2022年二次函数知识点总结及典型例题.docx

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1、学习好资料欢迎下载浙教版九年级上册二次函数学问点总结及典型例题学问点一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地,假如yax 2bxca,b,c是常数, a0 , 特殊留意a不为零 , 那么 y 叫做 x的二次函数；yax 2bxca, b, c是常数, a0) 叫做二次函数的一般式；2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于x抛物线的主要特点：b对称的曲线,这条曲线叫抛物线；2a有开口方向；有对称轴；有顶点；3、二次函数图像的画法- 五点作图法 ：（1） 先依据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M ,并用虚线画出对称轴（2） 求抛物线 yax 2bxc 与坐标轴的交点：

2、当抛物线与 x 轴有两个交点时,描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点 C,再找到点 C 的对称点 D；将这五个点按从左到右的次序连接起来,并向上或向下延长,就得到二次函数的图像；当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点 C 及对称点 D；由 C、M 、D 三点可粗略 地画出二次函数的草图；假如需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数 的图像；【例 1 】、已知函数 y=x2-2x-3 ,（ 1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与y轴的交点关于图象对称轴的对称点；然后画出函数图象的草图；（ 2）求图象与坐标

3、轴交点构成的三角形的面积：（ 3）依据第（ 1）题的图象草图,说出 x取哪些值时, y=0 ； y0学问点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀-一般 两根 三顶点（1） 一般一般式： y2axbxca, b, c是常数, a0（2） 两根当抛物线 yax 2bxc 与 x 轴有交点时,即对应的一元二次方程ax 2bxc0 有实根x1和x2 存在时, 依据二次三项式的分解因式ax 2bxcaxx1 xx2 ,二次函数 yax2bxc 可转化为两根式yaxx1 xx2 ；假如没有交点,就不能这样表示；a 的肯定值越大,抛物线的开口越小；（ 3） 三顶点顶点式： y们最好设顶点式,这

4、样最简洁；a xh 2ka,h, k是常数, a0当题目中告知我们抛物线的顶点时,我【例 1 】、抛物线 yax 2bxc 与 x 轴交于 A （ 1, 0）, B （3, 0）两点,且过（ -1, 16）,求抛物线的解析式；【例 2】、如图,抛物线 yax 2bxc 与 x 轴的一个交点 A 在点（ -2, 0）和（ -1, 0）之间（包括这两点） ,顶点 C是矩形 DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点,就（1） abc0（或或 =）（ 2）a 的取值范畴是【例 3 】、以下二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点 0 , 1 的是 2222A y = x - 2+ 1B y

5、= x + 2+ 1C y = x - 2- 3D y = x + 2- 3学问点三、二次函数的最值b4acb 2假如自变量的取值范畴是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） ,即当 x时, y最值；2 a4a假如自变量的取值范畴是bx1x4acx2 ,那么,第一要看b 2b是否在自变量取值范畴2ax1xx2 内,如在此范畴内,就当 x=时, y最值；如不在此范畴内,就需要考虑函数在12 a4ax1xx2 范畴内的增减性,假如在此范围内, y 随 x 的增大而增大,就当xx2 时,y最大ax 2bx2c ,当 xx1时,y最小ax 2bx1c ；假如在此2范畴内, y 随 x 的增大

6、而减小,就当x x1时,y最大ax 2bx1c ,当 xx2 时,y最小ax 2bx2c ；12【例 1】、已知二次函数的图像（0x 3）如下列图 ,关于该函数在所给自变量取值范畴内,以下说法正确选项A 有最小值 0,有最大值 3B有最小值 1,有最大值 0 C有最小值 1,有最大值 3D有最小值 1,无最大值【例 2】、某宾馆有 50 个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天l80 元时,房间会全部住满当每个房间每天的房价每增加10 元时,就会有一个房间闲暇宾馆需对游客居住的每个房间每y31O23 x- 1天支出 20 元的各种费用依据规定,每个房间每天的房价不得高于340 元设每个房间的房

