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1、精品学习资源中国训练学会中学数学教案专业委员会 “数学周报杯” 2021 年全国中学数学竞赛试卷参考答案一、挑选题(共5 小题,每道题 7 分,共 35 分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0 分)欢迎下载精品学习资源1. 如 a20, b10 ,就 ab 的值为()欢迎下载精品学习资源bc(A) 1121bc(B) ) 2111( C) 11021( D) 21011欢迎下载精品学习资源解: D 由题设得aabb1201210 欢迎下载精品学习资源bc1cb111110欢迎下载精品学习资源2. 如实数 a, b满意1 aabb2 22
2、0 ,就 a 的取值范畴是 ()欢迎下载精品学习资源( A)a2(B)a4(C)a 2 或 a 4( D) 2 a 4解C欢迎下载精品学习资源由于 b 是实数,所以关于 b 的一元二次方程 b2ab1 a202欢迎下载精品学习资源的判别式a2141a22 0, 解得 a 2 或 a4欢迎下载精品学习资源3如图,在四边形 ABCD 中, B 135, C120,AB= 2 3 ,BC= 422 , CD 4 2 , 就 AD 边的长为()( A) 26 (B) 46欢迎下载精品学习资源(C) ) 4解: D6 (D) 226(第 3 题)欢迎下载精品学习资源如图,过点 A,D 分别作 AE, D
3、F 垂直于直线BC,垂足分别为 E,F 由已知可得欢迎下载精品学习资源BE=AE=6 ,CF 22 ,DF 26 ,于是 EF4 6 (第 3 题)欢迎下载精品学习资源过点 A 作 AG DF,垂足为 G在 RtADG 中,依据勾股定理得欢迎下载精品学习资源2AD46262224 22 6 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4. 在一列数x1,x2,x3,中,已知x11 ,且当 k 2 时,欢迎下载精品学习资源k1k2xkxk 114欢迎下载精品学习资源44(取整符号a 表示不超过实数 a 的最大整数,例如2.62 , 0.20 ),就x2021 等于欢迎下载精品学习资源()A 1B 2
4、C 3D 4解: B欢迎下载精品学习资源由 x1k11 和xkxk 114k2可得欢迎下载精品学习资源44欢迎下载精品学习资源x11,x22 , x33 ,x44 ,欢迎下载精品学习资源x51 , x62 , x73 , x84 ,由于 2021=4502+2,所以 x2021 =25. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A( 1, 1), B( 2, 1), C( 2, 1), D( 1, 1) y 轴上一点P( 0, 2)绕点 A 旋转 180得点 P1,点 P1 绕点 B 旋转 180得点 P2,点 P2 绕点 C 旋转 180得点 P3,点 P3 绕点
5、 D 旋转 180得点 P4,重复操作依次得欢迎下载精品学习资源到点 P1, P2,就点 P2021 的坐标是()( A)( 2021,2)( B)( 2021, 2 )( C)( 2021, 2 )( D)( 0,2)(第 5 题)欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解: B 由已知可以得到,点P1,P2 的坐标分别为( 2,0),( 2, 2 )欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源记 P(2a2,b2 ,其中 a22, b22 欢迎下载精品学习资源依据对称关系,依次可以求得:欢迎下载精品学习资源P3 4a2, 2b2, P42a2 ,4b2 , P5 a2, 2b2 , P64a2
