2022年二次函数图像与性质总结2.docx

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1、,如有侵权,请联系网站删除学习资料收集于网络,仅供学习和参考二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式学习资料1. 二次函数基本形式：yax2 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0 ,0x0 时, y 随 x 的增大而增大； xy 轴0时, y 随x 的增大而减小； x0 时, y 有最小值 0 a0向下0 ,0y 轴x0 时, y 随 x 的增大而减小； x0时, y 随a 的肯定值越大,抛物线的开口越小；x 的增大而增大； x0 时, y 有最大值 0 2. yax2c 的性质：上加下减；a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0 ,cx0 时, y 随 x 的增大而

2、增大； xy 轴0时, y 随x 的增大而减小； x0 时, y 有最小值 c x0 时, y 随 x 的增大而减小； x0时, y 随a0向下0 ,cy 轴x 的增大而增大； x0 时, y 有最大值 c 3. ya xh2的性质：左加右减；a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上a0向下h ,0h ,0xh 时, y 随 x 的增大而增大； xh 时, yX=h随 x 的增大而减小； xh 时, y 有最小值 0 xh 时, y 随 x 的增大而减小； xh 时, yX=h随 x 的增大而增大； xh 时, y 有最大值 0 24. ya xhk 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称

3、轴性质a0向上h ,kxh 时, y 随 x 的增大而增大； xh 时, yX=h随 x 的增大而减小； xh 时, y 有最小值 k a0向下h ,kX=hxh 时, y 随 x 的增大而减小； xh 时, y随 x 的增大而增大； xh 时, y 有最大值 k 二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ,确定其顶点坐标h ,k； 保持抛物线yax2 的外形不变,将其顶点平移到h ,k处,详细平移方法如下：y=ax 2向上k0【或向下 k0【或左 h0 【或左 h0 【或下 k0 【或下 k0【或左 h0】平移 |k|个单位y=ax-h2+k2

4、. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”概括成八个字“左加右减,上加下减”方法二： yax2bxc 沿 y 轴平移 :向上（下）平移 m 个单位, yax2bxc 变成2yaxbxcm （或 yax 2bxcm ） yax2bxc 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位, yax 2bxc 变成ya xm 2b xmc （或 yaxm 2b xmc ）三、二次函数2ya xhk 与 yaxbxc 的比较从解析式上看,22ya xhk 与 yax2bxc是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2yaxb 2a4acb2 4a,其中 hb4acb2,k2

5、a4a22四、二次函数yax2bxc 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数yaxbxc 化为顶点式yaxhk ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图. 一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点 0 ,c、以及 0 ,c关于对称轴对称的点2h ,c、与 x 轴的交点x1 ,0 ,x2 ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与 y 轴的交点 .2五、二次函数yaxbxc 的性质1. 当 a0 时,抛物线开口向上,对称轴为xb ,顶点坐标为2ab4acb2,2a4a当 xb

6、2a时, y 随 x 的增大而减小； 当 x2b 时, y 随 x 的增大而增大； 当 xb 2a2a时, y 有最小值4acb4a2bb4acb2. 当 a0 时,抛物线开口向下,对称轴为x,顶点坐标为2a,当2a4axb时, y 随 x 的增大而增大；当 x 2a2b 时, y 随 x 的增大而减小；当 x 2ab 时, y2a有最大值4acb4a2六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：yaxbxc （ a , b , c 为常数, a0 ）；2. 顶点式：ya xh2k （ a , h , k 为常数, a0 ）；3. 两根式：ya xx1 xx2 （ a0 , x1 ,x2 是抛物

7、线与 x 轴两交点的横坐标） .2留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即b4 ac0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数2yaxbxc 中, a 作为二次项系数,明显a0 当 a 当 a0 时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大；0 时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大总结起来, a 打算了抛物线开口的大小和方向,a 的正负打算开口方向,a 的大小

8、决定开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下,b 打算了抛物线的对称轴 在 a0 的前提下,当 b 0 时, 当 b 0 时, 当 b 0 时,b0 ,即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2ab0 ,即抛物线的对称轴就是y 轴；2ab0 ,即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a 在 a0 的前提下,结论刚好与上述相反,即当 b0 时, 当 b0 时,当 b0 时,b0 ,即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2ab0 ,即抛物线的对称轴就是y 轴；2ab0 ,即抛物线对称轴在y 轴的左侧2a总结起来,在 a 确定的前提下,b 打算了抛物线对称轴的位置ab 的符号的判定：对称轴x概括的说就是“左

9、同右异” 总结：3. 常数项 cb 在 y 轴左边就 ab 2a0 ,在 y 轴的右侧就 ab0 , 当 c 当 c 当 c0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 ；0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负总结起来, c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a ,b ,c 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式, 通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点,

