2022年《数学研究》第六章_微分中值定理及其应用.docx

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1、精品学习资源第六章 微分中值定理及其应用方案课时： 8 时 ）1 中值定理 如给定的割线是水平的、斜的或曲线的方程以参数方程的形式给出，就分别可找出相应的切线平行于该割线，再分析所需要的条件，就可建立起Rolle 定理、 Lagrange 定理、 Cauchy 定理 . 这三个微分中值定理用一句话概括：对于到处连续、到处有切线曲线的每一条割线都可以找到平行于该割线的切线 . 2 如给定切线 , 找平行于该切线的割线, 就不肯定能实现 .二 微分中值定理 :1. Rolle 中值定理 : 表达为 Th1 . 证 定理条件的充分但不必要性 .2. Lagrange 中值定理 : 表达为 Th2 .

2、 证 图解 .用分析方法引进帮助函数 , 证明定理 .Lagrange 中值定理的各种形式 . 关于中值点的位置 .系 1函数在区间 I 上可导且为 I 上的常值函数. 证系2函 数和在 区 间I上 可 导 且系 3 设函数在点的某右邻域上连续 ,在内可导 . 如存在 , 就右 导数也存 在,且有欢迎下载精品学习资源证但是,不存在时 , 却未必有不存在. 例如对函数虽 然不 存在 , 但却在 点可 导 可用 定义 求得.Th3 导数极限定理 设函数在点的某邻域内连续 ,在内 可 导 . 如 极 限存 在 , 就也 存 在 , 且 证 由该定理可见 , 如函数在区间 I 上可导 ,就区间 I 上

3、的每一点,要么是导函数的连续点 ,要么是的其次类间断点 . 这就是说 ,当函数在区间 I 上点点可导时 , 导函数在区间 I 上不行能有其次类间断点 .3. Cauchy 中值定理 :Th 4设函数 和 在闭区间上连续 , 在开区间内可导 ,和 在内不同时为零 , 又就在内至少存在一点使得.证 分析引出帮助函数.验证在上满意 Rolle 定理的条件 ,必有,由于否就就有.这与条件“和 在内不同时为零”冲突.Cauchy 中值定理的几何意义 .Ex1P1631 4；欢迎下载精品学习资源三 中值定理的简洁应用 : 讲 1 时 1. 证明中值点的存在性 :例 1 设函数 在区间上连续 , 在内可导

4、, 就, 使得.证 在 Cauchy 中值定理中取.例 2 设 函 数在 区 间上 连 续 , 在内 可 导 , 且 有.试证明 :.2. 证明恒等式 : 原理.例 3 证明: 对, 有.例 4 设函数 和 可导且又就.证明. 例 5设对,有,其中是正常数 .就函数是常值函数 .证明.3. 证明不等式 : 原理.例 6 证明不等式 :时,.例 7 证明不等式 : 对，有.4. 证明方程根的存在性 :例 8 证明方程在内有实根 .例 9 证明方程在内有实根 .四 单调函数 在内 或.例 10 设.试争论函数的单调区间 .欢迎下载精品学习资源解:确定定义域 . 函数的定义域为.求导数并分解因式 .

5、确定导数为 0 的点和不存在的点 .令,得将导数为 0 的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域,列表争论各个区间上的单调性.列表-1,102 可导函数严格单调的充要条件Th6设函数在区间内可导 .就在内 或 对有 或； 在内任子区间上3 可导函数严格单调的充分条件推论 见 P124例 11 证明不等式Ex1P124 1251 7. 2不定式的极限 2时 一.型:Th 1例 1Hospital 法就 证 应用技巧 .例 2.例 3. 作代换或利用等价无穷小代换直接运算. 欢迎下载精品学习资源例 4.Hospital 法就失效的例 二型:Th 2Hospital 法就 证略 例 5.例 6.注:

6、 关于当时的阶 .例 7.Hospital 法就失效的例 三.其他待定型 :. 前四个是幂指型的.例 8例 9.例 10.例 11.例 12.例 13.例 14 设且求解.Ex 1P132 1331 5.欢迎下载精品学习资源 3Taylor公式 3时 一.问题和任务 :用多项式靠近函数的可能性；对已知的函数 ,期望找一个多项式靠近到要求的精度 .二.Taylor 1685 1731 多项式 :分析前述任务，引出用来靠近的多项式应具有的形式定义 Taylor 多项式及 Maclaurin 多项式 例 1 求函数在点的 Taylor 多项式 .三.Taylor公式和误差估量 :称为余项 .称给出的

