2022年《经济数学基础》秋期末复习文本.docx

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1、精品学习资源经济数学基础 12期末复习文本2021-12考核方式： 本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合，成果由形成性考核作业成果和期末考试成果两部分组成，其中形成性考核作业成果占考核成果的 30%，期末考试成果占考核成果的 70%试卷类型： 单挑选题 15%，填空题 15，解答题 70 内容比例： 微积分占 58%，线性代数占 42%考试时间： 90 分钟复习建议：1. 复习依据：（1） 重点是本复习文本中的综合练习题（与期末复习小蓝本中的综合练习题基本一样，只是删去了部分非考试重点内容，把这部分内容把握了，考试就没有问题）（2） 作业 1-4（隐函数求导、微分方程考试不做重点，可略

2、去，（3） 往届考试卷留意：以上三方面的内容重复的较多，所以复习量并不大；2. 虽然试卷中给出了导数、积分公式，但要在复习时通过文本中的练习题有意识的记记，要把公式中的 x 念成 u，并留意幂函数有两个特例1x =2x，1xx1 ;21 dx x2xC,x1 dx21x（ C ）当公式记，考试时才能尽快找到公式并娴熟应用；导数的运算重点要把握导数的四就运算法就和复合函数求导法就；积分的运算重点是凑微分和分部积分法（要记住常见凑微分类型、分部积分公式）；3. 代数中的两道运算题要赐予足够的重视，关键是要娴熟把握矩阵的初等行变换（求逆矩阵，解矩阵方程，方程组的一般解，必需要动手做题才能把握！）欢迎

3、下载精品学习资源一、单项挑选题微分学部分综合练习欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1. 函数 yxlg x的定义域是（）1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A x1 B x0 C x0 D x1且 x0欢迎下载精品学习资源2. 以下各函数对中，（）中的两个函数相等欢迎下载精品学习资源2A. f xx ，g xxB. f xx1 ， g xx + 1欢迎下载精品学习资源2x1欢迎下载精品学习资源C. yln x2 ，g x2 ln xD. f xsin 2 xcos2x ， g x1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3. 设f x1 ，就xf f x（）欢迎下载精品学习资源欢迎

4、下载精品学习资源A 1B 1xx 2C xD x2欢迎下载精品学习资源4. 以下函数中为奇函数的是（）欢迎下载精品学习资源A yx2x B yexe x C yln x x1 D y1x sin x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5. 已知f xx tan x1 ，当（）时，f x 为无穷小量 .欢迎下载精品学习资源A. x0B. x1 C. xD. x6. 当x时，以下变量为无穷小量的是（）欢迎下载精品学习资源2A xB ln1x1C e x2D sin x欢迎下载精品学习资源x1xsin x , x0欢迎下载精品学习资源7. 函数f xxk, x0在 x = 0 处连续，就 k =

5、 欢迎下载精品学习资源A-2B-1C1D2欢迎下载精品学习资源8. 曲线 y1在点（ 0, 1）处的切线斜率为（）x1欢迎下载精品学习资源A 1B 1C1D1欢迎下载精品学习资源33222 x12 x1欢迎下载精品学习资源9. 曲线ysinx在点0, 0处的切线方程为（）欢迎下载精品学习资源A. y = xB. y = 2xC. y =1 xD. y = -x2欢迎下载精品学习资源10. 设 ylg2x ，就 d y（）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A 12 x1dxBdx x ln10C ln10 dxxD 1 dxx欢迎下载精品学习资源11. 以下函数在指定区间 ,上单调增加的是

6、（）AsinxBe xCx 2D 3 - x欢迎下载精品学习资源12. 设需求量 q 对价格 p 的函数为q p32p ，就需求弹性为 Ep=（）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源pA32ppB32p32pCp32pDp欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源二、填空题1. 函数 f xx2 ,2x1,05x0的定义域是x2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2. 函数f xln x51的定义域是2x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3. 如函数f x110 xx210 x2x5 ，就f x欢迎下载精品学习资源4. 设 f5. limx x x2sin x.x，就函数的图形关于