10、挑选适当的形式,才能使解题简便 一般来说,有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称ya 2xb x关c于 x 轴对称后,得到的解析式是yax2bxc ；2yaxhk 关于 x 轴对称后,得到的解析式是2yaxhk ；2. 关于 y 轴对称ya 2xb x关c于 y 轴对称后,得到的解析式是yax2bxc ；

11、2yaxhk 关于 y 轴对称后,得到的解析式是2ya xhk ；3. 关于原点对称ya 2xb x关c于原点对称后,得到的解析式是yax2bxc；2yaxh关k 于原点对称后,得到的解析式是2ya xhk ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180）22ya 2xb x关c于顶点对称后,得到的解析式是yaxbxcb；2a2ya xhk 关于顶点对称后,得到的解析式是2ya xhk 5. 关于点m ,n 对称2ya xhk 关于点m ,n对称后,得到的解析式是2ya xh2m2nk依据对称的性质, 明显无论作何种对称变换, 抛物线的外形肯定不会发生变化,因此 a永久不变 求抛物线的对称抛

12、物线的表达式时, 可以依据题意或便利运算的原就, 挑选合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线） 的顶点坐标及开口方向, 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图像参考：y=2x 2y=x 2y=2x 2y=2x-4 2y=3x+4 2y=3x 2y=3x-2 2十x 2y=2y=2x-4 2-3一、y=2 x 2 +2y=2 x 2y=2 x2 -4x 2y= -2y= -x 2y=-2x 2y=-2x+3 2y=-2x 2y=-2x-3 2【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例 1】 求作函数 y1 x224 x6 的图象【解】

13、 y1 x 224x61 x228 x121 x224 2- 41 x224 2 - 2以 x4 为中间值,取x 的一些值,列表如下：x-7-6-5-4-3-2-1y5023-2230522【例 2】 求作函数 yx 24 x3 的图象；【解】 yx 24 x3 x24x3 x2 27 x2 27先画出图角在对称轴x-2-101276543x y2 的右边部分,列表【点评】 画二次函数图象步骤：1配方； 2列表；3 描点成图； 也可利用图象的对称性,先画出函数的左（右）边部分图象,再利用对称性描出右（左）部分就可；二、一元二次函数性质【例 3】 求函数 yx 26 x9 的最小值及图象的对称轴

14、和顶点坐标,并求它的单调区间；【解】yx26 x2x26 x97 x3 27由配方结果可知：顶点坐标为 3,7) ,对称轴为 x3 ；10当 x3 时,ymin7函数在区间, 3上是减函数,在区间3, 上是增函数；【例 4】求函数 y5 x23x1 图象的顶点坐标、对称轴、最值；b2a23534 acb 2,104a4 5413229520 函数图象的顶点坐标为 3 ,102929 ,对称轴为 x202050当 x3时,函数取得最大值1029ymaz20函数在区间 , 3 上是增函数,在区间103, 上是减函数；【点评】 要讨论二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时,方法有两个：(1)

15、配方法；如例3(2) 公式法：适用于不简单配方题目 二次项系数为负数或分数 如例 4,可防止出错；任何一个函数都可配方成如下形式：ya xb 22a4acb 2 a04a【二次函数题型总结】1. 关于二次函数的概念例 1假如函数 ym3 xm23m 2mx1是二次函数, 那么 m的值为；例 2抛物线yx22 x4 的开口方向是；对称轴是；顶点为；2. 关于二次函数的性质及图象Y例 3函数 y2axbxca0 的图象如下列图,-1X就 a、b、c, , abc, abc 的符号O为,例 4 已知 ab c=09a 3b c=0,就二次函数 y=ax2 bx c 的图像的顶点可能在（）（A ） 第

16、一或其次象限（ B）第三或第四象限（ C）第一或第四象限（ D）其次或第三象限3. 确定二次函数的解析式yX=1例 5 已知：函数 yax 2bxc的图象如图：那么函数解析式为（）3（A） y（C） yx 22 x3x 22 x3（ B） y（ D） yx 22 x3x22 x3-13xo4. 一次函数图像与二次函数图像综合考查例 6 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax 2+bx+ca 0, 它们在同一坐标系中的大致图象是.例 7 如图： ABC是边长为 4 的等边三角形, AB在 X 轴上,点 C 在第一象限, AC与 Y轴交于点 D,点 A 的坐标为（ -1 ,0（） 1）求

