条件，采用式(22)一(23)所示的检测概率、虚警概率分析频谱感知算法性能，其中，vum(6。66)表示一次实验中实际活跃信道集合6与估计活跃信道集合6相同元素个数，“m(6c6旧扩)表示一次实验中实际活跃信道的补集6与估计活跃信道集合6相同元素个数。盯 村pd=Im(6。占6)1(p。) (22)村 肘毋=I舰m(6；占扩)I(删一pm)(23)信喙比dB图l=400时RMsE随信噪比变化曲线图23分别给出了=400时，频谱感知的检测概率及虚警概率随信噪比的

27、变化曲线。由于OMP算法需要已知稀疏度，因此将31节中的5种算法的稀疏度估计值作为先验条件，5种感知算法分别记为AIc-0MP1、MDL一0MPJ、BPDOMPJ、GDRI一0MP和GTE0MP。由图2可见，GrE0MP算法的检测概率与BPDGDRI一0MP算法的检测概率相接近并高于AIcMDL一0MP算法的检测概率，尤其是在信噪比低于0 dB时，AIcMDLOMP算法的检测概率接近零，G7IEOMP算法具有明显更优的检测性能，这是因为基于AICMDL准则的稀疏度估计算法在低信噪比时常作出欠估计。由图3可见，AICMDLOMP算法的虚警概率始终接近于零，G1EOMP算法的虚警概率随信噪比的增加

28、迅速下降，并在信噪比大于13 dB时趋近于零。在高信噪比情况下，AIcoMP、MDL一0MP、G7rE一0MP算法的虚警概率明显低于BPDOMP、GDRI0MP算法的虚警概率，这是因为基于BPDOMP、GDRI-0MP算法的稀疏度估计在高信噪比时常作出过估计。o_AlCOMP一日一MDLOMPBPDOMPGDRIOMPoGTEOMP似噪比dB图2=400时检测概率随信噪比变化曲线综上可得，本文算法解决了基于AICMDL准则算法在低信噪比时对稀疏度欠估计和基于BPD准则算法在高信噪比时稀疏度过估计的问题，频谱感知性能优于AICMDL0MP算法、BPDOMP算法和GDRI0MP算法。4 结语针对在

29、低信噪比情况下欠估计、高信噪比情况下过估计的问题，本文提出了基于Gerschgorin理论稀疏度估计的宽带频谱感知算法。该算法联合考虑了特征值和特征向量，利用Gerschgorin理论分离信号圆盘与噪声圆盘，获得稀疏度估计值并将此作为0MP算法迭代停止条件，然后利用0MP算法得到频谱支撑集，从而完成宽带频谱感知。仿真结果表明，该算法兼顾了低信噪比和高信噪比时的稀疏度估计性能，频谱感知性能优于AICMDL-0MP算法、BPD0MP算法和GDRI一0MP算法。oAICOMPq-MDLOMPBPDOMPGDRIOMPoGTEOMP信噪比，dB图3=400时虚警概率随信噪比变化曲线参考文献：1 SUN

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