2022年二次函数重点难点总结.docx

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1、,如有侵权,请联系网站删除学习资料收集于网络,仅供学习和参考学习资料一、二次函数概念：中学二次函数学问点总结1. 二次函数的概念： 一般地,形如2yaxbxc（ a ,b ,c 是常数, a0 ）的函数,叫做二次函数；这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数数a0 ,而 b ,c 可以为零二次函数的定义域是全体实2. 二次函数yax2bxc 的结构特点： 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式, x 的最高次数是 2 a ,b ,c 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数,c 是常数项二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2yax 的性质：a 的肯定值越大,抛物线的开

2、口越小；a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0 ,0y 轴x0 时, y 随 x 的增大而增大；x0 时, y 随x 的增大而减小； x0 时, y 有最小值 0 a0向下0 ,0y 轴x0 时, y 随 x 的增大而减小；x0 时, y 随x 的增大而增大； x0 时, y 有最大值 0 22. yaxc 的性质：上加下减；a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质x0 时, y 随 x 的增大而增大；x0 时, y 随a0向上0 ,cy 轴x 的增大而减小； x0 时, y 有最小值 c a0向下0 ,cy 轴x0 时, y 随 x 的增大而减小；x0 时, y 随x 的增大而增大； x

3、0 时, y 有最大值 c 3. ya xh2的性质：左加右减；a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质xh 时, y 随 x 的增大而增大；xh 时, y 随a0向上h ,0X=hx 的增大而减小； xh 时, y 有最小值 0 a0向下h ,0xh 时, y 随 x 的增大而减小；xh 时, y 随X=hx 的增大而增大； xh 时, y 有最大值 0 24. ya xhk 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质xh 时, y 随 x 的增大而增大；xh 时, y 随a0向上h ,kX=hx 的增大而减小； xh 时, y 有最小值 k a0向下h ,kxh 时, y 随 x 的增大而减

4、小；xh 时, y 随X=hx 的增大而增大； xh 时, y 有最大值 k 三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ,确定其顶点坐标h ,k； 保持抛物线yax2 的外形不变,将其顶点平移到h,k处,详细平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”概括成八个字“左加右减,上加下减”方法二： yax 2bxc 沿 y 轴平移 :向上（下）平移 m 个单位, yax 2bxc 变成yax 2bxcm （或 yax 2bxcm ） yax 2bxc 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位, yax 2b

5、xc 变成2ya xmbxmc （或 yaxm 2b xmc ）四、二次函数2ya xhk 与 yax2bxc 的比较从解析式上看,2ya xhk 与 yax2bxc是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2yaxb 2a4acb2,其中 h4ab ,k 2a24acb4a五、二次函数yax2bxc 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc 化为顶点式yaxh 2k , 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为： 顶点、 与 y 轴的交点 0,c、以及 0 ,c关于对称轴对称的点2 h,c、与 x 轴的交点x1

6、,0 ,x2 ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与 y 轴的交点 .六、二次函数yax2bxc 的性质1. 当 a0 时,抛物线开口向上,对称轴为bx,顶点坐标为2ab4acb2,2a4a当 xb 2a2时, y 随 x 的增大而减小；当 xb 时, y 随 x 的增大而增大；当 x 2ab 时, y 有最小2a值 4acb4a2. 当 a0 时, 抛物线开口向下, 对称轴为 xb,顶点坐标为2ab4acb2,2a4a当 xb 时, y 随2ax 的增大而增大；当xb时, y 随 x 的增大而减小；当x 2

7、ab时, y 有最大值2a4acb24a七、二次函数解析式的表示方法21. 一般式：yax2bxc （ a , b , c 为常数, a0 ）；2. 顶点式：yaxhk （ a , h , k 为常数, a0 ）；3. 两根式：yaxx1 xx2 （ a0 , x1 ,x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与 x 轴有交点,即的这三种形式可以互化.2b4ac0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数yax2bxc

8、 中, a 作为二次项系数,明显a0 当 a 当 a0 时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大；0 时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大总结起来, a 打算了抛物线开口的大小和方向,a 的正负打算开口方向,a 的大小打算开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下, b 打算了抛物线的对称轴 在 a0 的前提下,当 b0时, 当 b0时,当 b0时,b0 ,即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2ab0 ,即抛物线的对称轴就是y 轴；2ab0 ,即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a 在 a0 的前提下,结论刚好与上述相反,即

9、当 b0时, 当 b0时,b0 ,即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2ab0 ,即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0时,b0 ,即抛物线对称轴在y 轴的左侧2a总结起来,在 a 确定的前提下, b 打算了抛物线对称轴的位置ab 的符号的判定：对称轴x“左同右异” 总结：3. 常数项 cb 在 y 轴左边就 ab2a0 ,在 y 轴的右侧就 ab0 ,概括的说就是 当 c 当 c 当 c0 时,抛物线与y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；0 时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 ；0 时,抛物线与y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与y

10、 轴交点的纵坐标为负总结起来, c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a ,b ,c 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点,挑选适当的形式,才能使解题简便一般来说,有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式

11、表达1. 关于 x 轴对称ya 2xb x关c于 x 轴对称后,得到的解析式是yax2bxc ；2ya xhk 关于 x 轴对称后,得到的解析式是2yaxhk ；2. 关于 y 轴对称ya 2xb x关c于 y 轴对称后,得到的解析式是yax2bxc ；2ya xhk 关于 y 轴对称后,得到的解析式是2ya xhk ；3. 关于原点对称ya 2xb x关c于原点对称后,得到的解析式是yax2bxc ；2yaxh关k 于原点对称后,得到的解析式是2ya xhk ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180）22ya xb x关c于顶点对称后,得到的解析式是2yaxbxcb；2a2ya xh

12、k 关于顶点对称后,得到的解析式是2ya xhk 5. 关于点m ,n 对称2yaxhk 关于点m ,n对称后,得到的解析式是2ya xh2m2nk依据对称的性质,明显无论作何种对称变换,抛物线的外形肯定不会发生变化,因此a 永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或便利运算的原就,挑选合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向, 然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情形）：2一元二次方程axbxc0 是二次函数2yaxbxc 当

13、函数值 y0 时的特别情形 .121212图象与 x 轴的交点个数：2 当b4ac0 时,图象与 x 轴交于两点A x ,0,B x ,0 xx ,其中的x ,x是一元二次方程 ax2bxc0 a0 的两根这两点间的距离ABx2x12b4ac .a 当0 时,图象与 x 轴只有一个交点； 当0 时,图象与 x 轴没有交点 .1 当 a0 时,图象落在x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有y0 ；22 当 a0 时,图象落在x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有y0 2. 抛物线yaxbxc 的图象与 y 轴肯定相交,交点坐标为0 ,c ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与

14、x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程；2 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 依据图象的位置判定二次函数yaxbxc 中 a , b , c 的符号,或由二次函数中a , b , c 的符号判定图象的位置,要数形结合；2 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质, 求和已知一点对称的点坐标,或已知与 x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的仍有二次三项式,二次三项式axbxca0 本身就是所含字母 x 的二次函数；下面以 a0 时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与x 轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根0抛物线与x 轴只有一个交点0抛物线与x 轴无交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.二次函数图像参考：y=2x 2y=x 2y=2x 2y=2x-4 2y=3x+4 2y=3x 2y=3x-2 2x 2y=2y=2x-4 2-3y=2 x 2+2y=2 x 2y=2 x 2 -4x 2y= -2y= -x 2y=-2x 2y=-2x+3 2y=-2x 2y=-2x-3 2