2022年二次函数最值知识点总结_典型例题及习题.docx

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1、一、 学问要点：二次函数在闭区间上的最值设 f xax2bxc a0) ,求f x 在 x m, n 上的最大值与最小值；当 a0 时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在m ,n 上 f x 的最值：bb4acb21. 当m, n 时,f x 的最小值是f,f x的最大值是f m、 f n 中的较大者；2ab2. 当2am, n 时2a4a如bm ,由2af x 在m,n上是增函数就f x 的最小值是f m ,最大值是f n如 nb ,由2af x 在m, n上是减函数就f x的最大值是f m ,最小值是f n当 a0 时,可类比得结论；二、例题分析归类：（一）、正向型1. 定轴定区间

2、例 1. 函数 yx24x2 在区间 0 , 3 上的最大值是,最小值是；练习 . 已知2x 23 x ,求函数f xx 2x1的最值；2、定轴动区间例 2. 假如函数f xx1 21 定义在区间t,t1 上,求f x 的最值；例 3. 已知f xx24x3 ,当 xt, t1tR 时,求f x 的最值3、动轴定区间例 4. 已知 x21 ,且 a20 ,求函数f xx2ax3 的最值；例 5. 1 求f x x22ax1在区间 -1,2 上的最大值；2 求函数 yxxa) 在 x1 , 1 上的最大值；4. 动轴动区间例 6. 已知y24a xaa0,求 u x322y的最小值；（二）、逆向

3、型例 7. 已知函数f xax22ax1在区间 3,2 上的最大值为 4,求实数 a 的值；2例 8.已知函数f xxx 在区间 m, n 2上的最小值是 3 m 最大值是 3 n ,求 m, n 的值；例 9. 已知二次函数f xax2 2a1x1 在区间3 ,22上的最大值为3,求实数 a 的值；一学问要点：一元二次函数的区间最值问题,核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的争论；一般分为：对称轴在区间的左边,中间,右边三种情形.设 f xax2bxc a0 ,求f x 在 x m, n 上的最大值与最小值；b4acb 2b分析：将f x 配方,得顶点为,、对称轴为x2a4a2a当 a0

4、 时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在m , n 上 f x 的最值：bb4acb2（ 1）当m, n 时, f x 的最小值是f, f x 的最大值是f m、fn 中的较大者；2a（ 2）当b 2 am, n 时2a4a如bm ,由2af x 在m,n上是增函数就f x 的最小值是f m ,最大值是f n如 nb ,由2af x 在m, n上是减函数就f x的最大值是f m ,最小值是f n当 a0 时,可类比得结论；二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间,求其最值；对称轴与定义域区间的相互位置关系的争论往往成为解决这类问题的关键；此类问题包括以下四种情形：（

5、1）轴定,区间定；（ 2）轴定,区间变；（ 3）轴变,区间定；（4） 轴变,区间变；1. 定轴定区间二次函数是给定的,给出的定义域区间也是固定的,我们称这种情形是“定二次函数在定区间上的最值”；例 1. 函数 yx24x2 在区间 0 , 3 上的最大值是,最小值是；练习 . 已知2x 23 x ,求函数f xx 2x1的最值；2、定轴动区间二次函数是确定的,但它的定义域区间是随参数而变化的,我们称这种情形是“定函数在动区间上的最值”；例 2. 假如函数f xx1 21 定义在区间t,t1 上,求f x 的最值；例 3. 已知f xx24x3 ,当 xt, t1tR 时,求f x 的最值对二次

6、函数的区间最值结合函数图象总结 如下：f m, b1mn如图1f n, b2an如图3当时 f xmax2af n, b21 mn如图2f xminf b 2a, mbn如图4 2a2a2f m, b2am如图5f n, b2an如图6f m ,b1mn如图9当时 f xmaxf b 2a,mbn如图7 2af xminf n ,2a2b1 mn如图10f m, b2am如图82a23、动轴定区间二次函数随着参数的变化而变化,即其图象是运动的,但定义域区间是固定的,我们称这种情形是“动二次函数在定区间上的最值”；例 4. 已知 x21 ,且 a20 ,求函数f xx2ax3 的最值；例 5.

7、1 求f x x22ax1在区间 -1,2 上的最大值；2 求函数 yxxa 在 x1 , 1 上的最大值；4. 动轴动区间二次函数是含参数的函数,而定义域区间也是变化的,我们称这种情形是“动二次函数在动区间上的最值”；例 6. 已知y24a xaa0,求 u x322y的最小值；（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值,求函数或区间中参数的取值；例 7. 已知函数f xax22ax1在区间 3,2 上的最大值为 4,求实数 a 的值；例 8.已知函数f xx2x 在区间 m, n2上的最小值是 3 m 最大值是 3 n ,求 m, n 的值；例 9. 已知二次函数f xax2 2a1x

8、1 在区间3 ,22上的最大值为3,求实数 a 的值；二次函数在闭区间上的最值专题演练1. 函数 yx2x1 在 1,1 上的最小值和最大值分别是（） A 1 ,3 B3,3（ C）411,3（ D）, 3242. 函数 yx 24x2 在区间1,4上的最小值是（） A7 B4C 2D 23. 函数 y8x24 x的最值为（）5 A 最大值为 8,最小值为 0 B 不存在最小值,最大值为8（ C）最小值为 0, 不存在最大值 D 不存在最小值,也不存在最大值4. 如函数 y2x24 x, x0,4 的取值范畴是 5. 已知函数上的最大值是 1,就实数 a的值为.6. 已知函数 yx 22x3

