2022年上海高中数学知识点总结.docx

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1、高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系xAxCU A,2. 德摩根公式xCUAxA.CU AB3. 包含关系CU ACU B;CU ABCU ACU B .ABAABBABCU BCU AACU B4. 容斥原理card ABCU ABRcardAcardBcard ABcard ABCcardAcardBcardCcard ABnnncard ABcard BCcard CAcard ABC .5集合 a1, a2, an 的子集个数共有 2个；真子集有 2 1 个；非空子集有 2 1 个；非空的真子集有 2n 2 个.6. 二次函数的解析式的三种形式(1) 一般式f xax2bx

2、ca0 ;(2) 顶点式f xaxh2k a0 ;(3) 零点式f xaxx1 xx2 a0 .7. 解连不等式Nf xM 常有以下转化形式Nf xM fxM f xN 0MNMN| f x|22f x MfN0x11.f xNMN8. 方程f x0 在 k1 ,k 2 上有且只有一个实根 , 与f k1f k2 0 不等价 , 前者是后者的一个必要而 不 是 充 分 条 件 . 特 别 地 ,方 程ax 2bxc0a0 有 且 只 有 一 个 实 根 在 k1, k2 内 , 等 价 于f k1f k2 0 , 或f k10 且 k1bk1k2, 或2a2f k 20 且 k1k22bk 2

3、 .2a9. 闭区间上的二次函数的最值二次函数f xax2bxca0) 在闭区间p,q上的最值只能在xb处及区间的两端点处2 a取得,详细如下：(1) 当 a0 时,如 xbp, q ,就 f xf b , f xf p,f q；minmaxmax2a2 axbp,q ,2af xmaxmaxf p,f q, f xminminf p,f q .(2) 当 a0（1）f xf xa ,就f x 的周期 T=a；（2）f xf xa0 ,或 f xa1 f f xx0 ,或 f xa1f x f x0,或 1f2xf 2 xf xa,f x0,1 , 就f x 的周期 T=2a；3f x11f

4、x f xa0 ,就f x 的周期 T=3a；4f xx f x1f x2且 f a1 f x f x1,0| xx|2a ,就f x的周期T=4a；121f x1f x212125f xf xaf x2a f x3af x4af x f xa f x2a f x3a f x4a, 就f x 的周期 T=5a；(6) 6f xaf xf xa ,就f x 的周期 T=6a.30. 分数指数幂m(1) anm1（ an am10,m, nN ,且 n1 ） .(2) a nm （ aa n0,m, nN ,且 n1 ） .31. 根式的性质（1） n ana .nn（2） 当 n 为奇数时,aa

5、 ；nna, a0当 n 为偶数时,a| a|.a, a032. 有理指数幂的运算性质1arasar s a0,r , sQ .(2) ar sars a0,r , sQ .(3) ab rar br a0,b0, rQ .注： 如 a 0 , p 是一个无理数,就ap 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用 .33. 指数式与对数式的互化式alog Nbab34. 对数的换底公式N a0, a1, N0 .log a Nlog m Na0 , 且 a1 , m0 , 且 m1,N0 .推论 loglog m annloga m ba b am0 , 且 a1 ,

6、m, n0 , 且 m1, n1 ,N0 .35. 对数的四就运算法就如 a 0, a 1, M0, N 0,就(1) loga MN log a Mlog a N ;(2) logMlogMlogN ;aaaNn(3) loga Mn log a MnR .36. 设函数f xlogax2bxc a0 , 记b24ac . 如f x 的定义域为R , 就 a0 ,m且0 ; 如f x 的值域为 R , 就 a0 ,且0 . 对于 a0 的情形 , 需要单独检验 .37. 对数换底不等式及其推广如 a0 , b0 , x0 , x1, 就函数 yalogax bx0,(1) 当 ab 时, 在

7、1 和 1上 ylog ax bx 为增函数 .a1,2 当 ab 时, 在 0, 和aa1, 上 yalog ax bx 为减函数 .推论 :设 nm1, p0, a0 ,且 a1 ,就（1） logm p nplog m n .（2） logm lognlog2 mn.aaa238. 平均增长率的问题假如原先产值的基础数为N,平均增长率为p ,就对于时间 x的总产值 y ,有39. 数列的同项公式与前n 项的和的关系yN 1px .s1,ansnn1sn 1, n数列 an 的前 n 项的和为 sn2a1a2an .40. 等差数列的通项公式aan1ddnadnN* ；n11其前 n 项和

