2022年《线性代数》知识点归纳整理.docx

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1、学习资料收集于网络,仅供参考线性代数学问点 归纳整理诚毅同学 编01、余子式与代数余子式 . - 2 -02、主对角线 . - 2 -03、转置行列式 . - 2 -04、行列式的性质 . - 3 -05、运算行列式 . - 3 -06、矩阵中未写出的元素 . - 4 -07、几类特殊的方阵 . - 4 -08、矩阵的运算规章 . - 4 -09、矩阵多项式 . - 6 -10、对称矩阵 . - 6 -11、矩阵的分块 . - 6 -12、矩阵的初等变换 . - 6 -13、矩阵等价 . - 6 -14、初等矩阵 . - 7 -15、行阶梯形矩阵与 行最简形矩阵 . - 7 -16、逆矩阵 .

2、 - 7 -17、充分性与必要性的证明题 . - 8 -18、相伴矩阵 . - 8 -19、矩阵的标准形： . - 9 -20、矩阵的秩： . - 9 -21、矩阵的秩的一些定理、推论 . - 10 -22、线性方程组概念 . - 10 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）. - 10 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念. - 11 -25、线性方程组的向量形式 . - 12 -26、线性相关 与 线性无关 的概念 . - 12 -27、向量个数大于向量维数的向量组必定线性相关 . - 12 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题

3、 . - 12 -29、线性表示 与 线性组合 的概念 . - 12 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题 . - 12 -31、线性相关（无关）与线性表示的 3 个定理 . - 12 -32、最大线性无关组与向量组的秩 . - 12 -33、线性方程组解的结构 . - 13 -学习资料01、余子式与代数余子式（1） 设三阶行列式 Da 11a 21a 31a12a22a32a 13a 23 ,就a 33元素a 11 , a12 , a 13 的余子式分别为： M11a22a32a23a33,M 12a21a31a23 a33, M13a21a31a22 a32对

4、 M11 的说明：划掉第 1 行、第 1 列,剩下的就是一个二阶行列式a22a32a23a33,这个行列式即元素 a11 的余子式 M11；其他元素的余子式以此类推；1 11 2元素 a 11 , a12 , a 13 的代数余子式分别为： A11 1M11 ,A12 1M12 ,A13 1 1 3M13 .对 Aij 的说明（ i 表示第 i 行, j 表示第 j 列）： Aij 1 i j M ij .（N 阶行列式以此类推）（2） 填空题求余子式和代数余子式时,最好写原式；比如说,作业P1 第 1 题：0M3104,A31-133+1 0403（3） 例题：课本 P8、课本 P21-27

5、、作业 P1 第 1 题、作业 P1 第 3 题02、主对角线一个 n 阶方阵的主对角线,是全部第 k 行第 k 列元素的全体, k=1, 2, 3 n,即从左上到右下的一条斜线；与之相对应的称为副对角线或次对角线,即从右上到左下的一条斜线；03、转置行列式即元素aij与元素aji的位置对调（ i 表示第 i 行, j 表示第 j 列）,比如说,a12 与a21 的位置对调、 a35 与 a53 的位置对调；04、行列式的性质详见课本 P5-8（性质 1.1.1 1.1.7） 其中,性质 1.1.7 可以归纳为这个：Aai 1 Ak1 ai 2 Ak 2 ain Akn , i k,（i 表示

6、第 i 行, k 表示第 k 列）0 , ik娴熟把握行列式的性质,可以快速的简化行列式,便利运算；例题：作业 P1 第 2 题05、运算行列式（1） 运算二阶行列式a11 a21a12：a22方法（首选）：a11a21a12 a22 a11a 22 a12 a 21 （即,左上角右下角右上角左下角）方法：a11 a21a12a22 a11 A11a12 A12 a11 a 22 a 12 a21例题：课本 P14a11a12a13（2） 运算三阶行列式a 21a 31a 22a 32a 23 ：11121 3a 33a 11a 21a 31a 12a 22a 32a 13a 23a 33 a

