2022年二项式定理知识点和各种题型归纳带答案.docx

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1、学习资料收集于网络,仅供参考1. 二项式定理：二项式定理学习资料 abnC 0anC1 an1bC r an r brCnbn nN ,nnnn2. 基本概念：r二项式绽开式：右边的多项式叫做abn 的二项绽开式；二项式系数 : 绽开式中各项的系数C n r0,1,2, n .项数：共 r1 项,是关于 a 与 b 的齐次多项式通项：绽开式中的第r1 项C r a n r br叫做二项式绽开式的通项；用TC r an r br表示；nr 1n3. 留意关键点：项数：绽开式中总共有n1 项；次序：留意正确挑选a , b , 其次序不能更换； ab n 与 ban 是不同的；指数： a 的指数从

2、n 逐项减到 0 ,是降幂排列； b 的指数从 0 逐项减到 n ,是升幂排列；各项的次数和等于 n .012rn系数：留意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是数是 a 与 b 的系数（包括二项式系数）；4. 常用的结论：Cn , Cn ,Cn , Cn , Cn . 项的系令 a1,bx,1xnC 0C 1 xC 2 x2C r xrC n xn nN nnnnn令 a1,bx,1x nC 0C 1 xC 2x2C r x r1n C nxn nN nnnnn5. 性质：0nkk 1二项式系数的对称性： 与首末两端 “对距离” 的两个二项式系数相等, 即 CnCn , CnCn二项

3、式系数和：令ab1, 就二项式系数的和为C 0C 1C 2C rC n2n ,nnnnn12rnn变形式 CnCnCnCn21 ；nnnnn奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中,令a1,b1 ,就 C 0C 1C 2C 31nC n11n0 ,从而得到： C 0C 2C 4C 2 rC 1C 3C 2r 112n2 n 1nnnnnnn2奇数项的系数和与偶数项的系数和：n0n01n 12n 22n0n12n axCna xCnaxCn axCn a xa0a1xa 2xanx xanC 0a 0 xnC 1ax n 1C 2a 2 xn 2C n an x0a xna x

4、2a x1annnnn210令x1,就a0a1a2a3ana1nn令x1,就a0a1a 2a3ana1 得,a0a2a4a1n aan2a1na1n1) n奇数项的系数和 得 , a1a3a5an偶数项的系数和 2二项式系数的最大项： 假如二项式的幂指数n 是偶数时, 就中间一项的二项式系数nnC 2 取得最大值；假如二项式的幂指数n 是奇数时,就中间两项的二项式系数取得最大值；n 1Cn 2 ,n 1Cn 2同时系数的最大项：求abx n 绽开式中最大的项,一般采纳待定系数法；设绽开式中各项系数分别为 A , A, A,设第 r1 项系数最大,应有Ar 1Ar,从而解出 r 来；12n 1A

5、A6. 二项式定理的十一种考题的解法： 题型一：二项式定理的逆用；r 1r 2例： C1C 2 6C 362C n6 n 1.nnnnnnnnn解： 16 nC 0C 16C 262C 363Cn6 n 与已知的有一些差距,C 1C 26C 362C n6 n 11 C16C 262C n6 n nnnnnnn61 C 0C 16C 262C n6 n11 16 n11 7 n1nnnn666123n 1n练： Cn3Cn9Cn3Cn.nnnnn解：设S C 13C 29C 33n 1 C n ,就3SC 13C 2 32C 3 33C n 3nC 0C 13C 2 32C 3 33C n 3

6、n113 n1nnnnnnnnnn13nSn14n133题型二：利用通项公式求xn 的系数；例：在二项式 4 1Cn 22x3 x2 n 的绽开式中倒数第3项的系数为 45 ,求含有x3 的项的系数？C解：由条件知n45 ,即n45 ,n2n900 ,解得 n9舍去或n10 ,由1210 r2 rTr410 r3rr4310r2r 1C10 x x C10 x,由题意r3,解得 r6 ,6 110439就含有x3 的项是第 7 项 TC 6 x3210 x3 , 系数为 210 ；练：求x21 绽开式中918 3r2 xx 的系数？解： Tr2 9 rx 1rr18 2r1 rrr1 r,令

7、183r9 , 就 r3r 1C9 C9 x xC9 x9故 x9 的系数为C 32 x221 321 ；22题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式 x2110 的绽开式中的常数项？2x1120 5 r5145解：TC r x2 10r rC r r x2,令 20r 0,得 r8 ,所以 TC88r 110102x229102256练：求二项式2 x1 6 的绽开式中的常数项？2 x解： TC r 2 x 6r 1r 1 r 1r C r 26 r1 r6 2r,令 62r0 ,得 r3 ,所以r 1662 x x 2T 13 C 32046练：如x21 n 的二项绽开式中第 5 项为常

8、数项,就xn .12解： TC 4 x2 n41 4C 4 x2 n,令 2n120 ,得 n6 .5nnx题型四：利用通项公式,再争论而确定有理数项；例：求二项式 x3 x9 绽开式中的有理项？1127 r解： TC r x 2 9 r x 3 r 1r C r x 6,令 27rZ , 0r9 得 r3或 r9 ,r 1996所以当 r3 时, 27r4 , T 13 C 3 x484 x4 ,当 r9 时, 276r3 , T4913 C 9 x3x3 ；1096题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：如 x213 x2n 绽开式中偶数项系数和为256,求 n .解：设

9、x21n3 x2 绽开式中各项系数依次设为a0 , a1,an ,令x1 , 就有a0a1an0, , 令x1, 就有a0a1a2a3n 1 ann2 , 将 - 得：2 a1a3a52n ,a1a3a52 n 1 ,有题意得,2 n 182562 ,n9 ；练：如 3 151 n 的绽开式中,全部的奇数项的系数和为1024,求它的中间项；2xx2nnnnnnn解：C 0C 2C 4C 2rC 1C 3C 2 r 1n 1 ,2n 11024,解得 n11所以中间两个项分别为n6, n7 , TC 5 31 615 5462x 4 , T46261x 155 1nxx26 1n题型六：最大系数

10、,最大项；例：已知 122 x ,如绽开式中第5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求绽开式中二项式系数最大项的系数是多少？nnn解：C 4C 62C 5,n 221n980, 解出 n7或n14,当 n7 时,绽开式中二项式系数最大的项是T4和T5T 的系数3 1 4335 , T 的系数41 3470, 当 n144C7 2522C7 22时,绽开式中二项式系数最大的项是T ,T 的系数71 77；88C14 234322练：在ab2 n 的绽开式中,二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数2n ,就中间一项的二项式系数最大,即T2n12Tn 1 ,也就是第 n1

11、项；练：在 x1 n 的绽开式中,只有第5 项的二项式最大,就绽开式中的常数项是多少？23 x解：只有第 5 项的二项式最大,就n15 ,即 n28, 所以绽开式中常数项为第七项等于61 2C8 72例：写出在 ab7 的绽开式中,系数最大的项？系数最小的项？解：由于二项式的幂指数7 是奇数,所以中间两项 第4,5项 的二项式系数相等,且同时取得最大值,从而有TC 3a 4b3 的系数最小,TC 4a 3b 4 系数最大；4757例：如绽开式前三项的二项式系数和等于79 ,求 122 xn 的绽开式中系数最大的项？解：由 C 0C 1C 279, 解出 n12 , 假设T 项最大, 12 x1

12、21 1212nnnr 114x22AAC r 4 rC r 1 4 r 1r 1r1212,化简得到 9.4r10.4,又0r12 ,r10 ,Ar 1Ar2C r 4 rC r 1 4 r 11212绽开式中系数最大的项为T,有T1 1210101016896 x101111C12 4x 2练：在12 x10 的绽开式中系数最大的项是多少？rrr解：假设Tr 1 项最大,Tr 1C10 2 xAAC r 2 rC r 1 2 r 1211r rr 1r1010解得,化简得到 6.3k7.3 ,又Ar 1Ar2C r 2 rC r 1 2 r 1 ,r1210r 0r10 ,1010r7 ,