7、价每天增加x 元x 为 10的正整数倍 （ 1）设一天订住的房间数为y,直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量x 的取值范畴；（ 2）设宾馆一天的利润为w 元,求 w与 x 的函数关系式；（ 3）一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大. 最大利润是多少元.学问点四、二次函数的性质1、二次函数的性质函数y ax 2二次函数bxca,b,c是常数, a0a0a0 时,抛物线开口向上a 0 时,图像与 x 轴有两个交点； 当 =0 时,图像与 x 轴有一个交点； 当 0 时 y 值随 x 值增大而减小的是（）2A y = xB y = xC y =314 xD y = x【例 6】、如二次函数 y

8、 xm21. 当 x l 时, y 随 x 的增大而减小,就 m 的取值范畴是（）A m =lB m lC m lD m l学问点五、二次函数图象的平移 对于抛物线 y=ax 2+bx+c 的平移通常先将一般式转化成顶点式2ya xhk ,再遵循 左加右减 , 上加下减 的的原就化为顶点式有两种方法：配方法,顶点坐标公式法；在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后,在写顶点式时,要减去顶点的横坐标,加上顶点的纵坐标； yax 2bxc沿 y 轴平移： 向上（下） 平移 m（m 0）个单位, yax2bxc 变成 yax2bxcm（或 yax 2bxcm ） 当然,对于抛物线的一般式平移时,也可以不把它

9、化为顶点式yax 2bxc ：向左（右）平移 m（ m 0）个单位, yax 2bxc 变成 yaxm 2b xmc （或yaxm2bxmc ）【例 1】、将抛物线2yx 向左平移 2 个单位后,得到的抛物线的解析式是A y x22B yx 22C y x22D yx222【例 2】、将抛物线 y=x 2x 向上平移 3 个单位 , 再向右平移 4 个单位等到的抛物线是.【例 3】、抛物线22yx 可以由抛物线 yx23 平移得到 , 就以下平移过程正确选项A. 先向左平移2 个单位, 再向上平移3 个单位B. 先向左平移2 个单位, 再向下平移3 个单位C. 先向右平移2 个单位, 再向下平

10、移3 个单位D. 先向右平移2 个单位, 再向上平移3 个单位2【补】抛物线 y=2x -3x-7在 x 轴上截得的线段的长度为 【公式】抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴上截得的线段的长度为 学问点六、抛物线yax2bxc 中, a、b 、c 的作用（ 1） a 打算开口方向及开口大小,这与yax 2 中的 a 完全一样 .（ 2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线 yax 2bxc 的对称轴是直线 xb,故： b2a0 时,对称轴为 y 轴； ba0 （即 a 、 b 同号）时,对称轴在y 轴左侧； ba0 （即 a 、 b 异号）时,对称轴在y 轴右侧. 口诀

11、- 左同,右异 （ a、b 同号,对称轴在y 轴左侧）（ 3） c 的大小打算抛物线yax 2bxc 与 y 轴交点的位置 .当 x0 时, yc ,抛物线 yax 2bxc 与 y 轴有且只有一个交点（ 0, c ）： c0 ,抛物线经过原点; c0 , 与 y 轴交于正半轴； c0 , 与 y 轴交于负半轴 .以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立. 如抛物线的对称轴在y 轴右侧,就b0 .a【例 1 】、如图为抛物线的是 yax2bxc 的图像, A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点,且OA=OC=1,就以下关系中正确A ab= 1B a b= 1Cb2aD ac0B b 0C c 0D

12、a b c0【例 3 】、如下列图的二次函数yax2bxc 的图象中, 刘星同学观看得出了下面四条信息：（1） b 24ac0 ；（2）c1；（3） 2a b0；（ 4）a+b+c0；你认为其中错误的有 A 2 个B 3 个C4 个D 1 个【例 4 】、如图, 二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 y 轴正半轴相交, 其顶点坐标为1 ,12,以下结论： ac 0； a+b=0；2 4ac b =4a； a+b+c0. 其中正确的个数是（） A. 1B. 2C. 3D. 422【例 5 】、如图,是二次函数 y ax bx c（ a 0）的图象的一部分, 给出以下命题：a+b+c=0；

