2022年人教版九级数学下二次函数最全的中考二次函数知识点总结精编版 .docx

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1、最新资料举荐人教版九年级数学二次函数在中考中学问点总结- 9 -一、相关概念及定义1 二次函数的概念： 一般地, 形如yax2bxc（ a ,b ,c 是常数, a0 ）的函数,2叫做二次函数；这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数可以为零二次函数的定义域是全体实数a0 ,而b ,c2二次函数yaxbxc 的结构特点：（1） ）等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式, x 的最高次数是 2（2） ） a ,b ,c 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项二、二次函数各种形式之间的变换1 二次函数 yax 2bxb4acb 2c 用配方法可化成：ya xh 2

2、k 的形式,其中h, k.2a4a22 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式：yax 2 ； yax 2k ； ya xh； ya xh 2k ； yax 2bxc .三、二次函数解析式的表示方法21 一般式：yax2bxc （ a , b , c 为常数, a0 ）；2 顶点式：ya xhk （ a , h , k 为常数, a0）；3 两根式：ya xx1 xx2 （ a0 , x1 , x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .24留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即b4ac0 时,抛物线的解析式才可

3、以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.四、二次函数yax2bxc 图象的画法1 五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc 化为顶点式ya xh2k ,确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标, 然后在对称轴两侧, 左右对称地描点画图 .一般我们选取的五点为： 顶点、与 y 轴的交点 0,c、以及 0,c关于对称轴对称的点 2h ,c、与 x 轴的交点x1 ,0,x2 ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点） .2 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与 y 轴的交点.五、二次函数 yax2 的性质a 的符号开口方向顶点坐标对称性质轴x0

4、时, y 随 x 的增大而增大； x0 时,a0向上0 ,0y 轴y 随 x 的增大而减小； x0 时, y 有最小值 0 x0 时, y 随 x 的增大而减小； x0 时,a0向下0 ,0y 轴y 随 x 的增大而增大； x0 时, y 有最大2值 0 六、二次函数yaxc 的性质a 的符号开口方向顶点坐标对称性质轴x0 时, y 随 x 的增大而增大； x0 时,a0向上0 ,cy 轴y 随 x 的增大而减小； x0 时, y 有最小值c x0 时, y 随 x 的增大而减小； x0 时,a0向下0 ,cy 轴y 随 x 的增大而增大； x0 时, y 有最大七、二次函数ya xh2的性质

5、：值c a 的符号开口方向顶点坐标对称性质轴xh 时, y 随x 的增大而增大； xh 时,a0向上a0向下h ,0h ,0X=hX=hy 随 x 的增大而减小； xh 时, y 有最小值0 xh 时, y 随x 的增大而减小； xh 时,y 随 x 的增大而增大； xh 时, y 有最大值0 八、二次函数2ya xhk 的性质a 的符号开口方向顶点坐标对称性质轴xh 时, y 随x 的增大而增大； xh 时,a0向上h ,ka0向下h ,kX=hX=hy 随 x 的增大而减小； xh 时, y 有最小值k xh 时, y 随x 的增大而减小； xh 时,y 随 x 的增大而增大； xh 时,

6、 y 有最大值k 九、抛物线yax2bxc 的三要素：开口方向、对称轴、顶点 .1 a 的符号打算抛物线的开口方向：当下；a 0 时,开口向上；当 a0 时,开口向a 相等,抛物线的开口大小、外形相同 .2 对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作 xb.特殊地, y 轴记作直线 x0.2a3 顶点坐标：（b 4acb 2,）2a4a4 顶点打算抛物线的位置 .几个不同的二次函数,假如二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.十、抛物线 yax 2bxc 中,a, b, c 与函数图像的关系1 二次项系数 a二次函数yax2bxc中, a 作为二次项系数