6、 ,b2 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源令 P6 a6,b2, 同 样 可 以 求得 , 点P10的 坐标 为 ( 4a6, b2) , 即P10欢迎下载精品学习资源( 42a2 ,b2 ),欢迎下载精品学习资源由于 2021=4502+2,所以点 P2021 的坐标为( 2021, 2 )二、填空题6已知 a 5 1,就 2a3 7a2 2a 12 的值等于解: 0由已知得 a125,所以 a22a4,于是2a3 7a2 2a122a34a23a22a 123a26a12 07. 一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的大路上朝同一方向匀速行驶在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货
7、车在客车与小轿车的正中间过了10 分钟,小轿车追上了货车;又过了5 分钟,小轿车追上了客车;再过t 分钟,货车追上了客车,就t解: 15设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为 S 千 M,小轿车、货车、客车的速度分别为 a, b, c (千 M/ 分),并设货车经 x 分钟追上客车,由题意得10 abS ,15 ac2S , x bcS欢迎下载精品学习资源由,得 3(0 bc)S ,所以, x=30故t3010515 (分)欢迎下载精品学习资源8. 如图,在平面直角坐标系xOy 中,多边形 OABCDE 的顶点坐标分别是O( 0, 0), A( 0, 6), B( 4,6), C( 4,
8、4), D( 6,4), E( 6, 0)如直线 l 经过点 M ( 2, 3),且将多边形 OABCDE 分割成面积相等的两部分,就直线 l 的函数表达式是(第 8 题欢迎下载精品学习资源111解: yx+33(第 8 题)欢迎下载精品学习资源如图,延长 BC 交 x 轴于点 F;连接 OB, AF;连接 CE,DF ,且相交于点N欢迎下载精品学习资源由已知得点 M(2,3)是 OB, AF 的中点,即点 M 为矩形 ABFO 的中心, 所以直线 l 把矩形 ABFO 分成面积相等的两部分又由于点N(5,2)是矩形CDEF 的中心,所以,过点 N(5,2)的直线把矩形 CDEF 分成面积相等
9、的两部分于是,直线 MN 即为所求的直线 l 设直线 l 的函数表达式为 ykxb ,就 2k +b3,5kb2,k1 ,欢迎下载精品学习资源解得311b.3,故所求直线 l 的函数表达式为 y1 x+ 11 33欢迎下载精品学习资源9. 如图,射线 AM , BN 都垂直于线段 AB ,点 E 为 AM 上一点,过点 A 作 BE 的垂线 AC分别交 BE , BN 于点 F , C,过点 C 作 AM 的垂线 CD ,垂足为D 如 CD CF ,就AEAD解: 512欢迎下载精品学习资源见题图,设FCm,AFn (第 9 题)欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于 RtAFBRt A
10、BC,所以 AB2AFAC 欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又由于 FCDCAB,所以 m2nnm,即 n 2n10 ,欢迎下载精品学习资源解得 nm51 ,或 n2mmm51 (舍去)2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源又 Rt AFE Rt CFB ,所以 AEAEAFn51 ,即 AE=51 欢迎下载精品学习资源ADBCFCm2AD210. 对于 i=2 , 3 , k,正整数n 除以 i 所得的余数为i 1 如 n 的最小值 n0 满意2000n03000,就正整数 k 的最小值为欢迎下载精品学习资源解: 9 由于 n1为 2,3, , k 的倍数,所以n 的最小值n0
11、满意欢迎下载精品学习资源n012,3, , k ,欢迎下载精品学习资源其中 2,3, , k表示 2,3, k的最小公倍数欢迎下载精品学习资源由于 2,3, ,8840, 2,3, ,92520, 2,3, ,102520,2,3, ,1127720 ,欢迎下载精品学习资源因此满意2000n03000的正整数 k 的最小值为 9 欢迎下载精品学习资源三、解答题(共 4 题,每题 20 分,共 80 分)11. 如图, ABC 为等腰三角形, AP 是底边 BC 上的高,点 D 是线段 PC 上的一点,EF欢迎下载精品学习资源BE 和 CF 分别是 ABD 和 ACD 的外接圆直径,连接EF .
