2022年Euler法和改进的Euler法实验报告.pdf

《2022年Euler法和改进的Euler法实验报告.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年Euler法和改进的Euler法实验报告.pdf（4页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、解：1)当步长 h=时编写程序如下所示clfclearclc% 直接求解微分方程y=dsolve(Dy=-5*y, y(0)=1, t)%Euler 法h=;t=0:h:1;n=length(t);u=zeros(1,n);u(1)=1;zbu(1,1)=t(1);zbu(2,1)=u(1);for i=2:n f=-5*u(i-1); u(i)=u(i-1)+h*f; zbu(1,i)=t(i); zbu(2,i)=u(i);endzbu% 改进的 Euler 法v=zeros(1,n);v0=zeros(1,n);v(1)=1;zbv(1,1)=t(1);zbv(2,1)=v(1);for

2、 i=2:n f=-5*v(i-1); v0(i)=v(i-1)+h*f; v(i)=v(i-1)+h/2*(f-5*v0(i); zbv(1,i)=t(i); zbv(2,i)=v(i);endzbvplot(t,u,r*, markersize,10)hold on,plot(t,v,r., markersize,20)hold on,ezplot(y,0,1)精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - - hold on,title(Eul

3、er法和改进的 Euler 法比较（ h=） ),grid onlegend( Euler法 , ? 改进的 Euler 法 , 解析解 )% 解真值h=;t=0:h:1;n=length(t);for i=1:n y(i)=1/exp(5*t(i); %通过第一部分程序直接解得的解析解 zby(1,i)=t(i); zby(2,i)=y(i);endzby我们可以得到计算后的结果图像如图一所示图 1 Euler法和改进的 Euler 法比较（ h=）同时，我们得到 Euler 法，改进的 Euler 法和解析解的在各点处数值分别如下所示：t 坐标欧拉改进欧拉真值表 1 Euler法和改进的

4、Euler 法在各点数值比较（ h=）为了比较 Euler 法和改进的 Euler 法的算法精度，在这里我们利用相对误差的概念进行评判。对于Euler 法和改进的 Euler 法的每个的估计值有：从而我们可以通过计算得到如下的相对误差表：t 坐标欧拉0 改进欧拉0 表 2 Euler 法和改进的 Euler 法在各点相对误差比较（h=）为了评定算法精度，我们对每种算法的在所有点处的相对误差求平均，可以得到 Euler 法的平均相对误差为， 改进的 Euler 法的平均相对误差为。 由此我们可以得出改进的欧拉法的算法进度更高。2) 当步长 h=时程序编写如下clfclearclc精品资料 - -

5、 - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - - % 直接求解微分方程y=dsolve(Dy=-5*y, y(0)=1, t)%Euler 法h=;t=0:h:1;n=length(t);u=zeros(1,n);u(1)=1;zbu(1,1)=t(1);zbu(2,1)=u(1);for i=2:n f=-5*u(i-1); u(i)=u(i-1)+h*f; zbu(1,i)=t(i); zbu(2,i)=u(i);endzbu% 改进的 Euler 法v=ze

6、ros(1,n);v0=zeros(1,n);v(1)=1;zbv(1,1)=t(1);zbv(2,1)=v(1);for i=2:n f=-5*v(i-1); v0(i)=v(i-1)+h*f; v(i)=v(i-1)+h/2*(f-5*v0(i); zbv(1,i)=t(i); zbv(2,i)=v(i);endzbvplot(t,u,r*, markersize,10)hold on,plot(t,v,r., markersize,20)hold on,ezplot(y,0,1)hold on,title(Euler法和改进的 Euler 法比较（ h=） ),grid onlegend

7、( Euler法 , ? 改进的 Euler 法 , 解析解 )% 解真值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - - h=;t=0:h:1;n=length(t);for i=1:n y(i)=1/exp(5*t(i); %通过第一部分程序直接解得的解析解 zby(1,i)=t(i); zby(2,i)=y(i);endzby计算后的结果图像为图 1 Euler法和改进的 Euler 法比较（ h=）同时，我们得到 Euler 法，改进的 E

8、uler 法和解析解的在各点处数值分别如下所示：t 坐标欧拉改进欧拉真值t 坐标欧拉改进欧拉真值表 1 Euler法和改进的 Euler 法在各点数值比较（ h=）此时，求出两种算法的相对误差的平均值分别为：Euler 法改进的 Euler 法由此可见改进的 Euler 法的算法精度高于Euler 法。由以上的分析我们可以得出如下结论：1. Euler法和改进的 Euler 法相比较，改进的Euler 法的计算精度更高，相对误差也比较小。 因此在求解微分方程的数值解时，改进的 Euler 法优于 Euler法。2. 在上述两种方法中当步长h 越小则计算精度越高，相对误差较小。因此，计算能力允许的范围内，选取步长越小可以得到更加精确的结果。3. 在利用这两种方法计算数值解的过程中，前一次迭代的结果会对下一轮求得的数值产生影响。因此，一旦上一轮迭代所得的结果有偏差，下一轮结果的偏差将大于上一轮的偏差。因此会导致伴随迭代次数的增加而产生更大的偏差。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -