2022年八级数学上册知识点总结2 .docx

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1、数学（八年级上册）学问点总结（北师大版）第一章勾股定理1、勾股定理已知直角三角形,得边的关系直角三角形两直角边a,b 的平方和等于斜边c 的平方,即 a 2b 2c22、勾股定理的逆定理由边的关系,判定直角三角形假如三角形的三边长a,b, c 有关系 a 2b 2c 2,那么这个三角形是直角三角形；3、勾股数 ：满意 a 2b 2c2 的三个正整数 a,b, c,称为勾股数；常见的勾股数 有：（6,8,10 ）（ 3,4,5 ）（ 5,12 , ,13 ）（ 9,12,15 ）（7,24,25 ）（ 9,40,41 ）规律：（ 1）、短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续的自然数,两边之

2、和是短直角边的平方；即当 a 为奇数且 ab 时,假如bca 2 ,那么 a,b,c就是一组勾股数 .如：（ 3,4,5 ）（ 5,12 ,13 ）（ 7,24,25 ）（ 9,40,41 ）（ 2）大于 2 的任意偶数, 2nn 1 都可构成一组勾股数分别是：2n, n21, n21如：（ 6,8,10 ）（ 8,15,17 ）（ 10,24,26 ）4、常见题型应用：（ 1）已知任意两条边的长度,求第三边/ 斜边上的高线 / 周长 / 面积（ 2）已知任意一条的边长以及另外两条边长之间的关系,求各边的长度/ 斜边上的高线 / 周长 / 面积22（ 3）判定三角形外形：a2b2c2锐角三角形

3、, a 2b 2c 直角三角形, a 2b2c 钝角三角形判定直角三角形a. 找最长边； b. 比较长边的平方与另外两条较短边的平方和之间的大小关系；c. 确定外形其次章实数1. 无理数的引入；无理数的定义无限不循环小数；算术平方根定义假如一个非负数x的平方等于a,即 x 2a那么这个非负数x就叫做a的算术平方根,记为a ,算术平方根为非负数a正数的平方根有02 个,它们互为相反数平方根 0的平方根是02. 无理数的表示负数没有平方根 定义：假如一个数的平方等于a,即 x2a,那么这个数就叫做 a的平方根,记为a立方根正数的立方根是正数负数的立方根是负数30的立方根是0定义：假如一个数x的立方

4、等于a,即 xa,那么这个数 x就叫做a的立方根,记为3 a .概念有理数和无理数统称实数正数分类3. 实数及其相关概念有理数或0无理数负数肯定值、相反数、倒数的意义同有理数实数与数轴上的点是一一对应实数的运算法就、运算规律与有理数的运算法就运算规律相同；一、实数的概念及分类1、实数的分类有理数实数无理数正有理数0负有理数正无理数负无理数有限小数与无限循环小 数无限不循环小数正实数实数 0负实数2、无理数： 无限不循环小数叫做无理数；在懂得无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类：（ 1）开方开不尽的数,如7 ,3 2 等根号 a（a 为非完全平方数或非立方数） ；（ 2）有特定

5、意义的数,如圆周率 （ =3.14159265 ,或化简后含有 的数,如 +8 等；3o（ 3）有特定结构的数,如0.1010010001 ； 0.585885888588885 相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1 等；（ 4）某些三角函数值,如sin60等；二、实数的倒数、相反数和肯定值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零）,从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,假如a 与 b 互为相反数,就有a+b=0, a= b,反之亦成立；2、肯定值在数轴上, 一个数所对应的点与原点的距离,叫做该数的肯定值； （|a| 0）；零的

6、肯定值是它本身,也可看成它的相反数,如|a|=a ,就 a 0；如 |a|=-a,就 a 0；3、倒数假如 a 与 b 互为倒数,就有 ab=1,反之亦成立；倒数等于本身的数是1 和-1 ；零没有倒数；4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时,要留意上述规定的三要素缺一不行）；解题时要真正把握数形结合的思想,懂得实数与数轴的点是一一对应的,并能敏捷运用；5、估算 .留意：（ 1）近似运算时,中间过程要多保留一位；（ 2）要求记忆：21.41431.73252.2 3 6.三、平方根、算数平方根和立方根1. 平方根和算术平方根：（ 1）概念：假如x2a ,那么 x是 a 的平

