-01-02--解答-12高等代数1期末试卷.docx

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1、精品学习资源2021 学年第一学期 高等代数 A 卷一、挑选题 本大题共 5小题，每题 3分，共 15分1、设 A, B 为n 阶方阵，以下运算正确的选项是D欢迎下载精品学习资源A装AB 12A12 B12BAA欢迎下载精品学习资源C A2B2ABABD假设 A 可逆，就112A1 A 112欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源12分析： ABAB ABAB, A12 B12AAABAB ，矩阵乘法不满意交换欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源律，故两者不肯定相等；订同理， ABABA2AB - BAB2A2B 2欢迎下载精品学习资源nA （-1） AA ；欢迎下载精品学习资源2、设

2、A 是 56 矩阵，其秩为 5，就齐次线性方程组 AX线0 C欢迎下载精品学习资源A基础解系恰有 5 个解向量B基础解系恰有 6 个解向量C基础解系恰有 1 个解向量D只有零解分析： 基础解系所含向量个数： n 未知数个数 -r A的秩 0=6-5=13、假设矩阵 An m 的秩为 r ，就以下结论正确的选项是D(A) A 的任何级数不超过 r 的子式都不等于零(B) A 的任何级数不超过 r 的子式都等于零(C) A 的任何级数大于 r 的子式都不等于零(D) A 的任何级数大于 r 的子式都等于零分析： 细读课本 134 页定理 6.欢迎下载精品学习资源4、 设1, D2 ,r 是 n 维

3、列向量，就1,2 ,r 线性无关的 充要条件 是欢迎下载精品学习资源(A) 向量组 1,2 ,r 中任意两个向量线性无关欢迎下载精品学习资源(B) 存在一组不全为 0 的数c1, c2 , cr，使得c11c22crr0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源(C) 向量组 1,(D) 向量组 1,2,r 中存在一个向量不能由其余向量线性表示2,r 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示欢迎下载精品学习资源5、设 A, B 都是 n 阶正定矩阵，就以下结论正确的选项是C1欢迎下载精品学习资源AAB 是正定矩阵BAB 是正定矩阵CAB 是可逆矩阵DAB 是实对称矩阵分析： A， B 正定A0，

4、B0ABAB0AB可逆二、填空题 本大题共 5 小题，每题 3 分，共 15 分1、设 f x 和 g x 是两个多项式 , 假设 fx , gx1，就fx, g xf x 1；证明由于 f x, g x1，所以存在多项式 ux, vx 使得ux f xvxg x1于是ux f xvx g x- v x f xvx f x1 u xvx f xvx f xg x1故 f x, f xg x1 .2、六阶行列式中，a56a12a34a23a41a65 这一项该带正号；分析： 该项符号为（-1）（5,1,3,2 ，4,6 ）+（ 6,2,4,3 ，1,5 ）=（-1）14 =13、设 A为三阶方阵

5、， A* 为 A的相伴矩阵， 且有 A2 ，就 3 A11 A*2427分析： A -1 = A*A= A ，A * = A 2 =4 ，故23A4、设11,1,2 ,21,0,0 ,31,4, k 的一个极大线性无关组是1,就 k8 ；分析： 依题意 1 ,2 ,3 线性相关，从而；11 A*A 11A*111-A* =-A* = -A* =（-）3 A * =42326233273 ，1121000814k2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5、假设二次型fx , x , x2x 2x 2x 22 x xtx x 是正定的，欢迎下载精品学习资源就t 满意条件：21231231223t

6、2 ；欢迎下载精品学习资源三、判定题 本大题共 5 小题，每题 2 分，共 10 分请在你认为对的小题对应的括号内打“”，否就打 “ ”欢迎下载精品学习资源装1 A, B 均为n 阶复对称矩阵，就A, B 合同的充要条件是秩 A秩B ； 欢迎下载精品学习资源2、含有 n 个未知数的非齐次线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩等于 n ；分析： Axb有解rA=rA欢迎下载精品学习资源订3、A, B 均为矩阵，假设 AB0 ，就 A0 或者 B0 ；欢迎下载精品学习资源分析： 矩阵乘法不满意交换律，消去律，即AB=BA 不肯定成立； AB=0 不肯定得到 A=0或B= 0； AB =AC

