2022年人教版七级上第一章有理数知识点总结及易错题 .docx

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1、新课标人教版数学七年级（上）学问要点概括第一章 有理数1. （ 1）正数： 大于零的数；（ 2）负数： 小于零的数 （在正数前面加上负号“” 的数）； 留意： 0 既不是 正数也不是 负数,它是正负数的分界点；对于正数和负数,不能简洁懂得为带“+”号的数是正数 ,带“”号的数是 负数；字母 a 可以表示任意数,当 a 表示正数时, -a 是负数；当a 表示负数时, -a 是正数； 当 a 表示 0 时, -a 仍是 0；正数有时也可以在前面加“ +”,有时“ +”省略不写；所以省略“ +”的正数的符号是正号；2. 有理数的概念正整数、 0、负整数 统称为整数；正分数和负分数统称为分数；正整数,

2、 0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数；懂得 ：只有能化成 分数的数 才是有理数； 是无限不循环小数 ,不能写成 分数 形式, 不是 有理数；有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是 有理数；-a 不肯定 是负数, +a 也不肯定 是正数；3. 有理数的分类按有理数的定义分类按性质符号来分正整数正整数整数 0正有理数负整数正分数有理数有理数0（ 0 不能忽视）正分数负整数分数负有理数负分数负分数总结：正整数、 0 统称为非负整数（也叫自然数） 负整数、 0 统称为非正整数 正有理数、 0 统称为非负有理数 负有理数、 0 统称为非正有理数 0 是整数 不是分数；4

3、. 规定了 原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴；留意 ：数轴是一条向两端无限延长 的直线；原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不行；同一数轴上的 单位长度 要统一；（4）数轴一般取 右（或向 上）为正方向,数轴的原点的选定,正方向的取向,单位长度大小的确定都是依据实际需要规定的；5. 数轴上的点与有理数的关系全部的有理数都可以用数轴上的点 来表示,正有理数可用原点右侧 的点表示,负有理数可用原点 左侧 的点表示, 0 用原点 表示；全部的有理数都可以用数轴上的点 表示出来,但数轴上的点不都 表示有理数,也就是说, 有理数与数轴上的点不是一一对应关系；（如,数轴上的点 不是有理数）6

4、. 数轴的画法（1） 画一条直线,在这条直线上任取一个点作为原点 ；（2） 通常规定直线上从原点向右（或左）为正方向,从原点向左（或右）为负方向；（ 3）选取适当的长度为 单位长度 ,直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示 1,2, 3,；从原点向左,用类似的方法依次表示-1 , -2 , -3 ,.7. 利用数轴表示两数大小在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大；正数都 大于 0,负数都 小于 0,正数 大于 负数；两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小；8. 数轴上特殊的最大（小）数最小的自然数是0,无最大的自然数；最小的正整数是1,无最大的正整数；最大的负整数

5、是 -1 ,无最小的负整数9. a 可以表示什么数a0 表示 a 是正数 ；反之, a 是正数,就 a0；a0 表示 a 是负数 ；反之, a 是负数,就 a0 时, -a 0（正数的相反数是 负数 ）当 a0（负数的相反数是 正数 ）当 a=0 时, -a =0,（ 0 的相反数是 0）17. 多重符号的化简多重符号的化简规律 : “+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略；“- ”号的个数打算最终化简结果；即：“- ”的个数是 奇数 时,结果为 负, “- ”的个数是 偶数 时,结果为 正；18. 一般地,数轴上表示 数 a 的点与原点的距离叫做 a 的肯定值,记作 |a| ,读作： a

6、 的肯定值 .19. 由于数的肯定值是表示两点之间的距离 ,如： |a-b|表示数轴上 a 点到 b 点的距离 ；所以一个数的肯定值不行能是负数 ；即：任何数的肯定值都是非负数 （0 的肯定值是 0）20. 肯定值的运算规律：（ 1） 互为相反数的两个数的肯定值相等ab ab ,就 a=b 或 a=-b ；ab0,就a0, b0 ab0, 就a0,b（ 2） 如（3） 如021. 肯定值的代数定义1） 一个正数的肯定值是它本身2） 一个负数的肯定值是它的相反数3） 0 的肯定值是 022. 可用字母表示为：假如 a0,那么 |a|= a；假如 a0,那么 |a|= -a ；假如 a=0,那么