7、方根,记作：a ；读作“正、负根号a ”,其中a 叫做 a的算术平方根,读作根号a ；（ 2）性质：当 a 0 时,a 0；当 a 时,a 无意义；2a a ；2aa；（区分、）性质：正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零；性质：一个正数有两个平方根,它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根；（ 3）开平方：求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方；留意 ： a 的双重非负性：a0（开平方的被开方数的条件）a0（算术平方根的非负性）2. 立方根：（ 1）概念：如 x3a ,那么 x 是 a的立方根（或三次方根） ,记作： 3 a ；（ 2）性质： 3 a33a ； 3 aa；

8、3a 3 a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；留意： 3a3 a , 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面；区分： 平方根 、立方根的性质根源： 开平方是平方的逆运算；开立方是立方的逆运算；正数和负数的平方后为正,所以,只有非负数才可以开平方,因此一个非0 正数开平方后有 2 个；而任何数的立方后的符号与原数的符号一样,所以,任何数都可以开立方,一个数开立方后只有1 个,符号与原数的符号也一样；四、实数大小的比较1、实数比较大小：正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数,右边的总比左边的大；两个负数,肯定值大的反而小；在数轴上

9、,右边的点表示的数比左边的点表示的数大；2、实数大小比较的几种常用方法（ 1）数轴比较：在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大；（ 2）求差比较：设 a、b 是实数,ab0ab,ab0ab,ab0ab（ 3）求商比较法：设a、b 是两正实数, a1bab; a1 bab; a1 bab;（ 4）肯定值比较法：设a、b 是两负实数,就 abab ；（ 5）平方法 ： 设 a0,b0 ,就a 2b 2ab 设 a0, b0 ,就a 2b 2ab ； 同号的有理数与无理数、同号的无理数与无理数大小比较经常用平方法；如：比较362与 3.4 ； 3 6 与 53（ 6）倒数法 ：设 a0, b0

10、,就 ab11；设 aab0, b0 ,就 ab11ab规律：同号取倒（数）反向五、算术平方根有关运算（二次根式）1、含有二次根号“”；被开方数 a 必需是非负数,即：a中 a0 ；2、性质：（ 1）非负性a0（ 2） a 2aa0（2a中前提,被开方数a0 ）（ 3） a 2aa, a0（a, a0a 2 中隐含被开方数 a 20 ）（ 4） ababa0, b0 ；（ ababa0, b0 ）（前提根号要有意义）（ 5）a ba a b0, b0；（a ba a b0,b0 ）（前提式子和根号要有意义, ）拓展： 三个重要非负数：a20, a0,a0 .留意： 非负数之和为 0它们都是 0

11、.3、运算结果如含有“a ”形式,必需满意： （1）被开方数的因数是整数,因式是整式；（ 2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式六、实数的运算（ 1）六种运算： 加、减、乘、除、乘方、开方（ 2） 实数的运算次序先算乘方和开方,再算乘除,最终算加减,假如有括号,就先算括号里面的；（ 3）运算律加法交换律abba加法结合律abcabc乘法交换律abba乘法结合律abcabc乘法对加法的安排律abcabac（ 4） 与实数有关的概念：在实数范畴内,相反数,倒数,肯定值的意义与有理数范畴内的意义完全一样；在实数范畴内,有理数的运算法就和运算律同样成立；每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来

12、,数轴上的每一个点都表示一个实数, 即实数和数轴上的点是一一对应的；因此,数轴正好可以被实数填满；第三章位置的确定一、 在平面内,确定物体的位置一般需要两个数据；二、平面直角坐标系及有关概念1、平面直角坐标系在平面内,两条相互垂直且有公共原点的数轴,组成平面直角坐标系；其中,水平的数轴叫做x 轴或横轴,取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴,取向上为正方向；x 轴和 y 轴统称坐标轴；它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面；2、为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x 轴和 y 轴分割而成的四个部分,分别叫做第y一象限、其次象限、第三象限、第四象限