7、 不肯定有 BC欢迎下载精品学习资源线4、假如向量组 1,性组合；2 ,r 线性相关， 就每个 i 都可以表示为其余向量的线欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源分析： 向量组 1,性组合；2 ,r 线性相关， 就至少有一个i 都可以表示为其余向量的线欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5、假设多项式f x 和g x的最大公因式唯独， 就f xg x0 ； 欢迎下载精品学习资源四、简答题 本大题共 4 小题，每题 8 分，共 32 分1100欢迎下载精品学习资源1、设A*021011，又 A0 ，求矩阵 A 以及它的逆矩阵 A；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解： 由于AA*A

8、E ，所以有AA A* 1 ， A 11 A* A2 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源而 A*A 3 1 ,且 A0， A1，4 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又 A* 1100011012，6 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 A A* 1100011，012欢迎下载精品学习资源3欢迎下载精品学习资源留意： A* 1的求法 1利用100021011为分块对角矩阵欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2 A* E1作初等行变换* *（ A ）欢迎下载精品学习资源3 A*=，此法繁琐，不举荐A*欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源设 A 为 n 阶矩阵，

9、涉及A* 的题目 充分利用以下公式： A 11 A*， A* An-1= A欢迎下载精品学习资源1112n欢迎下载精品学习资源2、求 n 阶行列式112n1的值；欢迎下载精品学习资源12n112n111解 ：行列式特点： 每一行的和 相等为“ 1” , 每一列的和 相等为“ 1”1112n1111欢迎下载精品学习资源112n1r1ri i2,3, n112n1欢迎下载精品学习资源12n1112n11欢迎下载精品学习资源2n11111112n111欢迎下载精品学习资源rir1 ,i2,3, n001n04 分欢迎下载精品学习资源01n00欢迎下载精品学习资源n n 11n000n 1欢迎下载精品

10、学习资源121n8 分1 x1x2x303、争论取何值时，线性方程组x11 x2x3xx1 x2123(1) 有唯独解；2无解； 3有无穷多个解，并求出此方程组的通解；111欢迎下载精品学习资源解： 方程组的系数行列式为111111231 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 1） 当3 且0 时，R ARA3n ，方程组有 唯独解 ;2 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源11292110r2 r1（2）3 时，21101129A1213r1r31213r3 2r1欢迎下载精品学习资源11291129欢迎下载精品学习资源0336装r3 r20336， 阶梯型欢迎下载精品学习资源

11、0331800012RA3R A2 ，此时，方程组 无解;4 分30 时，欢迎下载精品学习资源订1110A11101110r2 r1r3 r1111000000000， 最简型欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源RAR A1n3 ，此时方程组有 无穷多解 ，6 分欢迎下载精品学习资源线由最简型的一般解为欢迎下载精品学习资源x1x2x2x2x3x3x3 x2 , x3 为自由未知量 ，所以所求通解为欢迎下载精品学习资源x111欢迎下载精品学习资源x2k11k20, k1 ,k2 为任意常数；8 分欢迎下载精品学习资源x301欢迎下载精品学习资源4、设有二次型fx , x , xx22x2x2

12、2x x2x x4x x欢迎下载精品学习资源1231231 21 32 3（1） 写出二次型 f 的矩阵 A ；欢迎下载精品学习资源（2） 把二次型fx1, x2, x3经过非退化线性替换化为标准形，并写出所用的非欢迎下载精品学习资源退化线性替换；解： 1 二次型的矩阵为111A1221212 分欢迎下载精品学习资源2111111100100100122011011011010欢迎下载精品学习资源21r2 r1r3 r1010c2 c1c3 c10001001A110=r3 r20 01c3 c20 016 分欢迎下载精品学习资源E1111111001001001001101001001001

13、0010011 0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源110令 C011 ,001就非退化线性变换XCY7 分欢迎下载精品学习资源222欢迎下载精品学习资源把二次型化为标准形fx1, x2, x3y1y2y3；8 分欢迎下载精品学习资源说明： A 作行变换而 E 不变，接着 ”A 和 E”同时作和行变换相同的 列变换，当 A 化为对角元为 “ 1， -1”的对角阵时， E 化为“C”五、证明题 本大题共 4 小题，每题 7 分，共 28 分欢迎下载精品学习资源1、证明：假如A, B 均是正定矩阵，就A0也是正定矩阵；0B欢迎下载精品学习资源证： 由于 A 和 B 都是正定矩阵，所以A 和