13、b 2a； ax +bx+c=0的两根分别为 -3 和 1； a-2b+c 0其中正确的命题是（只要求填写正确命题的序号）【例 6 】、如图,平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,就以下关系正确选项（）A m n, k hB m n ,k hC m n,k hD mn, k h学问点七、中考二次函数压轴题中常用到的公式（浙教版教材上没讲过,但是特别有用,肯定要懂得性地记忆）21、两点间距离公式：如图：点A 坐标为（ x 1, y1）,点 B 坐标为（ x2, y2 ）,就 AB 间的距离,即线段AB 的长度为2x1x2y1y2（这实际上是依据 勾股定理 得出来的）yy2ByPyy2、中点

14、坐标公式：如图,在平面直角坐标系中,A、 B 两点的坐标分别为Ax1, y1 ,P21y1 ABx , y , AB 中点 P 的坐标为 x , y 由xxxx,得 xx1x2 ,xx22y1y2pppx1x212pp2y1y2Ox121xpx2x同理 yp,所以 AB 的中点坐标为 2, 223、两平行直线的解析式分别为：y=k 1x+b 1, y=k 2x+b 2,那么 k 1=k2,也就是说当我们知道一条直线的k 值,就肯定能知道与它平行的另一条直线的k 值；4、两垂直直线的解析式分别为：y=k 1x+b 1, y=k 2x+b 2,那么 k 1 k 2=-1 ,也就是说当我们知道一条直

15、线的k 值,就肯定能知道与它垂直的另一条直线的k 值；（对于这一条,只要能敏捷运用就行,不需要懂得 ）以上四条,我称它们为坐标系中的“四大金刚 ”【例 1 】、如图,在平面直角坐标系中,抛物线y= x2+2x+3 与 x 轴交于 A B 两点,与 y 轴交于点 C,点 D 是该抛物线的顶点（ 1）求直线 AC 的解析式及 B D 两点的坐标；（ 2）点 P 是 x 轴上一个动点,过P 作直线 l AC 交抛物线于点 Q,摸索究：随着 P 点的运动,在抛物线上是否存在点 Q,使以点 A P、Q、C 为顶点的四边形是平行四边形？如存在,请直接写出符合条件的点Q 的坐标；如不存在, 请说明理由（ 3

16、）请在直线 AC 上找一点 M ,使 BDM 的周长最小,求出M 点的坐标2【例 2 】、如图,已知抛物线 y= x +bx+c 与始终线相交于 A（ 1,0）,C（ 2,3）两点, 与 y 轴交于点 N其顶点为 D（1）求抛物线及直线 AC的函数关系式；（ 2）设点 M（ 3, m）,求使 MN+MD的值最小时 m的值；（ 3）如抛物线的对称轴与直线AC相交于点 B,E 为直线 AC上的任意一点, 过点 E作 EFBD交抛物线于点 F,以 B,D, E, F 为顶点的四边形能否为平行四边形？如能,求点E 的坐标；如不能,请说明理由；（ 4）如 P 是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求 A

17、PC 的面积的最大值【例 3】、 如图,抛物线 y1 x243 x4 与 x 轴交于 A,B 两点（点 B 在点 A 的右边）,与 y 轴交于 C,连接 BC,以2BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点 P 是 x 轴上的一个动点,设点P 的坐标为（ m, 0）,过 P 作 x 轴的垂线 l交抛物线于点 Q；（ 1）求点 A、B、C 的坐标；（ 2）当点 P 在线段 OB上运动时,直线 l 分别交 BD、BC于点 M、N；摸索究 m为何值时,四边形CQMD是平行四边形,此时,请判定四边形CQBM的外形,并说明理由；（ 3）当点 P 在线段 EB上运动时,是否存在点Q,使 BDQ为直角三角