13、；一二留意： x 轴和 y 轴上的点（坐标轴上的点）,不属于任何一个象限；0x三四3、点的坐标的概念对于平面内任意一点P, 过点 P 分别 x 轴、 y 轴向作垂线,垂足在上x 轴、 y 轴对应的数 a, b 分别叫做点 P的横坐标、纵坐标,有序数对（a, b）叫做点 P的坐标；Pyb点的坐标用（ a, b）表示,其次序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒；平面内点的坐标是有序实数对,a0x当 ab 时,（ a, b）和（ b, a）是两个不同点的坐标；平面内点的与有序实数对是一一对应的；4、不同位置的点的坐标的特点（ 1）、各象限内点的坐标的特点（结合图形,过

14、点 P 分别 x 轴、y 轴向作垂线,垂足在上x 轴、y 轴对应的数x, y 在坐标轴的正向为正,负向为负）By y+,+点 A x1 , y1 在第一象限x10, y 10-,+x32y1x1A点 B x 2 , y 2 在其次象限x 20, y 20x2 0y3x4x点 C x 3 , y 3 在第三象限x 30, y 30C -,-y4D +,-点 D x4 ,y 4 在第四象限x 40, y 40y（ 2）、坐标轴上的点的特点点 Px,y在 x 轴上点 Px,y在 y 轴上y0 , x 为任意实数x0 , y 为任意实数Cx3,0 0B0,y2Ax1,0xD0,y4点 Px,y既在 x

15、 轴上,又在 y 轴上x, y 同时为零,即点 P 坐标为（ 0, 0）即原点y（ 3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特点点 Px,y在第一、三象限夹角平分线（直线y=x ）上x 与 y 相等点 Px,y在其次、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数（ 4）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特点CA450 45xBDy位于平行于 x 轴的直线上的各点的纵坐标相同；FE位于平行于 y 轴的直线上的各点的横坐标相同；G（ 5）、关于 x 轴、 y 轴或原点对称的点的坐标的特点0xyHP x , y y 点 P 与点 P 关于 x 轴对称 （上下）横坐标相等,纵坐标互为相反数,0x- y即点 P

16、（ x, y）关于 x 轴的对称点为P （ x, -y ）P x ,- y 点 P 与点P 关于 y 轴对称 （左右）纵坐标相等,横坐标互为相反数,y即点 P（ x,y）关于 y 轴的对称点为P （ -x , y）Px,yP - x,y 点 P 与点 P 关于原点对称横、纵坐标均互为相反数,x0-xx即点 P（ x, y）关于原点的对称点为规律：关于谁对称谁不变,另一个变相反；P （ -x , -y ）yPx,yy-x关于原点对称,两个分别变相反；6 、点到坐标轴及原点的距离（结合图形懂得） 点 Px,y到坐标轴及原点的距离：（ 1）点 Px,y到 x 轴的距离等于 y（ 2）点 Px,y到

17、y 轴的距离等于 xx0x-yP-x,-y（ 3）点 Px,y到原点的距离等于x 2y2（由勾股定理可得）三、坐标变化与图形变化的规律：坐标（ x, y）的变化图形的变化x a或 y a被横向或纵向拉长（压缩）为原先的a 倍x a , y a放大（缩小）为原先的a 倍x （ -1 ）或 y （ -1 ）关于 y轴或 x轴对称x （ -1 ）, y （ -1 ）关于原点成中心对称xa 或 ya,其中 a0xa , ya,其中 a0沿 x轴（ ）左（ +）右或 y轴（ +）上（）下平移 a 个单位沿 x轴（ ）左（ +）右平移 a 个单位, 再沿 y轴（ +）上（）下平移 a 个单第四章一次函数一

