2022年人教版高中数学知识点总结新课标人教A版高中数学必修4知识点总结知识讲解 .docx

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1、人教版高中数学学问点总结： 新课标人教A 版高中数学必修 4 学问点总结精品文档高中数学必修 4 学问点总结第一章：三角函数1.1.1、任意角1、 正角、负角、零角、象限角 的概念.收集于网络,如有侵权请联系治理员删除2、 与角 终边相同的角的集合：2k,kZ .1.1.2、弧度制1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角 .2、l .r3、弧长公式 ： ln RR .1804、扇形面积公式 ： Sn R 21 lR .36021.2.1、任意角的三角函数1、 设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P x, y,那么：siny,cosyx,tanx2、 设点A x , y为角 终

2、边上任意一点,那么：（设rx2y2 ）siny , cosx , tany , cotxrrxyyTP3、sin, cos, tan在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线： MP;余弦线： OM;正切线： AT 4、 特别角 0,30 ,45,60,OMA x90 ,180 ,270 等的三角函数值.064322334322sincos tan1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、 平方关系 ： sin 22、 商数关系 ： tancos 21 .sin.cos3、 倒数关系： tancot11.3 、三角函数的诱导公式（概括为 “ 奇变偶不变,符号看象限” kZ ）sin2ksin,1

3、、诱导公式一 ：cos2kcos, （其中：kZ）tan2ktan.2、诱导公式二 ：sin cossin cos,tantan.3、诱导公式三 ：sin cos tansin,cos, tan.sinsin,4、诱导公式四 ：cos tancos,tan.5、诱导公式五 ：6、诱导公式六 ：sin2cos2sin2cos2cos,sin.cos,sin.1.4.1 、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：y=sinx-52y37-2 122ox-4 -72-3-2-3 -2-1225342y=cosx-5y-137-3-4 -722-2-322o-12232254x22、能够

4、对比图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性 .3、会用五点法作图 .ysin x 在x0, 2 上的五个关键点为：0 0103,-1）（,2,0）.（ ,）（, ,）（, ,）（,221.4.3 、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象：yy=tanx- 3-o3x22222、记住余切函数的图象：yy=cotx-o2232x23、能够对比图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.周期函数定义 ：对于函数 f x ,假如存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f xTf x

5、 ,那么函数f x 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期 .图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质ysin xycosxytan x图象定义域RR x | xk, kZ2值域-1,1-1,1Rx2k最值, kZ时, ymax12x2kx2k, kZ时, ymax, kZ时, y1min1无x2k, kZ时,2ymin1周期T2性T2T奇偶奇偶奇性在2 k单调增, 2k2 上单调递2在2 k增,2 k 上单调递在k, k 上单调性在3上单调递在2 k,2 k22递增 上单调递kZ2 k减,2k22减对称对称轴方程： xk对称轴方程： xk无对称轴性kZ对称中心 k2, 0对称中

6、心 k, 02k对称中心 2, 01.5 、函数 yAsinx的图象1、对于函数：yAsinxB A0,0有：振幅 A,周期 T2,初相 ,相位 x,频率1fT2.2、能够讲出函数ysinx的图象与yAsinxB 的图象之间的平移伸缩变换关系 . 先平移后伸缩：ysinx 平移 | 个单位ysin x（左加右减）横坐标不变yAsin x纵坐标不变yAsinx坐标变为原先的 | 1 | 倍平移 | B| 个单位（上加下减）yAsinxB纵坐标变为原先的 A 倍横 先伸缩后平移：ysinx横坐标不变yAsin x纵坐标变为原先的 A 倍纵坐标不变yAsinx横坐标变为原先的1| 倍平移个单位yAs

7、inx（左加右减）平移 | B| 个单位yAsinxB（上加下减）3、三角函数的周期,对称轴和对称中心函数 ysinx ,xR及函数 ycosx , x RA,为常数,且 A0 的周期2T；函数 y|tanx , xk, kZ A, ,为常数,且 A0 的周期 T.2|对于 yAsinx 和 yAcosx 来说, 对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系.求函数yA sinx 图像的对称轴与对称中心,只需令xk kZ 与2xkkZ 解出 x即可. 余弦函数可与正弦函数类比可得 . 4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特点： Aymaxymin , B2ymax2ymin .要依据周期来求 ,

8、要用图像的关键点来求 .1.6 、三角函数模型的简洁应用1、 要求熟识课本例题 .第三章、三角恒等变换3.1.1 、两角差的余弦公式记住 15的三角函数值：sincostan23626212443.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、 sin 2、 sin 3、 cos4、 cossin sin coscoscos cos coscoscos cos sinsinsin sin sinsin5、 tan 6、 tantantan1 tantan.tantan1 tantan.3.1.3 、二倍角的正弦、余弦、正切公式21、 sin 22 sincos,变形：sincos1 sin 2