14、B 都是实对称矩阵，又欢迎下载精品学习资源TA0AT00B0BTA0,0B欢迎下载精品学习资源A0因此是实对称矩阵；2 分0B欢迎下载精品学习资源 由 A 和 B 都是正定矩阵知 A 和 B 都和 E 合同，即存在可逆阵C 1,C 2使得欢迎下载精品学习资源1122CT ACE, CT BCE ；3 分欢迎下载精品学习资源构造分块阵 CC 100C 2，就 C 可逆，且4 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源TC0A0C0C T AC0E0欢迎下载精品学习资源1111欢迎下载精品学习资源0C0B0C0C T BC0E6 分欢迎下载精品学习资源2222欢迎下载精品学习资源即 A0与单位阵合

15、同，结合知0BA0是正定矩阵；7 分0B欢迎下载精品学习资源2、设 A 和B 是两个同型矩阵，证明：秩 AB秩 A +秩 B ；欢迎下载精品学习资源证明方法 1： 设矩阵 A 的列向量组为A1,A2 ,.,An ，其极大无关组为Ai , Ai ,., Ai， 1欢迎下载精品学习资源12r分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源矩阵 B 的列向量组为B1 , B2,.,Bn ，其极大无关组为Bi , Bi,., Bi， 2 分欢迎下载精品学习资源12s欢迎下载精品学习资源就 Aik1 Aik2Ai.kr Ai ， i1,2,., n3 分欢迎下载精品学习资源12rBi故 Ail1Bil 2Bi

16、.Bik1 Aik2 Ails Bi.s ， ikr Air装121,2,., n4 分欢迎下载精品学习资源l1Bil2 Bi.l sBi ， i1,2,., n欢迎下载精品学习资源1212s欢迎下载精品学习资源即 AB 的列向量组可由Ai , Ai ,. Ai , Bi , , Bi,.Bi线性表示 6 分欢迎下载精品学习资源12r1 12s欢迎下载精品学习资源就秩 AB rank Ai , Ai ,. Ai , B i , , Bi,.Bi rs=秩 A +秩 B欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源12r1 12s7 分订留意： A 组可由 B 组表示rank A rankB ,欢迎下

17、载精品学习资源证明方法二：由课本166 页结论，秩 AB= 秩（ A+ （-B） 秩 A +秩 - B =秩 A +秩 B线负号不会转变行列式是否为零的性质，因此不会转变矩阵的秩，故秩 - B =秩 B欢迎下载精品学习资源3、用 f 代表f x ， g 代表g x ，设 f i , g j 1,i , j1,2 ，证明：欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 f1 g1 , f 2 g2 f1 , f 2g1, g2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源证明： 由于 f1,f2 f1 , f1 , f 2 f 2,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源g1, g2 g1 , g1, g2

18、 g2 ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 f1,f2 g1 , g2 f1g1, f1,f2 g1, g2 f2 g2 ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源这说明 f1 ,f 2 g1 , g2 是f1g1与f2 g 2 的一个 公因式；又欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源 f1,f 2 =u1 f1v1 f 2欢迎下载精品学习资源 g1 , g2 = u2 g1v2 g2欢迎下载精品学习资源而f i, g j1,i , j1,2 ，由课本习题一题 13 结论可知， f1 f 2 , g1 g2 1 ，即欢迎下载精品学习资源1uf1 f2vg1 g2欢迎下载精品学习资

19、源式左右两边相乘知是 f1,f 2 g1 , g2 是f1g1 与f2 g2 的组合，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故由课本习题一题 8 结论可知 f1 ,f2 g1 , g2 是f1g1与f2 g 2 的最大公因式；欢迎下载精品学习资源因此， f1 g1 ,f2 g2 f1 , f 2g1 , g2；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4、向量组 1,2 ,r 线性相关的充要条件是至少有一个向量i 1ir 可欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源以被它前面的1,2 ,i1 线性表示；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源证： “必要性” 由于向量组1 ,2 ,.,r 线性相

20、关， 所以存在不全为零的数k1, k2,., kr ，欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源使得k11k22.krr01 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源不妨设k1, k2,., kr中最终一个不为 0 的数是ki 1ir ，于是有欢迎下载精品学习资源 kk1i1122k i.k i 1i 1 欢迎下载精品学习资源即 i 可以被它前面的1 ,2 ,.,i1 线性表示；4 分欢迎下载精品学习资源“充分性” 由于向量组中至少有一个向量i 可以由它前面的向量线性表示，欢迎下载精品学习资源不妨设il11l 22.l i 1i，15 分欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源即l 11l 22.l i 1i 1i0i 1.0r06 分欢迎下载精品学习资源所以向量组1,2,.,r 线性相关；7 分欢迎下载