7、11 A11a12 A12a13 A13 a11 1M11 a12 1M12 a13 1M13N 阶行列式的运算以此类推；通常先利用行列式的性质对行列式进行转化,0 元素较多时便利运算 .（r 是 row,即行； c 是 column,即列）例题：课本 P5、课本 P9、课本 P14、作业 P1 第 4 题、作业 P2 第 3 小题（3）n 阶上三角行列式（ 0 元素全在左下角）与 n 阶下三角行列式（ 0 元素全在右上角）： D a11 a22 ann （主对角线上元素的乘积）例题：课本 P10、作业 P3 第 4 小题有的题可以通过“从其次行起,将各行的元素对应加到第一行”转化成上三角行列

8、式例题：课本 P11（4） 范德蒙行列式： 详见课本 P12-13（5） 有的题可以通过“从其次行起,将各行的元素对应加到第一行”提取出“公因式”,得到元素全为 1 的一行,便利化简行列式；例题：作业 P2 第 1 小题、作业 P2 第 2 小题06、矩阵中未写出的元素课本 P48 下面有注明,矩阵中未写出的元素都为007、几类特殊的方阵详见课本 P30-32（1） 上（下）三角矩阵：类似上（下）三角行列式（2） 对角矩阵：除了主对角线上的元素外,其他元素都为0（3） 数量矩阵：主对角线上的元素都相同（4） 零矩阵：全部元素都为 0,记作 O（5） 单位矩阵： 主对角线上的元素都为 1,其他元

9、素全为 0,记作 E 或 En （其行列式的值为 1）08、矩阵的运算规章（1） 矩阵的加法（同型的矩阵才能相加减,同型,即矩阵A 的行数与矩阵 B 的行数相同； 矩阵 A 的列数与矩阵 B 的列数也相同）：课本 P32“ AB”、“AB”加法交换律： ABBA加法结合律： A（ B C）（ A B） C（2） 矩阵的乘法（基本规章详见课本P34 阴影）：数与矩阵的乘法：I. 课本 P33“ kA”II. kA kn A （由于 k A 只等于用数 k 乘以矩阵 A 的一行或一列后得到的矩阵的行列式）同阶矩阵相乘（高中理科数学选修矩阵基础）：a11 a21a12a22b11 b21b12b22

10、a11b11 a21b11a12b21 a22b21a11b12 a21b12a12b22 a22b22AB描述：令左边的矩阵为,令右边的矩阵为,令运算得到的矩阵为,就CDA的值为：中第 1 行的每个元素分别乘以中第1 列的每个元素, 并将它们相加；即 A a11 b11 a12 b21B的值为：中第 1 行的每个元素分别乘以中第2 列的每个元素, 并将它们相加；即 B a11 b12 a12 b22C的值为：中第 2 行的每个元素分别乘以中第1 列的每个元素, 并将它们相加；即 C a21 b11 a 22 b21D的值为：中第 2 行的每个元素分别乘以中第2 列的每个元素, 并将它们相加；

11、即 D a21 b12 a 22 b22 .a11 a21 a31a12 a22 a32a13a23 a33b11 b21 b31b12 b22 b32b13b23 b33a11b11 a21b11 a31b11a12b21 a22b21 a32b21a13b31 a23b31 a33b31a11b12 a21b12 a31b12a12b22 a 22b22 a32b22a13b32 a23b32 a33b32a11b13 a21b13 a31b13a12b23 a22b23 a32b23a13b33 a23b33 a33b33描述：令左边的矩阵为,令右边的矩阵为,令运算得到的矩阵为ABCDE

12、F,就GHIA的值为：中第 1 行的每个元素分别乘以中第1 列的每个元素, 并将它们相加；即 A a11 b11 a12 b21 a 13 b31B、C、D、E、F、G、H、I 的值的求法与 A 类似；数乘结合律： k（lA）（ kl）A ,（ kA）B A（ kB） k（ AB）数乘安排律：（k l）AkAlA ,k（AB） kAkB乘法结合律：（AB） CA（BC）乘法安排律： A（BC） ABAC ,（AB）C AC BC需留意的：I. 课本 P34 例题两个不等于零的矩阵的乘积可以是零矩阵II. 课本 P34 例题数乘的消去律、交换律不成立III. 一般来讲,（AB） k A k B