7、对称欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源6. 已知f x1sinxx，当时，f x 为无穷小量欢迎下载精品学习资源7. 曲线 yx 在点 1, 1 处的切线斜率是留意：肯定要会求曲线的切线斜率和切线方程，记住点斜式直线方程yy0f x0 xx0欢迎下载精品学习资源8. 函数 y3 x1 2 的驻点是 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源9. 需求量 q 对价格 p 的函数为q p100pe 2 ，就需求弹性为 Ep欢迎下载精品学习资源三、运算题（ 通过以下各题的运算要娴熟把握导数基本公式及复合函数求导法就！ 这是考试的 10 分类型题 ）欢迎下载精品学习资源1. 已知 y2 xcos

8、 x ，求xy x 2已知f x2x sin xln x ，求 f x 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3已知 ycos2xsin x 2 ，求y x 4已知 yln 3 xe 5 x ，求y x 欢迎下载精品学习资源5已知 y52 cos x ，求y 2；6设 yecos2 xxx ，求 dy欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源7设 yesin xcos5x，求 dy 8设 ytanx32 x ，求 dy 欢迎下载精品学习资源四、应用题（ 以下的应用题必需娴熟把握！这是考试的20 分类型题 ）欢迎下载精品学习资源1. 设生产某种产品 x 个单位时的成本函数为：Cx1000.25x

9、26x （万元） ,欢迎下载精品学习资源求：（ 1）当 x10 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量 x 为多少时，平均成本最小？2. 某厂生产一批产品，其固定成本为2000 元，每生产一吨产品的成本为 60 元，对这种产品的市场需求规律为 q100010 p （ q 为需求量， p 为价格）试求：（1）成本函数，收入函数；（ 2）产量为多少吨时利润最大？ 3某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为 Cq = 20+4q+0.01q2（元），单位销售价格为 p = 14-0.01q（元/件），试求：（1） 产量为多少时可使利润达到最大？（ 2）最大利润是多少？欢迎下载精品学习资源4. 某

10、厂每天生产某种产品q 件的成本函数为C q0.5q 236q9800 （元） .为使平均欢迎下载精品学习资源成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？q2欢迎下载精品学习资源5. 已知某厂生产 q 件产品的成本为 C q25020q本最少，应生产多少件产品？（万元）问：要使平均成10欢迎下载精品学习资源参考解答一、单项挑选题1D2D3C4C5A6 D7 C8 A9A10 B11 B12B二、填空题欢迎下载精品学习资源1 5,2 2 -5, 2 3 x 26 4 y 轴 516 x0 7y 10.5 8 x19 p2欢迎下载精品学习资源三、运算题欢迎下载精品学习资源1. 解：xy

11、 x2cos xx2 ln 2x sin x2cos xxx sin x2 ln 2cos x2欢迎下载精品学习资源xxx欢迎下载精品学习资源2. 解f x2 x ln 2sin x2 x cos x1 x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3. 解y xsin 2 x 2 x cosx 2 x 2 2 x sin 2 x ln 22 x cos x2欢迎下载精品学习资源4. 解：y x3ln2xln xe5x5x3ln 2 x x5e 5 x欢迎下载精品学习资源5. 解： 由于 y52 cos x 52cos x ln 5 2cosx2 sin x52cosx ln 5欢迎下载精品学习资

12、源欢迎下载精品学习资源所以 y 22 sin 2 cos 522ln 52 ln 5欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源6. 解： 由于 y2ecos2 x sin 2 x13 x 22所以 dy 2ecos 2 x sin 2 x13 x 2 dx2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源7. 解： 由于 yesin x sin x5 cos4xcos xesin xcos x5 cos4x sin x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以 dyesin x cosx5cos4xsin xdx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源13x3 x2x欢迎下载精品学习资源8. 解： 由

13、于 y3 x2cos23 x x2ln 2xcos 2 x 32ln 2欢迎下载精品学习资源所以 dycos 2 x32 x ln 2dx欢迎下载精品学习资源四、应用题21. 解 （1）由于总成本、平均成本和边际成本分别为：欢迎下载精品学习资源Cx1000.25x6x C x100x0.25x6 ， C x0.5 x6欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以，C101000.25102610185欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C 10100100.2510618.5 ， C100.510611欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（2） 令 C x100x 20.250 ，得