7、|a|= 0； 可归纳为： a0 |a|=a （非负数的肯定值等于本身 ；肯定值等于本身的数是非负数；）a0 |a|=-a（非正数的肯定值等于其相反数 ；肯定值等于其相反数的数是非正数；）23. 肯定值的性质任何一个有理数的肯定值都是非负数 ,也就是说肯定值具有非负性；所以,a 取任何有理数,都有 |a| 0；0的肯定值是 0；肯定值是 0 的数是 0. 即： a=0 |a|=0 ；一个数的肯定值是 非负数 ,肯定值最小的数是0. 即： |a| 0； 任 何 数 的 绝 对 值 都 不 小 于 原 数 ； 即 ： 即 ： |a| a ；a1a0a；a1a0a；肯定值是相同正数的数有两个,它们互

8、为 相反数 ；即：如 |x|=a （ a0）,就 x=a；互为相反数的两数的肯定值相等 ；即： |-a|=|a|或如 a+b=0 ,就 |a|=|b|；留意：|a| |b|=|ab|,a ab b ；肯定值相等的两数 相等或互为相反数 ；即： |a|=|b|,就 a=b 或 a=-b ；如几个数的肯定值的和等于0,就这几个数就同时 为 0；即|a|+|b|=0,就 a=0 且 b=0；（非负数的常用性质：如几个非负数的和为0,就有且只有这几个非负数同时为 0）24. 有理数大小的比较利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小；利用肯定值比较两个负数的大小：两个负数比较大

9、小,肯定值大的反而小 ；异号两数比较大小, 正数大于负数 ；（3） 正数的肯定值越大,这个数越大；（4） 正数永久比 0 大,负数永久比 0 小；（5） 正数大于一切 负数 ；（6） 大数 - 小数 0 ,小数 - 大数 0.25. 已知一个数的肯定值,求这个数一个数 a 的肯定值就是数轴上表示数a 的点到 原点的距离 ；一般地,肯定值为同一个正数的有理数有两个,它们互为 相反数 ,肯定值为 0 的数是 0, 没有肯定值为 负数 的数；26. 有理数的加法法就同号两数相加,取 相同 的符号,并把 肯定值相加 ；肯定值不相等的异号两数相加,取肯定值较大的 加数的符号,并用较大的肯定值减去较小的肯

10、定值 ；互为相反数的两数相加,和为零；一个数与 0 相加,仍得 这个数 ；27. 有理数加法的运算律加法交换律： a+b=b+a加法结合律： a+b+c=a+b+c28. 在运用运算律时,肯定要依据需要敏捷运用,以达到化简的目的,通常有以下规律：互为相反数的两个数先相加“相反数结合法”；符号相同的两个数先相加“同号结合法”；分母相同的数先相加“同分母结合法”；几个数相加得到整数,先相加“凑整法”；整数与整数、小数与小数相加“同形结合法”；29. 有理数减法法就减去一个数,等于加上这个数的相反数 ；用字母表示为：a-b= a+-b；30. 有理数加减法统一成加法的意义在有理数加减法混合运算中,依

11、据有理数减法法就,可以将减法转化成加法后,再依据加法法就进行运算；在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式；如： -8+-7+-6+5=-8-7-6+5.31. 有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧： . 把符号相同的加数相结合（同号结合法）-33-18+-15-+1+23原式 =-33+18+-15+-1+23（将减法转换成加法）=-33+18-15-1+23（省略加号和括号）=-33-15-1+18+23（把符号相同的加数相结合）=-49+41（运用加法法就一进行运算）=-8（运用加法法就二进行运算）. 把和为整数的加数相结合（凑整法）+6.6+-

12、5.2-3.8+-2.6-+4.8原式 =+6.6+-5.2+3.8+-2.6+-4.8（将减法转换成加法）=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8（省略加号和括号）=6.6-2.6+-5.2-4.8+3.8（把和为整数的加数相结合）=4-10+3.8（运用加法法就进行运算）=7.8-10（把符号相同的加数相结合,并进行运算）=-2.2（得出结论）. 把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）- 5 - 2 + 4 - 5 + 2 - 832113711原式 =- 5 - 5 +-2 + 2 +4 - 8 =-1+0-8 =-1 8. 既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）

13、131原式 =+ 8 +34 +-38 +1023 +-11131214 = 8 +3 4 -3 8 +10 3 -1 4311121211313217312+0.125-34 +-38 -103 -+1.25=3 4 -1 4 + 8 -3 8 +10 3 =2 2 -3+10 3 =-3+13 6 =10 6. 把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）1617-3 5 +10 11-12 22 +4 1517614118157原式 =-3+10-12+4+-5 + 15 + 11 - 22 =-1+ 15 + 22 =-1+ 30 + 30. 分组结合2-3-4+5+6-7-8+9+66 -6