18、、函数：一般地,在某一变化过程中有两个变量x 与 y,假如给定一个 x 值,相应地就确定了一个y 值, 那么我们称 y 是 x 的函数,其中x 是自变量, y 是因变量；二、自变量取值范畴使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范畴；一般从 整式 （取全体实数） ,分式 （分母不为 0）、二次根式（偶次根式） （被开方数为非负数） 、实际意义几方面考虑；三、函数的三种表示法及其优缺点（ 1）关系式（解析）法两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做关系式（解析）法；（ 2）列表法把自变量 x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示

19、函数关系,这种表示法叫做列表法；（ 3）图象法用图象表示函数关系的方法叫做图象法；四、由函数关系式画其图像的一般步骤（ 1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（ 2）描点：以表中每对对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点（ 3）连线：依据自变量由小到大的次序,把所描各点用平滑的曲线连接起来；五、正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地,如两个变量x,y 间的关系可以表示成ykxb （ k, b 为常数, k0）的形式,就称 y 是 x 的一次函数（ x 为自变量, y 为因变量）；特殊地,当一次函数ykxb 中的 b=0 时（即 ykx ）（ k 为常数, k0）,称 y

20、是 x 的正比例函数；2、一次函数的图像:全部一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特点：、一次函数 ykxb 的图像是经过点（0,b）的直线；正比例函数ykx 的图像是经过原点（ 0, 0）的直线；、由于一次函数ykxb 的图象是一条直线,所以一次函数ykxb 的图象也称为直线 ykxb ；、由于两点确定一条直线,因此在画一次函数ykxb 的图象时,只要描出：与x 轴的交点（令 y0 ,求出 xb ）,与 y 轴的交点（令 x k0 ,求出 yb ）,即（ 0, b, b , 0k两点即可,画正比例函数ykx 的图象时,只要描出点（0, 0）,（ 1, k ）即可；、

21、k 的正负打算直线的倾斜方向 , k 的大小打算直线的倾斜程度 ,即 k 越大,直线与 x 轴相交的锐角度数越大（直线陡） , k 越小,直线与x 轴的相交的锐角度数越小（直线缓）；、 b 的正负打算直线与y 轴交点的位置 ；当 b0 时,直线与 y 轴的交于正半轴上；当b0 时,直线与y 轴交于负半轴上；当 b0 时,直线经过原点,是正比例函数,正比例函数是一次函数的特例；4、一次函数、正比例函数的图象和性质；当 k 0 时,当 k 0 时,y 随y 随x 的增大而增大,图象从左到右呈上升趋势；x 的增大而减小,图象从左到右呈下降趋势；函数图象性质一次函数b.01（ 1）当 k0 时, y

22、随 x的增大而增ykxbk0 b02大,图象必经过一三象限；b03 b0 时,过一二三象限 b0 时,只过一三象限 b0 时,过一三四象限时b.01（ 2）当 k0 时, y 随 x的增大而减k0 b02小,图象必过二四象限；b03 b0 时,过一二四象限 b 0 时,只过二四象限 b0 时,过二三四象限正比例函数yy图象过原点ykx0x0x当 k0 时, y 随 x 的增大而增大,图象必过一三象限当 k0 时, y 随 x 的增大而减小,图象必过二四象限；5、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数定义式ykx （k0）中的常数k；确定一个一次函数,需要确定一

23、次函数定义式ykxb （ k0）中的常数 k 和 b；解这类问题的一般方法是待定系数法；（ 1）、确定正比例函数及一次函数表达式的条件由于正比例函数ykx k0 中只有一个待定系数k ,故只需一个条件（如一对x, y 的值或一个点）就可求得 k 的值；由于一次函数ykxbk0 中有两个待定系数k, b ,需要两个独立的条件确定两个关于k , b的方程,求得k, b 的值,这两个条件通常是两个点或两对x, y 的值；（ 2）待定系数法先设式子中的未知系数,再依据条件求出未知系数,从而求出式子的方法叫做待定系数法；（ 3）用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 设函数表达式为ykxb ； 将已知