14、x20 （ x20 舍去）欢迎下载精品学习资源由于 x20 是其在定义域内唯独驻点，且该问题的确存在最小值，所以当x20 时，平均成本最小 .2解 （1）成本函数 Cq = 60 q +2000欢迎下载精品学习资源由于 q100010 p ，即 p1001 q ， 10欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以收入函数 R q = pq = 100110q q =100 q1 q 2 10欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 2）利润函数 L q = Rq - C q =100q1 q 2 - 60 q +2000 = 40 q - 11010q 2 -2000欢迎下载精品学习资源且

15、L q =40 q - 110q 2 -2000 =40-0.2 q欢迎下载精品学习资源令 L q = 0，即 40- 0.2 q = 0，得q = 200，它是 L q 在其定义域内的唯独驻点所以， q = 200 是利润函数 L q 的最大值点，即当产量为 200 吨时利润最大欢迎下载精品学习资源3. 解（1）由已知 Rqpq140.01q14q0.01q 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源利润函数 LRC14q0.01q 2204q0.01q 210q200.02q 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就 L100.04q ，令 L100 .04q0 ，解出唯独驻点 q25

16、0 .欢迎下载精品学习资源由于利润函数存在着最大值，所以当产量为250 件时可使利润达到最大，（2）最大利润为欢迎下载精品学习资源L25010250200.02250225002012501230（元）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4. 解 由于 CqCq0.5 q369800q0欢迎下载精品学习资源qq欢迎下载精品学习资源C q0.5 q369800 0.598002欢迎下载精品学习资源qq9800令 C q0 ，即 0 .5q 2=0，得 q1=140， q2 = -140（舍去） .q1=140 是Cq 在其定义域内的唯独驻点，且该问题的确存在最小值.所以 q1 =140 是平

17、均成本函数 C q 的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为欢迎下载精品学习资源140 件. 此时的平均成本为C 1400.5140369800140176 （元/件）欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5解 由于 Cq = C q = 25020q ， C q = 25020q =2501欢迎下载精品学习资源qq10q10q210欢迎下载精品学习资源令 C q =0，即 25010 ，得 q150， q2 =-50（舍去），欢迎下载精品学习资源q 210q1=50 是 Cq 在其定义域内的唯独驻点所以， q1 =50 是 C q 的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50 件产品积分

18、学部分综合练习题一、单项题1. 以下等式不成立的是（） 正确答案： A欢迎下载精品学习资源A exdxdex Bsinxdxdcosx欢迎下载精品学习资源C1dxdx2xD lnxdxd 1 x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2. 如f xdxxe 2c ，就 f x=（）. 正确答案： D欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源xA. e 2B. 1 e2x2 C.x1 e 2 D.4x1 e 24欢迎下载精品学习资源留意：主要考察原函数和二阶导数3. 以下不定积分中，常用分部积分法运算的是（）正确答案： C欢迎下载精品学习资源A cos2x1dx B x1x2 dx欢迎下载精品学习

19、资源欢迎下载精品学习资源C x sin 2xdx Dxdx1x 2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4. 如1f xex dx1e xc ，就 f x =（） 正确答案： C欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A 1 B -x1 C 1xx2D- 1x 2欢迎下载精品学习资源5. 如 F x 是 f x 的一个原函数，就以下等式成立的是 正确答案： B欢迎下载精品学习资源xA. f xdxaF x Bxf xdxaF xF a欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源bCF xdxaf bf a Dbf xdxaF bFa欢迎下载精品学习资源6. 以下定积分中积分值为 0 的是（） 正

20、确答案： A欢迎下载精品学习资源1 exA1edx Bx21 ex 1edxx2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C x3cos xdx D x 2sin xdx欢迎下载精品学习资源7. 以下定积分运算正确选项（） 正确答案： D欢迎下载精品学习资源1A2xdx162 Bdx15欢迎下载精品学习资源11欢迎下载精品学习资源C 22sinx dx0 Dsin xdx0欢迎下载精品学习资源8. 以下无穷积分中收敛的是（）正确答案： C欢迎下载精品学习资源A. ln xdx B10exdx C11 dx Dx21dx13 x欢迎下载精品学习资源9. 无穷限积分11x 3 dx=（） 正确答案：