14、7-68+69原式 =2-3-4+5+6-7-8+9+66 -67-68+69=0. 先拆项后结合（1+3+5+7+99） - （2+4+6+8+100）32. 有理数的乘法法就=-30两数相乘,同号得正,异号得 负,并把 肯定值相乘 ；（“ 同号得正,异号得负”专指“两数相乘”的情形,假如因数超过两个,就必需运用法就三）任何数同 0 相乘,都得 0；几个不是0 的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数 ；负因数的个数是奇数时, 积是 负数 ；几个数相乘,假如其中有因数为0, 就积等于 0.33. 乘积是 1的两个数 互为倒数,其中一个数叫做另一个数 的倒数,用式子表示为1111a a =1（

15、a0）,就是说 a 和 a 互为倒数,即a 是 a 的倒数, a 是 a 的倒数；0 没有倒数；求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母 点颠倒位置即可；求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数 ,再把 分子、分母 颠倒位置；正数的倒数是 正数 ,负数的倒数是 负数 ；（求一个数的倒数,不转变这个数的性质）；倒数等于它本身的数是1 或-1 , 不包括 0；如 ab=1a、b 互为倒数 ；如 ab=-1a 、b 互为负倒数 .34. 有理数的乘法运算律乘法交换律： ab=ba乘法结合律： abc=abc.乘法安排律： ab+c=ab+ac35. 有理数的除法法就（1） 除以一个不等 0

16、的数,等于 乘以这个数的倒数； 留意： 零不能做除数,（2） 两数相除,同号得 正, 异号得 负,并把 肯定值 相除；（3） 0 除以任何一个不等于0 的数,都得0；36.有理数的乘除混合运算即a 无意义0.（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法 ,然后确定 积的符号 ,最终求出结果；（ 2）有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,就依据先乘除,后加减的次序进行；37. 有理数的乘方nn求 n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂；在 aa中, a 叫做 底数, n 叫做指数 ；222（1） a 是重要的 非负数 ,即 a 0；如 a +|b|=0a=0,b=0 ；n（

17、2） 据规律0.12121020.011100n底数的小数点移动一位,平方数的小数点移动二位1（3） 的结果： n 为奇数时, =-1 ； n 为偶数时, n1nn=1；138. 乘方的性质（ 1）负数的奇次幂是 负数 ,负数的偶次幂的 正数 ；留意：当n 为正奇数时 : -ann当 n 为正偶数时 : -a= a.（2）正数的任何次幂都是正数, 0 的任何正整数次幂都是0；39.有理数的混合运算,应留意以下运算次序：1. 先乘方,再乘除,最终加减；2. 同级运算,从左到右进行；3. 如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行；40. 科学记数法=-a ,把一个大于10 的数

18、表示成a10na10n 的形式（其中 1a10 1a10 , n 是正整数）,这种记数法是科学记数法41. 近似数的精确位：一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位.42. 有效数字： 从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,全部数字,都叫这个近似数的有效数字 .有理数运算中的常见错误示例一、概念不清例 1运算:15+-6-|-5|.错解 : 原式 =15-6+5=14.错解分析： 错在没有弄清 -5与-|-5|的区分 .-5表示 -5的相反数 , 为 5; 而-|-5|表示 -5 的肯定值的相反数,-5的肯定值为 5,5 的相反数是 -5.正解 : 原式 =15-6-5

19、=4.2342例 2运算:93.6929错解 : 原式 =43.3错解分析： 此解错在混淆了乘方和有理数乘法的概念. 需知23 表示 222 , 其结果为 -8, 因此 ,2 绝不是指数和底数相乘.89212正解 : 原式 =43.二、错用符号例 3运算:-5-8-2.错解 : 原式 =-5-16=-21.错解分析： 错在先将 8 前面的“ - ”当成性质符号 , 后来又当成运算符号重复使用, 切记不行这样重复用 .正解 1: 如把 -8 中的“ - ”当成性质符号 , 就可得以下过程 :原式 =-5+- 8 -2=-5+16=11.正解 2: 如把 -8 中的“ - ”当成运算符号, 就可得

20、以下过程 :原式 =-5-16=-5+16=11.三、项动符号不动3 15 32 18214.5例 4运算:3443.错解 : 原式 =12311385214334425 13114 15 11116 1=322=3=3 .错解分析： 在解答此题时 , 应先观看数字的特点, 将小数进行转化, 并使分母相同的分数合并运算 . 在运用加法交换律时肯定要记住, 项动其符号也肯定要随之而动. 错解在移动8 23 一项时 , 漏掉了其符号 .正解 : 原式 =1231138521433442123 114 1=22=-12+11=-1.四、对负带分数懂得不清64 78例 5运算:864786417187

