2022年九级数学圆的知识点总结大全.docx

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1、名师举荐细心整理学习必备第四章：圆一、学问回忆圆的周长 ： C=2 r 或 C= d、圆的面积 ：S= r2圆环面积运算方法： S=R2-r2或 S=（R2-r 2）R 是大圆半径, r 是小圆半径）二、学问要点一、圆的概念集合形式的概念： 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2 、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆；固定的端点 O 为圆心；连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径；圆上任意两点之间的部分叫做圆弧

2、,简称弧；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线；二、点与圆的位置关系Ad1、点在圆内dr点C 在圆内；rOBd2、点在圆上dr点 B 在圆上；C3、点在圆外dr点 A 在圆外； 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；外离（图 1）无交点dRr；外切（图 2）

3、有一个交点dRr；相交（图 3）有两个交点RrdRr ；内切（图 4）有一个交点dRr；内含（图 5）无交点dRr；rdd=rrd四、圆与圆的位置关系dddRrRrRr图 1图 2图 3ddRrrR图4图 5五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；推论 1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；（2） ）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；（3） ）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理,简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中,只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论,即： AB

4、 是直径 ABCD CEDE 弧 BC弧BD 弧 AC弧 AD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论；A推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等；CDO即：在 O 中,AB CD弧AC弧BD六、圆心角定理顶点到圆心的角,叫圆心角；OEA BCD B圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等；此定理也称 1 推 3 定理,即上述四个结论中,E只要知道其中的 1 个相等,就可以推出其它的 3 个结论,FD即： AOBDOE ； ABDE ；O OCOF ； 弧 BA弧 BDACB七、圆周角定理C顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫圆周角；1 、圆周角定理：同弧所对的

5、圆周角等于它所对的圆心的即： AOB 和 ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角B O角的一半；A AOB2ACB2、圆周角定理的推论：DC推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧；B即：在 O 中, C 、 D 都是所对的圆周角 CD推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角； 圆周角是直角所OAC 对的弧是半圆,所对的弦是直径；BAO即：在 O 中,AB 是直径或 C90 C90AB 是直径推论 3：如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形；即：在ABC 中,OCOAOBC三角形是直角BAOABC 是直角三角形或C90注：此推论实是初二年级几何

6、中矩形的推论： 在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理；八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角；即：在 O 中,CD四边形ABCD 是内接四边形BAE CBAD180BD180D A EC九、切线的性质与判定定理（1） 切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不行即：MNOA 且 MN 过半径 OA 外端MN 是O 的切线O（2） 性质定理： 切线垂直于过切点的半径 （如上图）MAN推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心；以上三个定理及推论也称二

7、推肯定理：即：过圆心；过切点；垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个；十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；即：PA 、 PB 是的两条切线BPAPBOPPO 平分 BPAA十一、圆幂定理（1） 相交弦定理 ：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘DBO积相等；PCA即：在 O 中,弦AB 、 CD 相交于点 P ,PA PBPCPD（2） ）推论：假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直线段的比例中项；即：在 O 中,直径ABCD ,CBOEAD径所成的两条2CEAE BE（3） ） 切割线定理 ：从圆外一

8、点引圆的切线和割点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；P即：在 O 中,PA 是切线, PB 是割线A线,切线长是这DEOCB PA2PCPB（4） 割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）；即：在 O 中,PB 、 PE 是割线PCPBPDPE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这AO1O2两个圆的的公共弦；如图：O1O2 垂直平分 AB ；B即：O1 、O2 相交于 A 、 B 两点O1O2 垂直平分 AB十三、圆的公切线1122两圆公切线长的运算公式：ABCO1O212（1） 公切线长： RtO O C 中,

9、 AB2CO 2O O 2CO 2 ；（2） 外公切线长：CO2 是半径之差； 内公切线长：CO2 是半径之和 ；十四、圆内正多边形的运算CO（1） 正三角形B在O 中ABC 是正三角形, 有关运算在 RtBOD 中进行：A DOD : BD : OB1:3 : 2 ；BC（2） 正四边形OE同 理 , 四 边 形 的 有 关 计 算 在 RtOAE中 进 行 ,ADOE :AE : OA1:1:2 ：（3） 正六边形同 理 , 六 边 形 的 有 关 计 算 在 RtOAB中 进 行 ,OA B:O :BO A1 :3.:2BA十五、扇形、圆柱和圆锥的相关运算公式A1、扇形：（ 1）弧长公式： l（ 2）扇形面积公式：nR；180n R21SlR3602OSlBn ：圆心角R ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长 S ：扇形面积2、圆柱：（1） A 圆柱侧面绽开图DAD1母线长SS2 S = 2rh2r 2B底面圆周长C1表侧底CB 圆柱的体积：Vr 2hB1（2） A 圆锥侧面绽开图S表S侧 S底 =Rrr 2O12B 圆锥的体积：Vr hR3CArB