7、,明显 a0 当a大； 当a大0 时,抛物线开口向上, a 越大,开口越小,反之 a的值越小,开口越0 时,抛物线开口向下, a 越小,开口越小,反之 a的值越大,开口越总结起来, a 打算了抛物线开口的大小和方向,a 的正负打算开口方向, a 的大小打算开口的大小2 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下, b 打算了抛物线的对称轴 在a0 的前提下,当b0 时, 当b0 时,当b0 时,b0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；2ab0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2ab0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧2a 在 a0 的前提下,结论刚好与上述相反,即当b0 时, 当b0 时,当

8、b0 时,b0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；2ab0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2ab0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧2a总结起来,在 a 确定的前提下, b 打算了抛物线对称轴的位置 总结：3 常数项 c 当 c坐标为正； 当 c坐标为 0 ； 当 c坐标为负0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵总结起来, c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a ,b ,c 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的

9、 十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法1 公式法： y2ax2bxc2a xb 2a4acb 24a,顶点是（b4ac,2a4ab ）,对称轴是直线 xb .2a2 配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为ya xh 2k 的形式,得到顶点为 h , k ,对称轴是直线 xh .3 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.十二、用待定系数法求二次函数的解析式1 一般式： y2axbxc .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值,通常挑选

10、一般式 .2 顶点式： y2a xhk .已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式.3 交 点 式 ： 已 知图 像 与 x 轴 的交 点 坐标x1 、x2 , 通 常选 用 交点 式：ya xx1xx2 .十三、直线与抛物线的交点1 y 轴与抛物线 yax 2bxc 得交点为 0, c .2 与 y 轴 平行 的 直 线 xh 与 抛 物 线 yax2bxc有 且 只有 一 个 交 点 h , ah 2bhc .3 抛物线与 x 轴的交点 :二次函数 yax 2bxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x 、x ,是对应一元二次方程ax2bxc0 的两个实数根 .抛物线与 x 轴的交12点情

11、形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在x 轴上）0抛物线与 x 轴相切；没有交点0抛物线与 x 轴相离.4 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 .当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,就横坐标是ax 2bxck 的两个实数根 .5 一次函数 ykxn k0 的图像 l 与二次函数 yax 2bxc a0 的图像 G的交点,由方程组yk xnya 2xb x的解的数目来确定：方程组有两组不同的c解时l 与G 有两个交点 ; 方程组只有一组解时l 与G 只有一个交点；方程组无

12、解时l 与G 没有交点 .6 抛物线与 x 轴两交点之间的距离：如抛物线yax2bxc与 x 轴两交点为A x1,0 , B x2,0,由于 x1、 x2 是方程bcax 2bxc0 的两个根,故x1x2, x1x222aa2b4cb24acABx1x2x1x2x1x24x1x2aaaa十四、二次函数图象的对称 :二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式表达1 关于 x 轴对称ya 2xb x关c于 x 轴对称后,得到的解析式是yax2bxc ；2ya xhk 关于 x 轴对称后,得到的解析式是2ya xhk ；22 关于 y 轴对称ya xb x关c于 y 轴对称后,得到的解析

13、式是2yaxbxc；2ya xh3 关于原点对称k 关于 y 轴对称后,得到的解析式是2yaxhk ；ya 2xb x2关c于原点对称后,得到的解析式是yax2bxc ；2yaxh4 关于顶点对称关k 于原点对称后,得到的解析式是yaxhk ；222ya xb x关c于顶点对称后,得到的解析式是yaxbxcb；2a2ya xh5 关于点 m,nk 关于顶点对称后,得到的解析式是对称2ya xhk 2ya xhk关 于 点m ,n对 称 后 , 得 到 的 解 析 式 是2ya xh2m2nk总结：依据对称的性质,明显无论作何种对称变换, 抛物线的外形肯定不会发生变化, 因此 a 永久不变 求抛