21、8 7错解 : 原式 =8=64 7888 =64764 =64 .错解分析： 错在把负带分数8 懂得为8 , 而负带分数中的“ - ”是整个带分数的性质符号 , 把764648 看成78 才是正确的 . 与之类似 ,7864 也不等于7864 .647864171878 7正解 : 原式 =8=888 =64 =64 .五、考虑不全面例 6已知| -1|=5,就 的值为 .A.6B.-4C.6或-4D.-6或 4错解 : 由| -1|=5可得 -1=5, 解得 =6. 选 A.错解分析： 一个数的肯定值等于5, 就这个数可能为正 , 也可能为负 , 所以 - 1=5, 解得 =6 或-4.正

22、解 : 选 C.六、错用运算律例 7运算:112263973.错解 : 原式 =111212639637633111=71842 =18731126=9 .错 解 分 析 ： 由 于 受 乘 法 分 配 律 b+c= b+c的 影 响 ,错 误 地 认 为b+c= b+ c, 这是不正确的 .1718421631正解 : 原式 =63636363=6331 =31 .七、违反运算次序4116例 8运算:8.错解 : 原式=4-2=-2.错解分析： 此题是乘除运算 , 应按从左到右的次序进行, 而错解是先运算1168,这样就违反了运算次序.正解 : 原式=4- 8 16= -512.212例 9

23、运算:53216.2错解 : 原式 =25-2=25-4=21.132 2错解分析： 在运算 16时, 错误地先进行乘法运算. 事实上应当先算乘方 , 再算乘除 .正解 : 原式 =2511 02416=25-64=-39.有理数典型错题示例2 1 31一、例 1运算： 1 ） -19.3 0.7 ； 223错解： （ 1） -19.3 0.7 -20 ；21 2 2113 23 21112 错解分析： （ 1）这是没有把握有理数加法法就的常见错误对于肯定值不同的异号两数相加,如何定符号和取和的肯定值,初学时要特殊当心2 ）混合运算中,同级运算31应从左往右依次进行此题应先除后乘,这里先算了3

24、 ,是不按法就造成的运算错误正解： 1 -19.3十 0.7 -18.6 ；2113 232321113321136 3二、例 2运算： 142 ； 20.2 2错解： （ 1） 4 （ -4（-4 16； 230.2 -0.8 2错解分析： （ 1） 4 ,表示 4 的平方的相反数,即4 - （44）,它与4 22不同,两者不能混淆0.232表示 -0.2的三次方小数乘方运算应留意运算结果的小数点位置3正解： （ l ） 42 -16 ； 2 0.2 -0.008 三、例 3运算： 131 8223 ； 221 221 32 22 1错解： （ 183 4 ；221 2222122 4 14

25、 错解分析： ：带分数相乘（或乘方）必需先把带分数化成假分数后再运算 118 11 3 2正解： （ 1）原式8333 ； 5 2 256 12 ）原式244 四、例 4已知： a 2, b 3,求ab 错解： 由于 a 2, b 3,所以 a 2, b 3所以ab 5错解分析： 此题错在最终一步,此题应有四个解错解中只留意同号两数相加,忽视了仍有异号两数相加的情形正解： 前两步同上,所以ab 5,或a b 1五、例 5以下说法正确选项（）A0 是正整数（ B0 是最小的整数C0 是最小的有理数（ D0 是肯定值最小的有理数错解： 选 A错解分析： 0 不是正数,也不是负数,0 当然不在正整数

26、之列；再就,在有理数范围之内,没有最小的数 正解： 选 D六、例 6按括号中的要求,用四舍五入法取以下各数的近似值：l57.898（精确到 O.01 ； 20.057988（保留三个有效数字）错解： （157.898 57.9 ；20.057988 0.058错解分析： （ 157.898 精确到 0.01 ,在百分位应有数字 0,不能认为这个小数部分末尾的 O是无用的正确的答案应为 57.90 留意 57.9 和 57.90 是精确度不同的两个近似数2 ）发生错解的缘由是对“有效数字”概念不清有效数字是指一个由四舍五入得来的近似数,从左边第一个不是0 的数字起,到末位数字为止的全部数字,都叫

27、这个数的有效数字因此0.057988 保留三个有效数字的近似值应为0.0580 ,而 0.058 只有两个有效数字七、例 7挑选题：l肯定值大于 10 而小于 50 的整数共有（）A39 个（B40 个（ C78 个（ D80 个2 不大于 10 的非负整数共有（）A8 个（ B9 个（ C10 个（ D11 个错解： （ 1D 2C错解分析： l10到 50 之间的整数（不包括10 和 50 在内）共 39 个, -50 到-10 之间的整数也有39 个,故共有 78 个此题错在考虑不周密2 这里有两个概念：一是“不大于”,二是“非负整数”前一概念不清,会误以为是0 至 9 十个数字；后一概

