2022年二节二重积分的计算.docx

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1、精品学习资源其次节 二重积分的运算 一欢迎下载精品学习资源分布图示 利用直角坐标系运算二重积分 关于积分限的确定 例1 例 2 例3 例4 例 5 例6 例7 交换二重积分次序的步骤 例 8 例9 例10 例 11 例12 例13 利用对称性和奇偶性化简二重积分的运算 例14 例 15 例16 例17 内容小结 课堂练习 习题 10 -2 返回欢迎下载精品学习资源内容要点一、 在直角坐标系下二重积分的运算对型区域：，有2.2对型区域：，有2.3二、 交换二次积分次序的步骤1）对于给定的二重积分先依据其积分限画出积分区域 D 图9-2-13 ）；2）依据积分区域的外形，按新的次序确定积分区域D

2、的积分限3）写出结果三、 利用对称性和奇偶性化简二重积分的运算利用被积函数的奇偶性及积分区域D 的对称性，常会大大化简二重积分的运算.在例 5中我们就应用了对称性来解决所给问题.欢迎下载精品学习资源犹如在处理关于原点对称的区间上的奇偶）函数的定积分一样，在利用这一方法时，要同时兼顾到被积函数的奇偶性和积分区域 D 的对称性两方面 .例题选讲在直角坐标系下二重积分的运算例 1E01 ） 运算其中 D是由直线及所围成的闭区域.解一 如图，将积分区域视为型,解二 将积分区域视为型,例 2 运算, 其中是由直线和所围成的闭区域 .解如图 ,既是型,又是型.如视为型,就原积分如视为型，就其中关于的积分运

3、算比较麻烦，故合理挑选积分次序对重积分的运算特别重要.例3E02 ） 运算二重积分其中 D是由抛物线及直线所围成的闭区域.解如图 ,既是型，也是型.但易见挑选前者运算较麻烦，需将积分区域划分为两部分来运算，故挑选后者.欢迎下载精品学习资源例 4E03 ） 运算其中D 由及y轴所围 .解 画出区域的图形 .将表成型区域 ,得因的原函数不能用初等函数表示.所以我们要变换积分次序.将表成型区域 ,得例 5E04 ） 运算其中D 为.解例 6 运算二重积分其中区域是由,所围成的矩形 .解如图，由于是矩形区域 ,且所以例 7E05 ） 求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.解成的立体的体

4、积 .及利用立体关于坐标平面的对称性,只要算出它在第一卦限部分的体积然后再乘以 8即可 .如图 .易见所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为它的顶是柱面于是 ,欢迎下载精品学习资源故所求体积为交换二次积分次序的步骤例 8 交换二次积分的积分次序 .解题设二次积分的积分限:可改写为 :所以例 9E06 ） 交换二次积分的积分次序 .解题设二次积分的积分限:可改写为 :所以例 10E07 ） 证明其中 a、b均为常数 , 且.证等式左端二次积分的积分限:可改写为所以例 11E08 ） 交换二次积分的积分次序 .解题设二次积分的积分限:可改写为所以原式欢迎下载精品学习资源例 12 交

5、换二次积分的积分次序 .解题设二次积分的积分限:由原式例 13 运算积分解不能用初等函数表示 ,先转变积分次序 .题设二次积分的积分限 :可改写为，所以利用对称性和奇偶性化简二重积分的运算例14E09 ）运算其中积分区域由曲线与所围成 .解令由于关于轴对称 ,且故例 15 运算其中解法一 先对积分 ,积分区域欢迎下载精品学习资源故解法二 先对 积分，积分区域故解法三 利用对称性 ,由于积分域关于轴对称，且函数关于 是奇函数 ,所以又故例 16E10 ） 运算其中区域解由于关于轴和轴对称，且关于 或关于为偶函数注:如直接在上求二重积分，就要繁琐许多.例 17 证明不等式其中证 由于关于对称，所以，故又由于及而的面积为 1.由二重积分性质 ,有课堂练习欢迎下载精品学习资源1. 变换以下二次积分的次序：2. 运算其中 D是由直线及双曲线所围成的区域 .3. 运算二次积分欢迎下载