7、定量或定性描述的式为函数的 Taylor 公式.1. 误差的定量刻画 整体性质 Taylor 中值定理 :Th 1 设函数 满意条件 : 在闭区间上 有直到阶连续导数； 在开区间内 有阶导数 .就对使.证 1P138139.称这种形式的余项为 Lagrange型余项 . 并称带有这种形式余项的 Taylor公式为具 Lagrange 型余项的 Taylor公式.Lagrange型余项仍可写为.时,称上述 Taylor公式为 Maclaurin 公式, 此时余项常写为欢迎下载精品学习资源.2. 误差的定性描述 局部性质 Peano 型余项 :Th 2如函数在点 的某邻域内具有阶导数 ,且存在,就

8、,.证设,.应用Hospital 法就次,并留意到存在, 就有=.称为 Taylor 公式的 Peano 型余项 , 相应的Maclaurin 公式的 Peano 型余项为. 并称带有这种形式余项的 Taylor 公式为具 Peano 型余项的 Taylor 公式 或Maclaurin 公式 .四. 函数的 Taylor 公式 或 Maclaurin 公式 绽开:1. 直接绽开 :例 2 求 的 Maclaurin 公式.解.例 3 求 的 Maclaurin 公式.解,欢迎下载精品学习资源.例 4 求函数的具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式 .解.例 5 把函 数展 开 成

9、含项 的 具 Peano 型 余 项的Maclaurin 公式.2. 间接绽开 : 利用已知的绽开式 , 施行代数运算或变量代换 , 求新的绽开式 .例 6把函数绽开成含项的具 Peano 型余项的Maclaurin 公式 .解,.例 7把函数绽开成含项的具 Peano 型余项的Maclaurin 公式 .解,留意,.例 8先把函数绽开成具 Peano 型余项的 Maclaurin 公式. 利用得到的绽开式Peano 型余项的 Taylor,把函数公式.在点绽开成具解.欢迎下载精品学习资源=+例 9与把函数绽开成具 Peano 型余项的的相应绽开式进行比较.Maclaurin 公式 ，并解；.

10、而.五. Taylor公式应用举例 :1. 证明 是无理数 :例 10 证明 是无理数 .证 把 绽开成具 Lagrange 型余项的 Maclaurin 公式, 有.反设 是有理数 , 即和 为整数 ,就有整数 +.对也是整数 . 于是,整数=整数整数 =欢迎下载精品学习资源整数 .但由因而当时，不行能是整数 . 冲突.2. 运算函数的近似值 :例 11 求 精确到的近似值 .解.注 意 到有.为 使,只要取. 现取, 即得数 的精确到的近似值为.3. 利用 Taylor公式求极限 : 原理:例 12 求极限.解,；.4. 证明不等式： 原理.欢迎下载精品学习资源例 13 证明:时, 有不等

11、式.Ex1P1411 3. 4 函数的极值与最大 小）值 .函数的驻点和 连续但 不行导点统称为可疑点 , 可疑点的求法.2. 极值点的充分条件:对每个可疑点 , 用以下充分条件进一步鉴别是否为极 设函数在点 连续, 在邻域和内可导 . 就 在内在内时,为的一个微小值点； 在内在内时,为的一个极大值点； 如在上述两个区间内同号, 就 不是极值点 .或列表为不存在微小值点不存在欢迎下载精品学习资源极大值点不存 在非极值点不存在非极值点Th 3充分条件 “雨水法就” 设点 为函数的驻点且存在. 就当时,为的一个极大值点；当时,为的一个微小值点 .证法一当时,在点的某空心邻域内与异号, 证法二 用