13、k,由于矩阵乘法不满意交换律IV. 课本 P40 习题第 2 题：（A B） 2 不肯定等于 A2 2ABB2 ,（AB）2 不肯定等于 A22ABB2,（AB）（AB）不肯定等于 A2 B2 . 当 AB BA 时,以上三个等式均成立（3） 矩阵的转置运算规律： AT TA A BTA TB T kATkAT ABTB TAT ABCTCTB TAT ABCDTDTCTB TAT（4） 同阶方阵相乘所得的方阵的行列式等于两个方阵的行列式的乘积：（ 详见课本 P46）AB A B（5） 例题：课本 P35、课本 P36-37、课本 P40 第 4 大题、课本 P40 第 5 大题、课本 P51

14、 第 1 大题、课本 P51 第 4 大题、课本 P60 第 4 大题、作业 P5 全部、作业 P5 第 3 大题、作业P5 第 4 大题09、矩阵多项式详见课本 P 3610、对称矩阵（1） 对称矩阵、实对称矩阵、反对称矩阵的概念（详见课本 P37）（2） 同阶对称（反对称）矩阵的和、差仍是对称（反对称）矩阵数 与 对称（反对称）矩阵的乘积仍是对称（反对称）矩阵对称（反对称）矩阵的乘积不肯定是对称（反对称）矩阵11、矩阵的分块线代老师说这部分的内容做明白即可；详见课本 P38-4012、矩阵的初等变换三种行变换与三种列变换： 详见课本 P 42例题：作业 P6 全部13、矩阵等价如矩阵 A

15、经过如干次初等变换后变成矩阵B,就称矩阵 A 与矩阵 B 等价,记为 AB14、初等矩阵（1） 是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的矩阵；详见课本 P48-49（2） 设 A 为 mn 矩阵,就对 A 施行一次初等行变换相当于在 A 的左边乘上一个相应的m 阶初等矩阵； A 施行一次初等列变换相当于在A 的右边乘上一个相应的 n 阶初等矩阵 .详见课本 P50-51（3） 课本 P51 第 3 大题15、行阶梯形矩阵 与 行最简形矩阵（1） 对任意一个非零矩阵,都可以通过如干次初等行变换（或对换列）化为行阶梯型矩阵（2） 行阶梯形矩阵与行最简形矩阵：如在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0,

16、每个台阶只有一行（台阶数即是非零行的行数）,阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元素,也就 是非零行的第一个非零元素,就称该矩阵为行阶梯矩阵；在此基础上,如非零行的第一个 非零元素为都为 1,且这些非零元素所在的列的其他元素都为0,就称该矩阵为行最简形矩阵；例题： 课本 P45、作业 P6 全部、课本 P51 第 2 大题16、逆矩阵（1） 设 A 为 n 阶方阵,假如存在 n 阶方阵 B,使得 AB BA E,就称方阵 A 是可逆的, 并称 B 为 A 的逆矩阵 .（由逆矩阵的定义可知,非方阵的矩阵不存在逆矩阵）（2） 假如方阵 A 可逆,就 A 的逆矩阵是唯独的,并将

17、 A 的逆矩阵记作 A1,AA 1E（3）n 阶方阵 A 可逆的充要条件为 A 0,并且,当 A 可逆时,（证明详见课本 P54） 例题： 课本 P59 第 1 大题（4） 可逆矩阵也称为非奇特方阵（否就称为奇特方阵）（5） 性质：设 A,B 都是 n 阶的可逆方阵,常数 k0,那么 A 1 1 A AT 也可逆,并且 AT -1A-1TA1 A*A kA 也可逆,并且kA-11 A-1k AB 也可逆,并且 AB -1B-1A-1 AB 不肯定可逆,而且即使 A B 可逆,一般 AB-1A-1B-1 AA-1EAA-1 E1AA-11A-1 1 A例题：课本 P58 例 2.3.7、作业 P