17、B 、C、D 三点的坐标；（2）抛物线 yax 2bxc经过 B、C、D 三点,求它的解析式；64C2DAOB510【练习题】-6一、挑选题1. 二次函数yx24 x7 的顶点坐标是 A.2, 11B.（ 2, 7）C.（ 2, 11）D.（ 2, 3）2. 把抛物线 y2x2 向上平移 1 个单位,得到的抛物线是（）A. y2 x12B.y2 x12C.y2x 21D.y2x213. 函数ykx2k 和 ykk0 在同始终角坐标系中图象可能是图中的x4. 已知二次函数yax2bxca0 的图象如下列图 , 就以下结论 : a,b 同号 ; 当 x1 和 x3 时, 函数值相等 ; 4ab0

18、当 y2 时,x 的值只能取 0. 其中正确的个数是 A.1 个B.2个C. 3个D. 4个5. 已知二次函数yax2bxca0 的顶点坐标（ -1 ,-3.2 ）及部分图象 如图 ,由图象可知关于 x 的一元二次方程ax2bxc0 的两个根分别是 x1.3和x12（） . B.-2.3C.-0.3D.-3.36. 已知二次函数yax2bxc的图象如下列图,就点ac,bc 在（）A第一象限B其次象限C第三象限D 第四象限7. 方程2 xx22x的正根的个数为（）A.0 个B.1个C.2个.3个8. 已知抛物线过点A2,0,B-1,0,与 y 轴交于点 C, 且 OC=2.就这条抛物线的解析式为

19、A. yx2C.yx2x2x2 或B.yx2x2D.yx2yx2x2x2 或yx2x2二、填空题9. 二次函数yx2bx3 的对称轴是 x2 ,就 b ；10. 已知抛物线 y=-2（ x+3 ）2+5 ,假如 y 随 x 的增大而减小, 那么 x 的取值范畴是.11. 一个函数具有以下性质：图象过点（1,2）,当 x 0 时,函数值 y 随自变量 x 的增大而增大；满意上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可） ；12. 抛物线 y2 x226 的顶点为 C,已知直线ykx3 过点 C,就这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为；13. 二次函数 y22 x4 x1 的图象是由 y22xbx

20、c 的图象向左平移 1 个单位 , 再向下平移 2 个单位得到的 , 就 b=,c=； 14如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16 米,跨度是 40 米,在线段 AB上离中心M处 5 米的地方,桥的高度是 取 3.14.三、解答题：15. 已知二次函数图象的对称轴是(1) 求这个二次函数的解析式;x30 , 图象经过 1,-6,且与 y 轴的交点为 0,5 .2(2) 当 x 为何值时 , 这个函数的函数值为0.(3) 当 x 在什么范畴内变化时 , 这个函数的函数值y 随 x 的增大而增大 .第 15 题图16. 某种爆竹点燃后, 其上上升度 h（米）和时间 t（ 秒）符合关系式2hv0

21、t12gt（ 0t 2）,2其中重力加速度 g 以 10 米/ 秒 运算这种爆竹点燃后以v0=20 米/ 秒的初速度上升,（ 1）这种爆竹在地面上点燃后,经过多少时间离地15 米？（ 2）在爆竹点燃后的1.5 秒至 1.8 秒这段时间内,判定爆竹是上升,或是下降,并说明理由 .17. 如图,抛物线yx2bxc 经过直线 yx3 与坐标轴的两个交点 A、B,此抛物线与x 轴的另一个交点为C,抛物线顶点为 D.（1） 求此抛物线的解析式；（2） 点 P为抛物线上的一个动点,求使的坐标；S APC ：S ACD5 ： 4 的点 P一,挑选题、1 A 2 C 3 A 4 B5 D6 B7C8 C二、填

22、空题、9 b4 10 x -3 11如 y2 x24, y2 x4 等（答案不唯独）12 113 -8 714 15三、解答题15 1 设抛物线的解析式为yax2bxc , 由题意可得b32aabc6解得 a1 ,b3,c5所以 y1 x23x552222c22x1或-52x316（ 1）由已知得,1520t110t 2 ,解得 t3,t1 当 t3 时不合题意,舍去；122所以当爆竹点燃后1 秒离地 15 米（ 2）由题意得, h5t 220t 5t2 220 ,可知顶点的横坐标t2 ,又抛物线开口向下,所以在爆竹点燃后的1.5 秒至 108 秒这段时间内,爆竹在上升17（ 1）直线 yx3 与坐标轴的交点A（3,0）,B（ 0,3）就 93bc0 解得 b2c3c3所以此抛物线解析式为2yx2x3 （ 2）抛物线的顶点 D（1, 4）,与 x 轴的另一个交点 C（ 1, 0） . 设 Pa, a 22a3 ,就 14a22 a3 : 1445: 4 .化简得22a22a35当 a 22a3 0 时,a 22a35 得 a4, a2P（ 4, 5）或 P（ 2, 5）当 a 22a3 0 时,a 22a35 即 a 22a20 ,此方程无解综上所述,满意条件的点的坐标为（4,5）或（ 2, 5）