28、念不清,会误会为是1 至 10 十个数字,都会错选（ C正解： lC 2D八、例 8运算：12233489 233445910 1 2 2 3 3 4 8 9 错解： 原式23344591012233489 233445910 1 9 22105 .错解分析： 肯定值符号有括号的功能,但不是括号肯定值符号的绽开必需按肯定值意义进行；特殊是肯定值号内是负值时,绽开后应取它的相反数这是一个难点,应特殊当心12正解： 由于 2302 3, 3403 4, 450,890910 1 2 2 3 3 48 9 所以原式233445910122334 23344589910 1 9 22105 有理数的乘

29、方错解示例一、例 1 用乘方表示以下各式：（ 1） 5 5 5 5 ；（ 2）22223333错解：（ 1）； 5 5 5 554422222（ 2）33333 .错解分析： 求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方.（ 1）错在混淆了 5454 所表示的意义 .4 5的底数是 -5 ,表示 4 个-5相乘,与即 5 5 5 5 ,而54 表示 5555 .424224（ 2 ）错在最终结果没有加上括号. 实际上3 与 3的意义是不同的,3 表示22223,而 2 43表示22223333 .正解：（ 1）； 5 5 5 55422222 4（ 2）33333.12 008二、例 2 运算：（1）

30、32；（ 2）. 12 008错解：（ 1）2 008 236；（ 2）.错解分析： 错解（ 1）（ 2）的缘由都是没有真正懂得乘方的意义,把指数与底数相乘了. 实际上, 12 008表示 2 008 个-1 相乘,3 2表示 3 个-2 相乘.2 0083正解：（ 1） 11 ；（ 2） 28 .三、例 3 运算：（1）532；（ 2）232；（ 3）3 255；（ 4） 32.3 22错解： （ 1）532224；（ 2 ）2326236 ；（ 3 ）5395；（ 4 ）. 329错解分析： 以上错误都是由于没有依据正确的运算次序进行运算造成的. 有理数的运算应先算乘方,再算乘除,最终算加

31、减.正 解 ： （ 1）532594； （ 2）2322918； （ 3）3 299555255 ；（4） 329.2321 22四、例 4 运算：21322.321错解：22222132491199 2744.329224,13219.错解分析： 错解中显现了以下错误：24实际上,329224,13222 224.321正解：2222213249 1418119.24科学记数法、近似数和有效数字的失误点示例.一、将一个数用科学记数法表示时显现错误例 1. 生物学家发觉一种病毒的长度约为0.000 043mm. 用科学记数法表示这个数的结果为（） A. 4.3 10 4B.4.3 10 5C.

32、4.3 10 6D.4310 5错解： 选 A 或选 D.错 解 分 析： 小于 1 的很 小的数用科学记 数法来 表示成a10 n时 , a 的范 围仍是1 a10 . n 的值等于从左到右第一个不是零的数字前全部零的个数, 正确答案应当选 B.二、与近似数有关的错误1. 近似数精确度的确定例 2.2.86 103 精确到位.错解： 精确到百分位 .错解分析： 这种应用科学记数法表示的数在确定其精确到哪一位时,应看其最终一位有效数字在原数中的位置. 由 2.86 103 =2 860 ,知原数中 6 在十位上,故2.86 103 精确到十位 . 错误的缘由主要是忽视了103 所表示的数位 ,

33、其实 ,103 表示的是千位 ,所以整数 2在千位上 , 8在百位上 , 6在十位上 .2. 近似数的取舍例 3. 用四舍五入法求 0.85149 精确到千分位的近似数.错解： 0.852 .错解分析：错误的缘由是两次使用四舍五入法求近似数,即将 0.85149 先四舍五入得n0.8515 ,精确到万分位 ,然后再四舍五入得0.852 ,精确到千分位,实际上正确结果应为 0.851.四、科学记数法 10 中 和 n 值的确定例 4据统计,全球每分钟约有8 480 000 t污水排入江河湖海,将这个排污量用科学记数法表示应是t错解： 8 480 000 t=848104t 4错解分析： 84810 不符合科学记数法的表示形式,即必需满意 1 10 这一条件6正解： 8 480 000 t=8.4810t n点拨： 解答这道题的关键在于正确确定科学记数法10 中 和 n 的值 是整数位数只有 1 位的数,而 n 的确定方法为 n=原数的整数位数1.