18、7 第 1 题（6） 分块对角矩阵的可逆性： 课本 P57（7） 由方阵等式求逆矩阵： 课本 P58 例 2.3.6（8） 单位矩阵、全部初等矩阵都是可逆的（初等矩阵是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的,即初等矩阵可以通过初等变换再变回单位矩阵,而单位矩阵的行列式=10 可逆,所以初等矩阵可逆）（9） 初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵（10） 任一可逆方阵都可以通过如干次初等行变换化成单位矩阵（11） 方阵 A 可逆的充要条件是： A 可以表示为如干个初等矩阵的乘积（ 证明：课本 P67）（12） 利用初等行变换求逆矩阵：A | E初等行变换E |A-1（例题：课本 P68、课本 P71）（13）

19、 形如 AXB 的矩阵方程,当方阵 A 可逆时,有 A-1 AXA-1B,即 XA-1B.此时有：A | B初等行变换E | X矩阵方程的 例题：课本 P35、课本 P69、课本 P41 第 6 大题、课本 P56、课本 P58、课本 P59 第 3 大题、课本 P60 第 5 大题、课本 P60 第 7 大题、课本 P71 第 3 大题矩阵方程运算中易犯的错误： 课本 P56“留意不能写成”17、充分性与必要性的证明题（1） 必要性：由结论推出条件（2） 充分性：由条件推出结论例题：课本 P41 第 8 大题、作业 P5 第 5 大题18、相伴矩阵（1）定义： 课本 P52 定义 2.3.2

20、（2） 设 A 为 n 阶方阵（ n2）,就 AA* A* A A En（证明详见课本 P53-54）（3） 性质：（留意相伴矩阵是方阵）A* A A1 kA* kA kA-1 k n A 1 A-1 k nk1 A A-1 k n-1A* （k0）k |A*| |A A1 | A n | A1 | A n1 （由于存在 A1 ,所以 A 0 ） A n-1A A* * A A1 * |A A 1 | A A 1 1 A n | A 1|1 A1 1A A n 1 A1 A A n-2A （由于 AA 1 E,所以 A 1 的逆矩阵是 A,即A 1 1 ）A* AB B AA*-1A-1 *

21、AA（4） 例题： 课本 P53、课本 P55 、课本 P58、课本 P60 第 6 大题、作业 P7 第 2 题、作业 P8 全部19、矩阵的标准形：（1）定义： 课本 P61-62（2）任何一个非零矩阵都可以通过如干次初等变换化成标准形20、矩阵的秩：（1） 定义： 课本 P63（2） 性质：设 A 是 mn 的矩阵, B 是 pq 的矩阵,就 如 k 是非零数,就 R kAR AT R AR A 等价矩阵有相同的秩,即如 AB,就 R AR B 0R Amn minm , n R ABminR A, RB 设 A 与 B 都是 mn 矩阵,就 R ABR AR B（3）n 阶方阵 A 可

22、逆的充要条件是： A 的秩等于其阶数,即 R An（4） 方阵 A 可逆的充要条件是： A 可以表示为如干个初等矩阵的乘积； （证明： P67）（5） 设 A 是 mn 矩阵,P、Q 分别是 m 阶与 n 阶可逆方阵,就 R AR PAR AQR PAQ（6） 例题：课本 P64、课本 P66、课本 P71、作业 P7 第 3 题、作业 P9 全部21、矩阵的秩的一些定理、推论线代老师说这部分的内容做明白即可； 详见课本 P7022、线性方程组概念线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组；线性方程组经过初等变换后不转变方程组的解；23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）（1）