12、Taylor公式绽开到二阶 ,带 Peano型余项 .Th4 充 分 条 件 设, 而.就 为奇数时 ,不是极值点； 为偶数时 ,是极值点 . 且对应微小；欢迎下载精品学习资源对应极大 .例1 求函数的极值 .例2 求函数的极值 .例3 求函数的极值 .注 Th 2、 Th 3、 Th 4 只是极值点判别的充分条件.如函数它在处取微小值 ,但因.所以无法用 Th 4 对它作出判别 .二 函数的最大值与最小值 :设函数在闭区间上连续且仅有有限个可疑点. 就=；.函数最值的几个特例 : 单调函数的最值 : 假如函数在区间上可导且仅有一个驻点,就当 为极大值点时 ,亦为最大值点；当 为微小值点时 ,

13、 亦为最小值点 . 如函数在 内可导且仅有一个极大 或小 值点 ,就该点亦为最大 或小值点. 对具有实际意义的函数 ,常用实际判定原就确定最大 或小值点.例 4 求函数在闭区间上的最大值与最小值.欢迎下载精品学习资源最值应用问题 :例 5、两村距输电线 直线A 分别为和.答： 三 利用导数证明不等式 :我们曾在前面简介过用中值定理或Taylor 公式证明不等式的一些方法 . 其实, 利用导数证明不等式的方法至少可以提出七种 参阅 3P112 142 . 本段仅介绍利用单调性或极值证明不等式的简洁原理.1. 利用单调性证明不等式 :原理: 如, 就对, 有不等式.例 5 证明: 对任意实数 和

14、, 成立不等式证取在内 .于是,由,就有,即.2. 不等式原理 : 设函数在区间上连续 , 在区间内可导 ,且； 又就时,不等式原理的其他形式 .例 6证明:时,.欢迎下载精品学习资源例 7证明:时,.3. 利用极值证明不等式 : 例 8 证明:时,. Ex 1P146 147 1 9. 5函数的凸性与拐点 2. 利用一阶导数判定曲线的凸向Th1 凸的等价描述 见书 P146例 1 开区间内凸函数的左、右可导性,从而开区间内凸函数是连续的 3. 利用二阶导数判定曲线的凸向:Th2 设函数在区间内存在二阶导数 , 就在内在内严格上凸；在内严格下凸 .证法一 用 Taylor 公式 对设,把在点绽

15、开成具 Lagrange 型余项的 Taylor 公式, 有.其中 和 在 与 之间. 留意到, 就有欢迎下载精品学习资源, 于是如有上式中, 即严格上凸 .如有上式中, 即严格下凸 .证法二 利用 Lagrange 中值定理 . 如就有 ,不妨设,并设,分别在区间和上应用Lagrange 中值定理 , 有,.有又由，Th4 拐点的充分条件 不存在欢迎下载精品学习资源拐点不存在拐点不存 在非拐点不存在非拐点注: 函数的凹凸性、拐点归结为其一阶导函数的增减性、极值点.例4 争论曲线的拐点 .极大值拐点 三 Jensen不等式及其应用 :Jensen 不等式 : 设在区间上恒有 或,就对欢迎下载精

16、品学习资源上的任意 个点, 有 Jensen不等式 : 或,且等号当且仅当时成立 .证 令, 把表为点处具二阶 Lagrange 型余项的Taylor 公式，仿前述定理的证明，留意即得所证 .对详细的函数套用 Jensen 不等式的结果 ,可以证明一些较复杂的不等式 .这种证明不等式的方法称为 Jensen 不等式法或凸函数法 .详细应用时 ,往往仍用到所选函数的严格单调性 .例 2 证明: 对 有不等式.例 3 证明均值不等式 : 对, 有均值不等式.证 先证不等式.取.在内严格上凸 , 由 Jensen不等式 ,有.由.对用上述已证结果 ,即得均值不等式的左半端.例 4 证明: 对, 有不等式. 平方根平均值 例 5 设，证明.解 取, 应用 Jensen不等式 .欢迎下载精品学习资源例 6 在中, 求证.解 考虑函数在区间内凹, 由 Jensen不等式 , 有.例 7 已知.求证.解考虑函数,在内严格上凸 . 由 Jensen不等式, 有.例 8已知求证. 留为作业 解 函数在内严格下凸 . 由 Jensen不等式 , 有.Ex 1P1531 5. 6函数图象的描画 8.为常数 的图象 .欢迎下载