9、在闭区间 0, m上有最大值 3,最小值 2,就 m 的取值范畴是（）2A1,B 0,2C1,2D,27. 设f xx4x4, x t, t1 tR, 求函数f x 的最小值 .8. 已知函数f x4x2kx8在5,20 上具有单调性,求实数k 的取值范畴；9. 如函数f xa2 x22a2x4 0对一切xR 恒成立,就 a 的取值范畴（）A. , 2B. 2, 2C. 2, 2D. ,210. 已知函数f x4x24ax2在-,0 内单调递减,就 a 取（）A. a3B. a3C. a -3D. a311. 已知函数f xx2kx在2,4上是单调函数,求k 的取值范畴；12. 已知函数f x

10、x22x3在0,m 上有最大值是 3,最小值是 2,求 m 的取值范畴；13. 已知函数f x3x24 的最大值为 M ,最小值为 m,就 M+m=.14. 已知函数f x4x24axa -2a+2在0,2上的最小值为 3,求 a 的值；15. 求函数f xx22 x +3的单调区间；16. 已知函数f x2 x26x在以下定义域上的值域：（ 1）定义域为 xZ 0x3 （ 2）定义域为 -2,1.217. 已知函数f xx2ax3a, 如 x2,2 ,有f x2 恒成立,求 a 的取值范畴；18. 已知函数f xx ,2xa, 其中 a2 ,求该函数的最大值与最小值；19 已知二次函数f x

11、x26xa 的函数值总为负数,求a 的取值范畴；20. 已知二次函数f xm6 x22m1xm1的图像与 x 轴总有交点,求 m 的取值范畴；21. 已知二次函数f xx2m1) xm3 顶点在 y 轴上,求 m 的值；22. 已知函数f xmx2m2m x2 的图像关于 y 轴对称,求 m 的值；23. 已知函数f x a2) x22a2) x40 对一切 x 恒成立,求 m 的取值范畴；24. 已知函数f xx24ax,1x3) 是单调增函数,求实数a 的取值范畴；25. 已知函数f xx2ax1 有负值,求 a 的取值范畴；26. 已知函数f xm222x32m 的图像在 x 轴下方,求

12、 m 的值；1227. 已知函数f xxax10 对于一切 x0, 成立,求 a 的取值范畴；2228. 已知函数f x2x2mx3 ,当 x,1 时是减函数,求 m 的取值范畴；29 已知函数f xx2 axa 的定义域是R,求 a 的取值范畴；30. 已知函数f xx24ax2a6xR 的值域为 0, ,求 a 的值；31. . 已知函数f xx24xm 对于 x0,1 恒成立,求 m 的取值范畴；32. . 已知函数f xx2bxc在0, 上是单调函数,就b 的取值范畴；33. 已知函数f x2x22a x2a a2 ,求在 0, 2 上的最小值；34. .已知函数f x2x22ax2a

13、 ,在 0, 2 上是单调函数,求a 的取值范畴；35. 已知函数f x2x22ax2a,在 t ,t2 上是偶函数,求 a 的取值范畴；36. 当 a=-2 时,求 .函数f x2x22ax2a 在t ,t2 上的最小值；37. 已知函数f x2 x22a x2a 的定义域为 R,求 a 的取值范畴；38. 已知函数f xx22ax1 ,求 x2,1 上的最值；39. 已知函数f xx22x1,求 x m, m1 上的最值；240. 已知函数f xx22ax1a , x0,1 上的最值为 2,求 a 的值；41. 已知函数f xx2x2 ：（ 1）如 xR,求 fx 的最小值；（2）如 x1

14、,3,求 fx 的最小值；（ 3）如x a, a2, aR ,求 fx 的最小值；42. 已知函数f xx22kx3 ,求 x1,2 上的最大值；43. 已知函数f xkx22kx1,求 x3,2上的最值；21244. 已知函数f x3 x3xb ,求 x 4b, b, b0 上的最值；45. 已知函数f xxxt 1 ,求 x1,1 上的最值；46. 已知函数f xax22 a1x3 ,求 x3 , 2 上的最大值；247. 已知函数f xx2ax3,求 x0,1 上的最值；48. 已知函数f xxxa ,求 x1,a 上的最大值；49. 已知函数f xx22ax1 ,在 x1,2 上的最大

15、值为 4,求 a 的值；50. 如不等式9x26axa22a60 在1x1 内恒成立,求 a 的取值范畴；3351. 已知函数f xx22x3 ,求 x t, t1 上的最值；52. 已知函数f xax22ax5 ,求 x0,3上的最值；53. 已知函数f x2x2ax3 ,求 x3,1 上的最值；54. 已知函数f xax23x8 ,求 x2, 上的最值；55. 已知函数f x43a x22 xa ,求 x0,1 上的最值；56. 已知函数f xx22t1xt 21 ,当 t 取何值时,函数的最小值为0.57. 已知函数f xx22tx1 ,求 x1,1 上的最大值；58. 已知函数f xx24xa ,在 x0,6上的最大值为 13,求 a 的值；59. 已知函数f xx22ax4 ,在 x0,3上的最小值为1,求 a 的值；60. 已知函数f xx22ax4 ,在 x1,3 上的最大值为 13,求 a 的值；61. 已知函数f xx22ax4 ,在 x1,3 上的值域；62. 已知函数f xx210x30 ,在 xa,a3 上的最小值为 6,求 a的值；63. 已知函数f xx210x30 ,求在 xa,a3 上的最小值；64. 已知f xx 2axa 2,在区间0,1 上的最大值为g a ,求g a 的最小值；