9、.2、 cos 2cos2sin 22 cos 212 sin 21.变形如下：升幂公式：1cos 22cos 21cos 22sin 2降幂公式：cos2 sin 21 1cos 221 1cos 22精品文档3、 tan 22 tan.1tan24、 tansin 21cos 21cos 2sin 23.2 、简洁的三角恒等变换1、留意 正切化弦、平方降次 .2、帮助角公式yasin xbcosxa 2b2sin x（其中帮助角所在象限由点 a,b 的象限打算 , tanb .a其次章：平面对量2.1.1、向量的物理背景与概念1、 明白四种常见向量： 力、位移、速度、加速度 .2、 既有大

10、小又有方向的量叫做 向量.2.1.2、向量的几何表示1、 带有方向的线段叫做 有向线段 ,有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.uuur2、 向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度（或称 模）,记作 AB ；长度为零的向量叫做零向量；长度等于 1 个单位的向量叫做 单位向量 .3、 方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量（或共线向量） . 规定：零向量与任意向量平行.2.1.3 、相等向量与共线向量1、 长度相等且方向相同的向量叫做 相等向量 .2.2.1 、向量加法运算及其几何意义1、 三角形加法法就 和平行四边形加法法就 .收集于网络,如有侵权请联系治理员删除精品文档2、 ab a

11、b .2.2.2 、向量减法运算及其几何意义1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的相反向量 .2、 三角形减法法就 和平行四边形减法法就 .2.2.3 、向量数乘运算及其几何意义1、 规定：实数与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘 . 记作：a ,它的长度和方向规定如下： aa ,当0 时,a 的方向与 a 的方向相同；当0时,a 的方向与 a 的方向相反 .2、 平面对量共线定理 ：向量 a a0 与b共线,当且仅当有唯独一个实数,使 ba .2.3.1 、平面对量基本定理收集于网络,如有侵权请联系治理员删除1、 平面对量基本定理 ：假如e1 ,e2是同一平面内的两个

12、不共线向量,那么对于这一平面内任一向量 a ,有且只有一对实数1 ,2 ,使 a1 e12 e2 .2.3.2 、平面对量的正交分解及坐标表示1、 axiy jx, y .2.3.3 、平面对量的坐标运算1、 设 ax1, y1 , bx2 , y2,就： abx1x2 , y1y2 , abx1x2 , y1y2 , ax1,y1 , a / bx1 y2x2 y1.2、 设A x1, y1, B x2 , y2,就：ABx2x1 , y2y1 .2.3.4 、平面对量共线的坐标表示1、设A x1 , y1 , Bx2 , y2 ,Cx3 , y3 ,就线段 AB中点坐标为x1 x2 2,y

13、1 y2 2ABC的重心坐标为x1 x 23x 3 , y1y 2y3.32.4.1 、平面对量数量积的物理背景及其含义1、 a ba b cos.2、 a 在 b 方向上的投影为： a cos.223、 aa.24、aa.5、 aba b0 .2.4.2、平面对量数量积的坐标表示、模、夹角1、 设 ax1, y1 , bx2 , y2,就： a bx1x2y1 y2xy22 a11rrrr aba b0rrrrx1x2y1 y20 a / / babx1 y2x2y102、 设A x1, y1, B x2 , y2,就：x22ABx21y2y1.3、两向量的夹角公式rra bcosrrx1x

14、2y1 y2a bx 2y 2x 2y 211224、点的平移公式平移前的点为Px, y （原坐标）,平移后的对应点为P x , y （新坐标）,平移向量为uuur PP h, k ,就x xhy yk.r函数 yf x 的图像按向量 a h, k 平移后的图像的解析式为ykf xh.2.5.1 、平面几何中的向量方法2.5.2 、向量在物理中的应用举例学问链接：空间向量空间向量的很多学问可由平面对量的学问类比而得. 下面对空间向量在立体几何中证明, 求值的应用进行总结归纳 .1、直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量：uuuruuur如 A、B 是直线 l 上的任意两点,就 AB为直线

15、l 的一个方向向量；与 AB平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量 .平面的法向量：rr如向量 n 所在直线垂直于平面,就称这个向量垂直于平面,记作 nrrn,那么向量 n 叫做平面 的法向量 .,假如 平面的法向量的求法（ 待定系数法） ： 建立适当的坐标系r设平面的法向量为 n x, y, zrur求出平面内两个不共线向量的坐标aa1, a2, a3 , bb1,b2, b3 rrn a0依据法向量定义建立方程组rr.n b0解方程组,取其中一组解,即得平面的法向量 .（如图）2、 用向量方法判定空间中的平行关系线线平行rrrrrr设直线l1, l2 的方向向量分别是 a 、b ,就要