18、形,如存在,请直接写出Q点坐标；如不存在,请说明理由；DDDE AOBEAOBEAOBCCC【练 习】1、平常我们在跳大绳时,绳甩到最高处的外形可近似地看为抛物线如下列图,正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为 4 m,距地面均为 1m,同学丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2 5 m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知同学丙的身高是1 5 m,就同学丁的身高为 建立的平面直角坐标系如右图所示A 15 mB 1 625 mC 166 mD 167 m22、已知函数 yx112x 51x 3x3,就使 y=k 成立的 x 值恰好有三个,就k 的值为（）A 0B 1C2D 33. 二

19、次函数2yaxbxc 的 图 象如下列图, 就反比例函数ay与 一 次 函 数xybxc 在同一坐标系中的大致图象是（）.4. 如图,已知二次函数范畴是y x 2bxc 的图象经过点（1, 0）,（ 1, 2）,当 y 随 x 的增大而增大时,x 的取值yyx 2bxc15. 在平面直角坐标系中,将抛物线2yx2x3 围着它与 y 轴的交点旋转 180 ,所得抛物线的解析式是（）A y x122By x124 Cy x122Dyx1246. 已 知 二 次 函 数 yax 2bxc的 图 像 如 图 , 其 对 称 轴 x1, 给 出 下 列 结 果 b 24ac abc0 2ab0 abc0

20、 abc0 ,就正确的结论是（）x 2 1012y04664ABCD7. 抛物线2yaxbxc 上部分点的横坐标x ,纵坐标 y 的对应值如上表：从上表可知,以下说法中正确的是（填写序号）抛物线与x 轴的一个交点为（3,0）； 函数2yaxbxc 的最大值为 6；抛物线的对称轴是x1 ；在对称轴左侧,y 随 x 增大而增大28. 如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,点 A 的坐标是（ 2, 4）,过点 A 作 AB y 轴,垂足为 B,连结 OA1求 OAB 的面积； 2 如抛物线yx22xc 经过点 A求 c 的值； 将抛物线向下平移m 个单位, 使平移后得到的抛物线顶点落在 OAB的

21、内部（不包括 OAB 的边界）,求 m 的取值范畴（直接写出答案即可）9、“已知函数 y1 x22bxc 的图象经过点A（ c, 2）,这个二次函数图象的对称轴是x=3；”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字；（ 1）依据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式？如能,请写出求解过程,并画出二次函数图象；如不能,请说明理由；10、如下列图,在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 是直角梯形, BCAD , BAD= 90 , BC 与 y 轴相交于点 M,且 M 是 BC 的中点, A、B、D 三点的坐标分别是 A（-1, 0）, B -1, 2, D 3, 0,连接

22、 DM ,并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON,如抛物线 y=ax2 +bx+c 经过点 D、M、 N（ 1）求抛物线的解析式（ 2）抛物线上是否存在点 P使得 PA= PC如存在,求出点 P 的坐标；如不存在请说明理由；（ 3）设抛物线与 x 轴的另 个交点为 E点 Q 是抛物线的对称轴上的 个动点, 当点 Q 在什么位置时有 QE QC 最大？并求出最大值；yNBMCEAODx11、如图,抛物线y=图1 x2+bx 2 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,且 A（一 1, 0）2求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；判定 ABC 的外形,证明你的结论；点 Mm , 0是

23、 x 轴上的一个动点,当CM+DM的值最小时,求 m 的值12、在平面直角坐标系中,如图1,将 n 个边长为 1 的正方形并排组成矩形OABC,相邻两边 OA 和 OC 分别落在 x 轴和 y 轴的正半轴上；设抛物线y=ax2+bx+ca0）与双曲线y=x交于 A （ x1, y1）, B（ x 2, y 2）两点,就 2x 1y2 7x2y1 的值等于 3、如图,双曲线y2 x x0 经过四边形 OABC的顶点 A、C, ABC 90, OC 平分 OA 与 x 轴正半 轴的夹角, AB x 轴,将 ABC 沿 AC 翻折后得到 AB C, B 点落在 OA 上,就四边形 OABC 的面积是.