12、求证: tanPADBC欢迎下载精品学习资源(第 11 题)证明: 如图,连接 ED, FD. 由于 BE 和 CF 都是直径,所以EDBC,FDBC,因此 D, E, F 三点共线 .( 5欢迎下载精品学习资源分)连接 AE, AF,就AEFABCACBAFD ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源所以, ABC AEF.( 10 分)(第 11 题)欢迎下载精品学习资源作 AHEF,垂足为 H,就 AH=PD.由 ABC AEF 可得EFAH ,BCAP欢迎下载精品学习资源从而EFPD ,BCAP欢迎下载精品学习资源所以tanPADPDEFAPBC.( 20 分)欢迎下载精品学习资源欢
13、迎下载精品学习资源12. 如图,抛物线yaxbx( a0)与双曲线 yk相交于点A, B. 已知点 A 的坐标x欢迎下载精品学习资源2为( 1, 4),点 B 在第三象限内,且 AOB 的面积为 3( O 为坐标原点) .( 1)求实数 a, b, k 的值;( 2)过抛物线上点A 作直线 AC x 轴,交抛物线于另一点 C,求全部满意 EOC AOB 的点 E 的坐标 .欢迎下载精品学习资源解: ( 1)由于点 A( 1, 4)在双曲线yk 上,x4(第 12 题)欢迎下载精品学习资源所以 k= 4. 故双曲线的函数表达式为y.x欢迎下载精品学习资源设点 B( t, 4 ), tt0 , A
14、B 所在直线的函数表达式为ymxn ,就有欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4mn,4解得 m4 , n4t1.欢迎下载精品学习资源mtn,ttt欢迎下载精品学习资源于是,直线 AB 与 y 轴的交点坐标为4 t10,,故t欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源S AOB1(4 t2t1)1t3 ,整理得2t23t20 ,欢迎下载精品学习资源解得 t2 ,或 t1 (舍去)所以点B 的坐标为(2 ,2 )2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于点A, B 都在抛物线yax2bx( a0)上,所欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ab4,以解得4a2b2,a1,( 10 分)b
15、3.欢迎下载精品学习资源( 2)如图,由于AC x 轴,所以C(4 , 4),于是COCO 42 . 又 BO=22 ,所以2 .BO6 / 9欢迎下载精品学习资源设抛物线yax2bx (a0)与 x 轴负半轴相交于点D, 就点 D 的坐标为(3 ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源0) .由于 COD BOD 45 ,所以 COB = 90 .( i)将 BOA 绕点 O 顺时针旋转 90 ,得到(第 12 题)B OA1 .这时,点 B 2 , 2是 CO 的欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源中点,点A1的坐标为( 4,1) .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源延长 OA
16、1 到点E1 ,使得OE1 = 2OA1,这时点E1 ( 8,2 )是符合条件的点 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源( ii )作 BOA 关于 x 轴的对称图形B OA2 ,得到点A2 ( 1,4 );延长OA2 到欢迎下载精品学习资源点 E2 ,使得 OE2 2OA2,这时点 E( 2,8 )是符合条件的点所以,点 E 的坐标是( 8, 2 ),或( 2,8 ) .( 20 分)欢迎下载精品学习资源13. 求满意2p2p8m22m 的全部素数 p 和正整数 m.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解: 由题设得p2 p1) m4 m2 ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资
17、源所以 p m4m2) ,由于 p 是素数,故p m4 ,或p m2 . ( 5 分)欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源22( 1)如p m4 ,令 m4kp , k 是正整数,于是 m2kp ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源23pp2 p1) m4m2k p ,欢迎下载精品学习资源故 k23 ,从而 k1 .欢迎下载精品学习资源m4p,所以p5,解得( 10 分)欢迎下载精品学习资源m22 p1,m9.欢迎下载精品学习资源(2)如p m2) ,令 m2kp , k 是正整数 .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 p5 时,有 m4kp6kpppk1 ,欢迎下载精品学习
18、资源欢迎下载精品学习资源3p2p2 p1m4m2kk1p2 ,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源故 kk1) 3 ,从而 k1 ,或 2.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由于 p2 p1) m4 m2) 是奇数,所以 k2 ,从而 k1 .欢迎下载精品学习资源m42 p1,于是m2p,这不行能 .欢迎下载精品学习资源当 p5 时,m22m63 , m9 ;当 p3 , m22 m29 ,无正整数解;欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源当 p2 时, m22m18 ,无正整数解 .欢迎下载精品学习资源综上所述,所求素数p=5,正整数 m=9. ( 20 分)14. 从 1, 2
19、, 2021 这 2021 个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33 整除?解: 第一,如下 61 个数: 11, 1133 , 11233 , 116033 (即 1991)满意题设条件 .( 5 分)欢迎下载精品学习资源另一方面,设a1a2an是从 1, 2, 2021 中取出的满意题设条件的数,对欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源于这 n 个数中的任意4 个数ai,aj,ak, am ,由于欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源33 aiakam ,33 a jakam ,欢迎下载精品学习资源所以33 a jai .因此,所取的数中任意两数之差都是33 的倍数 .( 10 分)欢迎下载精品学习资源设 aia133di , i=1, 2, 3, n.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源由 33 a1a2a3 ,得33 3a133d233d3 ,欢迎下载精品学习资源所以 33 3a1 , 11 a1 ,即 a1 11.( 15 分)欢迎下载精品学习资源故 dn 60.所以, n 61.dana1 n3320211161 ,33欢迎下载精品学习资源综上所述, n 的最大值为 61.( 20 分)欢迎下载精品学习资源欢迎下载
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