24、点的坐标代入函数表达式,解方程（方程组）； 求出 k与b 的值,得函数表达式；6、一次函数与一元一次方程的关系：任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0 （ k、b 为常数, k 0）的形式而一次函数解析式形式正是 y=kx+b（ k、b 为常数, k 0）当函数值 y0 时, .即 kx+b=0 就与一元一次方程完全相同结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（ k、b 为常数, k 0）的形式所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值y0 时,求相应的自变量的值从图象上看,这相当于已知直线y=kx+b 确定它与 x 轴交点的横坐标值7、一次函数 ykxb 的图象与坐标轴交点求法

25、：bb与 x 轴的交点：令 y0 ,求出 x,得 , 0 ；kk与 y 轴的交点：令 x0 ,求出 yb ,得0, b第五章二元一次方程组1、二元一次方程含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1 的整式方程叫做二元一次方程；2、二元一次方程的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解；3、二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组；4 二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解；5、二元一次方程组的解法（ 1）代入（消元）法（ 2）加减（消元）法（无论是代入消元法仍是加减消元法,其目的都是将

26、“二元一次方程”变为“一元一次方程”, 所谓之“消元” ）6、一次函数与二元一次方程（组）的关系：（ 1）一次函数与二元一次方程的关系：每个二元一次方程都可以看成一次函数,直线 y=kx+b 上任意一点的坐标 m, n 都是它所对应的二元一次方程kxybx m0 的解y n（ 2）一次函数与二元一次方程组的关系：求二元一次方程组的解,可看成求两个一次函数图象的交点；二元一次方程组a1xb1yc1 a2 xb2 yc2x m的解可看作两个一次函数y nya1 xc1 b1b1和 ya2 xc2 b2b2的图象的交点m, n ；反之,可以通过求二元一次方程组的解,求出两个一次函数图象的交点当函数图

27、象有交点时,说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时, 说明相应的二元一次方程组无解；7、在利用方程来解应用题时,主要分为两个步骤：设未知数 （在设未知数时, 大多数情形只要设问题为x或y；但也有时也须依据已知条件及等量关系等诸多方面考虑） ；查找等量关系 （一般地, 题目中会含有一表述等量关系的句子,只须找到此句话即可依据其列出方程）；8、 处理问题的过程可以进一步概括为：问题 分析抽象方程 组 求解解答检验第六章数据的代表11、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数 、众数、中位数2、平均数（ 1）平均数：一般地,对于n 个数算术平均数,简称平均数,记为x ；（

28、2）加权平均数：x1, x2 , xn, 我们把1 xx n2xn 叫做这 n 个数的、一组数据x1 , x2 , xn , 的权分加为w1, w2 , w3,., wn ,就称x1w1x2w2x3w3 w1w2w3.xnwn.wn为这 n个数的加权平均数；（如：对某同学的数学、语文、科学三科的考查,成果分别为72, 50, 88,而三项成果的“权”分别为4、3、1,就加权平均数为：724503881 ）431、假如 n 个数中,x1 显现f1 次,x2 显现f2 次,xk 显现 fk 次（ f1f2fkn ）,x fxfxf那么这 n 个的平均数可表示为x1 12 2nk k ,这样的平均数

29、x 叫加权平均数,其中f1, f 2,f k 叫做权；如：某小组在一次数学测试中,有3 人为 85 分, 2 人为 90 分, 5 人为 100 分,就该小组的平均分为： 853902100593.53253、众数众数指的是一组数据中显现次数最多的那个数据；4、中位数中位数指的是 n 个数据按大小次序（从大到小或从小到大）排列,处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数） ；众数着眼于对各数据显现次数的考察,中位数 第一 要将数据按大小次序排列,而且要留意当数据个数为 奇数时 ,中间的那个数据就是中位数；当数据个数为偶数时 ,居于中间的两个数据的平均数才是中位数, 特殊要留意一组数据的 平均数和中位数是唯独的,但众数就不肯定是唯独的；