16、证明 l1 l2 ,只需证明 a b ,即 akbkR .即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线 .线面平行rr（法一）设直线 l 的方向向量是 a ,平面的法向量是 u ,就要证明 l ,只需证明rrrrau ,即 a u0 .即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可 .面面平行rrrrrr如平面的法向量为 u,平面的法向量为 v ,要证 ,只需证 u v ,即证 uv .即：两平面平行或重合两平面的法向量共线 . 3、用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直rr设直线 l

17、1, l2 的方向向量分别是 a 、b ,就要证明 l1rrrrl2 ,只需证明 ab ,即a b0 .即：两直线垂直两直线的方向向量垂直 .线面垂直rrr（法一）设直线 l 的方向向量是 a ,平面的法向量是 u ,就要证明 l,只需证明 arrr u ,即 au .ruruur（法二）设直线 l 的方向向量是 a ,平面内的两个相交向量分别为m 、n ,如rura m0 rra n0,就l.即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直 .面面垂直rrrrrr如平面的法向量为 u ,平面的法向量为 v ,要证,只需证 uv ,即证 u

18、 v0 .即：两平面垂直两平面的法向量垂直 .4、利用向量求空间角求异面直线所成的角已知 a, b 为两异面直线, A,C 与 B,D 分别是uuur uuur AC BDa, b 上的任意两点,a, b 所成的角为,就cosuuur uuur .AC BD求直线和平面所成的角定义： 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角rrr求法： 设直线 l 的方向向量为 a ,平面的法向量为 u ,直线与平面所成的角为, a 与ru 的夹角为, 就 为 的余角或的补角的余角.即有：rra usincosr. a u求二面角定义： 平面内的一条直线把平面分为两个部分,其中

19、的每一部分叫做半平面；从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点 O,分别在两个半平面内作射线AOl , BO如图：l ,就 AOB 为二面角l的平面角 .urrurr求法： 设二面角l的两个半平面的法向量分别为 m 、n ,再设 m 、n 的夹角为,urr二面角l的平面角为,就二面角为m 、n 的夹角 或其补角.依据详细图形确定是锐角或是钝角：urrm n假如 是锐角,就 coscosur rm n即arccos ur r；m n 假如 是钝角,就 coscosurrm nur r ,m nur

20、rm nur r ,m n即arccosur r.m n5、利用法向量求空间距离点 Q到直线 l 距离rruuur如 Q为直线 l 外的一点 , P 在直线 l 上, a 为直线 l 的方向向量, b=PQ,就点 Q到直线 l 距1rr2rr 2离为hr| a | a | b|a b 点 A 到平面的距离如点 P 为平面外一点,点 M 为平面内任一点,ruuurr平面 的法向量为 n ,就 P 到平面的距离就等于 MP 在法向量 n 方向上的投影的肯定值 .uuurr uuuur即dMP cos n, MPuuur MPr uuur n MP r uuur n MPruuur n MP rn直

21、线 a 与平面之间的距离当一条直线和一个平面平行时,直线上的各点到平面的距离相等.由此可知,直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离,即转化为点面距离.r uuur n MP即 dr. n两平行平面 ,之间的距离利用两平行平面间的距离到处相等,可将两平行平面间的距离转化为求点面距离. ruuurn MP即 dr. n异面直线间的距离r设向量 n 与两异面直线ra, b 都垂直,Ma, Pb, 就两异面直线uuura,b 间的距离 d 就是 MP 在向量n 方向上投影的肯定值 .ruuur n MP即dr. n6、三垂线定理及其逆定理三垂线定理： 在平面内的一条直线,假如它和这个平面的

22、一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直推理模式：POPA Ia,OPAaPA, aOAO概括为：垂直于射影就垂直于斜线 .Aa三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线,假如和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直PO推理模式： PA Ia,OAaAO,aAP概括为：垂直于斜线就垂直于射影.7、三余弦定理设 AC是平面内的任一条直线, AD是的一条斜线 AB在内的射影,且 BDAD,垂足为 D.设 AB与AD 所成的角为1 cos 2 .1 , AD 与 AC所成的角为2 , AB 与 AC所成的角为就 coscosBA12DC8、面积射影定理S已知平面S射 ,平面内一个多边形的面积为 S S原 ,它在平面与平面所成的二面角的大小为锐二面角内的射影图形的面积为,就cosSSSS原=射 .9、一个结论长度为 l 的线段在三条两两相互垂直的直线上的射影长分别为l1、l 2、 l3 ,夹角分别为123、 、, 就有l 2l 2l 2l 2cos2cos2cos21sin2sin2sin22 .123123123（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.