13、绽开式中系数最大的项为7TC81027 x715360 x7.题型七：含有三项变两项；例：求当 x23x2 5 的绽开式中 x 的一次项的系数？2525r25 rr解法： x3 x2 x23x , Tr 1C5 x23 x,当且仅当 r1 时, Tr 1 的r125绽开式中才有 x 的一次项, 此时 TTC 1 x22) 4 3x ,所以 x 得一次项为C 1C 4 243 x5454它的系数为C 1C 4243240 ；解法： x23 x2 5 x15 x2 5C 0x5C 1x4C 5 C 0 x5C1x42C 5 2555555545544故绽开式中含 x 的项为C5 xC5 2C5 x

14、2240 x ,故绽开式中x 的系数为 240.练：求式子 x12 3x的常数项？解： x12 3x1 6 ,设第 r1 项为常数项,就xxTC r 1rx 6 r 1 r16 C r6 2rx,得 62r330 , r3 ,T1 C20 .r 16x63 16题型八：两个二项式相乘；例： 求12 x 31x4绽开式中x2的系数 .解：12x3的绽开式的通项是 Cm2 x mCm2mxm ,331x 4的绽开式的通项是Cn xnCn1nxn ,其中 m0,1,2,3, n0,1, 2,3, 4,44令mn2, 就m0且n2, m1且n1,m2且n0,因此12 x3 1x 42002211112

15、200的绽开式中x 的系数等于 C32C41C32C4 1C32C416 .练： 求13 x6 11 10 绽开式中的常数项 .4 x1mn4m 3n解： 13 x6 110 绽开式的通项为 C mx 3C n x 4C m C nx124 x610610m0,m3,m 6,其中m0,1,2,6, n0,1,2,10,当且仅当 4m3n,即或或n0,n4,n 8,时得绽开式中的常数项为C 0C 0C 3C 4C 6C 84246 .610610610练： 已知 1xx2 x1 n的绽开式中没有常数项x3, nN * 且2n8,就n .1nrn r3rrn 4r解： x3 绽开式的通项为xCnx

16、xCnx, 通项分别与前面的三项相乘可得nnnCrxn4 r ,C rxn 4 r1,C rxn 4 r 2 ,绽开式中不含常数项, 2n8n4r 且n4r1且n4r2,即 n4,8且n3,7 且n2,6,n5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；20061232006例： 在 x2 2006的二项绽开式中, 含x的奇次幂的项之和为S,当x2时, S .解： 设 x2=a0a1xa2xa3xa2006 x-x2 2006 =aa x1a x2a x3ax2006-32005012320065得2a1xa3 xa x5ax2005 x2 2006 x2 2006 x2 2006 绽开式的奇次

17、幂项之和为S x1 x22 2006 x3 20062 2006 120062006223008当x2时, S22222222题型十：赋值法；例：设二项式3 3 x1 n 的绽开式的各项系数的和为p ,全部二项式系数的和为s , 如xps272 , 就 n 等于多少？解：如 3 3 x1 naa xa x 2a xn ,有Paaa , SC 0C n2 n ,012nx01nnn令 x1得 P4n ,又 ps272 , 即 4n2n2722 n172 n160 解得2n16或2n17舍去 ,n4 .练：如3x1 xn的绽开式中各项系数之和为64 ,就绽开式的常数项为多少？解：令 x1 ,就 3

18、nnx1的绽开式中各项系数之和为2 x64 ,所以 n6 ,就绽开式的常数6项为 C 3 3x 31 3x540 .2022例： 如12 xaa x1a x2a x3ax2022 xR, 就 a1a2a2022的值为012320222222 2022解： 令x1,可得 aa1a2a20220,a1a2a2022a0220222202202222222在令 x0可得 aa1a21,因而a20221.5432102222 2022练： 如 x25a x5a x4a x3a x2a x1a0, 就a1a2a3a4a5 .解： 令x0得a032, 令x1得a0a1a2a3a4a51,a1a2a3a4a531.题型十一：整除性；例：证明：32n 28n9 nN * 能被 64 整除证： 32 n 28n99 n 18n981n 18 n9CC880n 11nn 1n 1n 12C8n 1n1n 1CC8n 1n 18n9CC880n 11nn 1n 1n 12C8n 18 n118n90n 11nCC88n 1n 1n 12C8n 1由于各项均能被 64 整除2n 23*8n9 nN 能被 64整除