23、定义： 课本 P81（2） 方程组的解集、方程组的通解、同解方程组：课本 P81（3） 系数矩阵 A、增广矩阵 A 、矩阵式方程： 课本 P82（4） 冲突方程组（方程组无解） ： 课本 P85 例题（5） 增广矩阵的最简阶梯形： 课本 P87（6） 系数矩阵的最简阶梯形： 课本 P87（7） 课本 P87 下面有注明：交换列只是交换两个未知量的位置,不转变方程组的解；为了便利表达,在解方程组时不用交换列；（8） 克莱姆法就：初步认知：已知三元线性方程组a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1a21 x1 a 22 x2 a23 x3 b 2 ,其系数行列式 Da31 x1 a 32 x

24、2 a33 x3 b3a11 a21a31a12a 22a 32a13a 23 .a 33当 D0 时,其解为： x1 D 1 ,x 2DD 2 ,x 3DD 3 .Db1（其中 D1 b 2b 3a12a22a32a 13a 23a 33,D2a11b1a 21b2a 31b3a 13a 23a 33,D3a11a 21a 31a 12a 22a 32b1b 2 ）（Dn 以此类推）b3定义： 课本 P15使用的两个前提条件： 课本 P18例题： 课本 P3、课本 P16-17、课本 P18、作业 P3 第 7 题（9） 解非齐次线性方程组 （方程组施行初等变换实际上就是对增广矩阵施行初等行

25、变换）例题： 课本 P26、课本 P42、课本 P82、课本 P84、课本 P85、课本 P86 第 1 大题、课本 P88、 课本 P91、作业 P10 第 1 题（10） 解齐次线性方程组例题： 课本 P17、课本 P18、课本 P85、课本 P86、课本 P90、课本P91、作业 P1 第 5 题、作业 P10 第 2 题（11）n 元非齐次线性方程组 AXb 的解的情形：（R A 不行能 R A ） R A R A 无解R A R A 有解 n有无穷多个解 n有唯独解特殊地,当 A 是A 0有唯独解n 阶方阵时,可R A R A 无解由行列式来判定R A R A 有解 当 A 0有无穷

26、多个解例题：课本 P86 第 2 大题、课本 P88、课本 P92、作业 P11 第三题（12）n 元齐次线性方程组 AX O 的解的情形：（只有零解和非零解两种情形,有唯独解的充要条件是只有零解,有无穷多个解的充要条件是有非零解）R A n只有零解（有唯独解,为 0）R A n有非零解（有无穷多个解）特殊地,当 A 是 n 阶方阵A 0只有零解（有唯独解,为0） 时,可由行列式来判定A 0有非零解（有无穷多个解） 例题：课本 P24、课本 P90-91、作业 P11 全部24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念详见课本 P92-93将列向量组的重量排成矩阵运算时,运算过程中只做行变换,不做

27、列变换；初等行变换与初等行列变换的使用情形：矩阵、线性方程组、向量涉及行变换；列变换只在矩阵中用；（行列式的性质包括行与列的变换）手写零向量时不必加箭头；25、线性方程组的向量形式详见课本 P9326、线性相关 与 线性无关 的概念详见课本 P93-94例题：课本 P101 第 6 大题 、作业 P14 第五大题27、向量个数大于向量维数的向量组 必定线性相关线代老师课上提到的结论；28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩 这三者的关系及其例题详见课本 P94 定理 3.3.1、定理 3.3.2例题：课本 P94-95 例 3.3.2、课本 P101 第 3 大题、课 22 本

28、P101 第 5 大题、作业 P12 第 3小题、作业 P12 其次大题、作业 P13 第三大题、作业 P13 第四大题29、线性表示 与 线性组合 的概念详见课本 P9530、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩 这三者的关系其例题详见课本 P95-96 定理 3.3.3例题：课本 P95-96 例 3.3.431、线性相关（无关）与线性表示的 3 个定理详见课本 P96 定理 3.3.4、课本 P97 定理 3.3.5、课本 P98 定理 3.3.632、最大线性无关组与向量组的秩详见课本 P98-100 定义 3.3.5、定义 3.3.6、定 3.3.7单位列向量, 即“只有一个元素为 1,且其余元素都为 0”的一列向量（求最大线性无关组 用） 例题：课本 P100 例 3.3.5、课本 P101