21、 C欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源A0B二、填空题1C21D.2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源e1. dx 2 应当填写：e x2 dx欢迎下载精品学习资源dx留意：主要考察不定积分与求导数（求微分）互为逆运算，肯定要留意是先积分后求导（微分）仍是先求导（微分）后积分；欢迎下载精品学习资源2. 函数f xsin 2 x 的原函数是 应当填写： -1 cos2x + c2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源3. 如 fx 存在且连续，就 df x 应当填写：f x欢迎下载精品学习资源留意：此题是先微分再积分最终在求导；欢迎下载精品学习资源4. 如f xdx x1 2c ，

22、就f x.应当填写：2x1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源5. 如f xdxF xc ，就e x f ex dx =.应当填写：F e x c欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源留意：f d FC, 凑微分e x dxde x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源6. d dxe2ln x11) dx.应当填写： 0欢迎下载精品学习资源留意：定积分的结果是“数值”，而常数的导数为0欢迎下载精品学习资源17 积分21 xx1) 2 dx 应当填写： 0欢迎下载精品学习资源留意：奇函数在对称区间的定积分为0欢迎下载精品学习资源8 无穷积分01dx 是 应当填写：收敛的 x1 2欢迎下

23、载精品学习资源三、运算题（ 以下的运算题要娴熟把握！这是考试的10 分类型题）欢迎下载精品学习资源x 241x2dx 解：x24x2dx =x2dx = 1 x222 xc欢迎下载精品学习资源2. 运算sin 1x dx 解：sin 1x dx1 1cos 1c欢迎下载精品学习资源x22 x dxx 22 x dxsindxxx2欢迎下载精品学习资源3. 运算解：2xx2 x dx2 xcln 2欢迎下载精品学习资源4 运算x sin xdx 解：x sin xdxx cosxcosxdxx cosxsin xc5 运算 x1ln xdx解： x1ln xdx =12ln xd x1 =212

24、 x12 ln x12 x21xdx =1 x12 ln x2 x 22xlnx12x 24 x21 dx x1 x2212 ln xx4xln xC =12xc1x116 运算2 e1x2dx 解：2 ex1x 2dx =21e xd x11e x2e1e 21e21271x 1ln xdx 解：e11dx =e21ln xe2d1lnx = 2 1ln x= 2 3 1x1ln x1118 2 x cos 2 xdx 解：002 x cos2xdx= 1 x sin 2x 2 - 120202 sin 2xdx = 1 cos2x 2 =4012e 1e 1e 190ln x1dx解：0l

25、n x1dxx ln x1e 10x0xdx 1e 1= e1101xdx= e 11 xln x1 0e 1ln e =1留意：娴熟解答以上各题要留意以下两点（1）常见凑微分类型肯定要记住dx1 d kxC , xdx k1 dx 2, ex dx2dex , 1 dxx2d 1 , 1 dxx2dx ,x1xdxd ln x,sin xdxd cos x,cos xdxd sin x（2）分部积分：bbbabauv dxaudvuvavdu ，常考有三种类型要清晰；四、应用题（ 以下的应用题必需娴熟把握！这是考试的 20 分类型题 ）欢迎下载精品学习资源1投产某产品的固定成本为 36万元，

26、且边际成本为C x=2x + 40万元/百台.欢迎下载精品学习资源试求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低 .解： 当产量由 4 百台增至 6 百台时，总成本的增量为欢迎下载精品学习资源6C2x440dx = x240x6= 100（万元）4欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又 C xxC xdx0xc0x2=40x x36 = x4036x欢迎下载精品学习资源令 Cx136x 20 ， 解得 x6 . x = 6 是惟一的驻点，而该问题的确存在使平欢迎下载精品学习资源均成本达到最小的值；所以产量为 6 百台时可使平均成本达到最小 .2 已知