14、物线的对称抛物线的表达式时, 可以依据题意或便利运算的原就,挑选合适的形式, 习惯上是先确定原抛物线 （或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式 十五、二次函数图象的平移1.平移步骤：2 将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk ,确定其顶点坐标 h ,k； 保持抛物线如下：yax 的外形不变, 将其顶点平移到 h,k处,详细平移方法y=ax2向上k0【或向下k0【或左h0【或左h0【或下k0【或下k0【或左h0】平移|k|个单位y=ax-h2+k2 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移； k 值正上移,负下

15、移 ”概括成八个字“左加右减,上加下减 ”十六、依据条件确定二次函数表达式的几种基本思路；1. 三点式；（1） ）已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（ 3 ,0）,B（ 2点,求抛物线的解析式；3 ,0）,C（0,-3）三（2） ）已知抛物线 y=ax-1+4 , 经过点 A（2,3）,求抛物线的解析式；2. 顶点式；（ 1）已知抛物线 y=x2-2ax+a2+b 顶点为 A（ 2, 1）,求抛物线的解析式；（ 1）已知抛物线 y=4x+a2-2a的顶点为（ 3, 1）,求抛物线的解析式；3. 交点式；（1） ）已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（ 3,0）,5,0,求抛物线 y=x-

16、ax-b 的解析式；（2） ）已知抛物线线与 x 轴两个交点（ 4,0）,（1,0）求抛物线 y= 1 ax-2ax-b2的解析式；4. 定点式；（1） ）在直角坐标系中, 不论 a 取何值, 抛物线y1 x225a x 22a2 经过 x轴上肯定点 Q,直线 ya2 x2 经过点 Q,求抛物线的解析式；2（2） ）抛物线 y= x+2m-1x-2m 与 x 轴的肯定交点经过直线y=mx+m+4 ,求抛物线的解析式；（3） ） 抛物线 y=ax2+ax-2 过直线 y=mx-2m+2 上的定点 A,求抛物线的解析式；5. 平移式；（1） ）把抛物线 y= -2x2 向左平移 2 个单位长度,再

17、向下平移 1 个单位长度, 得到抛物线 y=a x-h2 +k,求此抛物线解析式；（2） ）抛物线 yx2x3 向上平移 ,使抛物线经过点 C0,2,求抛物线的解析式 .6. 距离式；（1） ）抛物线 y=ax2+4ax+1a0与 x 轴的两个交点间的距离为 2,求抛物线的解析式；（2） ）已知抛物线 y=m x2+3mx-4mm 0与 x 轴交于 A、B 两点,与 轴交于 C点,且 AB=BC, 求此抛物线的解析式；7. 对称轴式；（1） ）抛物线 y=x2-2x+m2-4m+4与 x 轴有两个交点, 这两点间的距离等于抛物线顶点到 y 轴距离的 2 倍,求抛物线的解析式；（2） ）已知抛物

18、线 y=-x 2+ax+4, 交 x 轴于 A,B（点 A 在点 B 左边）两点,交 y 轴于点 C,且 OB-OA=8. 对称式；3 OC,求此抛物线的解析式；4（1） ）平行四边形 ABCD 对角线 AC 在 x 轴上,且A（-10,0）,AC=16,D（2, 6）；AD 交 y 轴于 E,将三角形 ABC 沿 x 轴折叠,点 B 到 B1 的位置,求经过 A,B,E 三点的抛物线的解析式；（2） ）求与抛物线 y=x2+4x+3 关于 y 轴（或 x 轴）对称的抛物线的解析式；9. 切点式；（1） ）已知直线 y=ax-a2a 0与抛物线 y=mx2 有唯独公共点, 求抛物线的解析式；2（2） ） 直线 y=x+a 与抛物线y=ax式；10. 判别式式；+k 的唯独公共点 A（2,1）,求抛物线的解析2（1） ）已知关于 X 的一元二次方程（m+1）x求抛物线 y=-x2+m+1x+3 解析式；+2m+1x+2=0 有两个相等的实数根,（2） ）已知抛物线 y=a+2x2-a+1x+2a 的顶点在 x 轴上,求抛物线的解析式；