27、某产品的边际成本 C x=2（元/件），固定成本为 0，边际收益 R x=12- 0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50 件，利润将会发生什么变化？欢迎下载精品学习资源解： 由于边际利润L xR xC x =12- 0.02x2 = 10- 0.02x欢迎下载精品学习资源令 L x = 0，得 x = 500；x = 500 是惟一驻点，而该问题的确存在最大值 .所以，当产量为 500 件时，利润最大 .当产量由 500 件增加至 550 件时，利润转变量为欢迎下载精品学习资源550L105000.02xdx10x0.01x2 550500=500 -525 =

28、- 25 （元）欢迎下载精品学习资源即利润将削减 25 元.3. 生产某产品的边际成本为 C x=8x万元/百台，边际收入为 R x=100- 2x（万元 /百台），其中 x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解： L x = R x - C x = 100 2x 8x =100 10x令 L x=0, 得 x = 10（百台）；又 x = 10 是 Lx的唯独驻点，该问题的确存在最大值，故 x = 10 是 Lx的最大值点，即当产量为 10（百台）时，利润最大 .欢迎下载精品学习资源又 L12L xdx10121001010xdx100x5x

29、2 122010欢迎下载精品学习资源即从利润最大时的产量再生产 2 百台，利润将削减 20 万元.欢迎下载精品学习资源4. 已知某产品的边际成本为C q4q3 万元/百台， q 为产量百台，固定成本欢迎下载精品学习资源为 18万元，求最低平均成本 .欢迎下载精品学习资源解：由于总成本函数为Cq4q3dq = 2q 23qc欢迎下载精品学习资源当 q = 0 时， C0= 18，得 c =18； 即C q = 2q23q18欢迎下载精品学习资源又平均成本函数为AqCqq2q318q欢迎下载精品学习资源令 A q218q 20 ， 解得 q = 3百台 ， 该题的确存在使平均成本最低的产量 .欢迎

30、下载精品学习资源所以当 q = 3 时，平均成本最低 . 最底平均成本为台A32331839 万元/百欢迎下载精品学习资源5. 设生产某产品的总成本函数为吨销售 x 吨时的边际收入为的产量；C xR x3x 万元，其中 x 为产量，单位：百152 x （万元/百吨），求： 1 利润最大时欢迎下载精品学习资源2 在利润最大时的产量的基础上再生产1 百吨，利润会发生什么变化？欢迎下载精品学习资源解： 1 由于边际成本为C x1，边际利润L xR xC x= 14 2x欢迎下载精品学习资源令 L x0 ，得 x= 7 ；由该题实际意义可知， x= 7 为利润函数 Lx的极大值点，也是最大值点 . 因

31、此，当产量为 7 百吨时利润最大 .欢迎下载精品学习资源2 当产量由 7 百吨增加至 8 百吨时，利润转变量为8L1472xdx14xx28= - 17欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（万元）即利润将削减 1 万元.一、单项挑选题线性代数部分综合练习题欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1. 设 A 为3正确答案： A2 矩阵， B 为23 矩阵，就以下运算中（）可以进行 .欢迎下载精品学习资源AAB B ABTCA+BDBAT2. 设 A, B 为同阶可逆矩阵，就以下等式成立的是（） 正确答案： B欢迎下载精品学习资源A. AB TAT BT B. ABTBT AT欢迎下载精品学

32、习资源C. ABT 1A 1 BT 1 D. ABT 1A 1 B1 T欢迎下载精品学习资源留意：转置矩阵、逆矩阵的性质要记住3. 以下结论或等式正确选项（） 正确答案： C欢迎下载精品学习资源A. 如A, B 均为零矩阵，就有 AB B如 ABAC ，且 AO ，就 BC欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C对角矩阵是对称矩阵D如 AO, BO ，就 ABO欢迎下载精品学习资源4. 设 A是可逆矩阵，且 AABI ，就 A 1（）. 正确答案： CA. B B. 1B C. IB D. IAB 1留意：由于 AI+B=I, 所以 A 1I+B欢迎下载精品学习资源5. 设 A12 ， B13 ， I 是单位矩阵，就AT BI （）欢迎下载精品学习资源正确答案： D欢迎下载精品学习资源1312AB26362223CD3525欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源6. 设 A12000124133，就 rA =（） 正确答案： C3欢迎下载精品学习资源A4 B 3C2D1131267 设线性方程组AXb 的增广矩阵通过初等行变换化为00103