8、公式为sna1n2an na1nn21) dd n2 a1 d n .12241. 等比数列的通项公式aa qn 1a1qn nN * ；n1q其前 n 项的和公式为a11sn1qn , q1q或 snna1 ,qa111anq , q1q.na1, q42. 等比差数列1an : an 1qand, a1bq0 的通项公式为bn1d ,q1anbqndbqn 1d；, q1q1其前 n 项和公式为nbnn1d , q1sd1qnd.nb1qq11qn, q143. 分期付款 按揭贷款 ab1bn每次仍款 x1b n元 贷款 a 元, n 次仍清 ,每期利率为 b .144. 常见三角不等式（

9、1）如 x0, ,就 sin xx2tan x .(2) 如 x0, ,就 1sin x2cosx2 .(3) |sin x | cos x | 1 .45. 同角三角函数的基本关系式sin2cos21 , tan=sin, tan coscot1 .46. 正弦、余弦的诱导公式nn12 sin,n 为偶数 sin2n1 21co s,n 为奇数 n 为偶数 nn 12 co s,47. 和角与差角公式n 为奇数 cos2n 1 1 2sin,sinsincoscossin;coscoscossinsin;tantantan.1tantansinsinsin2coscoscos2sin 2si

10、n2 平方正弦公式 ;.a sinb cos=a 22bb sin 帮助角所在象限由点 a,b 的象限打算 , tan.a48. 二倍角公式sin 2sincos.cos 2cos2sin 22cos 2112sin 2.tan 22 tan.1tan 249. 三倍角公式sin 33sin4sin 34sinsin 3sin .3cos34cos 33cos4coscos 3cos.3tan 33tantan32tantan tan .13tan3350. 三角函数的周期公式函数 ysinx ,x R 及函数 ycosx , xRA, ,为常数,且 A 0, 0 的周期 T2；函数 ytan

11、x ,xk, kZ A, ,为常数, 且 A0, 0 的周期 T.251. 正弦定理abc2 R.sin Asin Bsin C52. 余弦定理a 2b 2b 2c2c2a 2c2 2bc cos A ; a2 2cacos B ; b2 2ab cosC .53. 面积定理（1） S1 ah1 bh1 ch （ h 、h 、h分别表示 a、b、c 边上的高） .abc222abc（2） S1 ab sin C1 bc sin A1 casin B .2223S OAB1| OA | | OB | 22OA OB 2 .54. 三角形内角和定理在 ABC中,有ABCC ABCAB2C 222s

12、in xaxk1k arcsin a kZ,| a |1 .co s xax2karccos akZ ,| a | 1 .55. 简洁的三角方程的通解22 AB .tan xaxk特殊地 , 有arctan akZ , aR .sinsink 1kkZ .coscos2kkZ .tantankkZ .56. 最简洁的三角不等式及其解集sin xa| a |1x2karcsin a,2 karcsin a, kZ.sin xa| a |1x2 karcsin a,2 karcsin a, kZ.cos xa| a |1x2 karccos a,2 karccos a, kZ .cos xa| a

13、 |1x2karccos a,2 k2arccosa, kZ .tan xa aRxkarctan a,k, kZ .2tan xa aRxk, karctan a, kZ .257. 实数与向量的积的运算律设 、 为实数,那么(1) 结合律： a = a;(2) 第一安排律： + a= a+ a;(3) 其次安排律： a+b= a+b.58. 向量的数量积的运算律：(1) a b= b a （交换律） ;2 （a） b=（ a b） =a b= a （b） ;3 （ a+b）c= a c +b c.59. 平面对量基本定理假如 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的

14、任一向量,有且只有一对实数 1、 2,使得 a= 1e1+ 2 e2不共线的向量e1 、e2 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底60. 向量平行的坐标表示设 a= x1, y1 , b= x2 , y2 ,且 b0,就 abb053. a 与 b 的数量积 或内积 ab=| a| b|cos 61. a b 的几何意义x 1 y2x2 y10 .数量积 ab 等于 a 的长度 |a |与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos 的乘积62. 平面对量的坐标运算1 设 a= x1 , y1, b= x2, y2 ,就 a+b= x1x2 , y1y2 .2 设 a= x1 , y1, b=

15、x2, y2 ,就 a-b=x1x2 , y1y2 .3 设 A x1, y1 , B x2 , y2 , 就ABOBOAx2x1, y2y1 .4 设 a= x, y,R ,就a= x,y .5 设 a= x1, y1, b= x2, y2 ,就 a b= x1x2y1y2 .63. 两向量的夹角 公式cosx1x2y1 y2 a= x , y , b= x , y .x2y21122x2y2112264. 平面两点间的距离公式dA,B =| AB |AB AB xx 2 yy2 A x , y , B x , y .212165. 向量的平行与垂直1122设 a= x1, y1 , b=

16、x2 , y2 ,且 b0,就A| bb=ax 1 y2x2 y10 .aba0a b=066. 线段的定比分公式x1x2y1 y20 .设 P1 x1 , y1 , P2 x2 , y2 ,P x, y 是线段P1P2 的分点 ,是实数,且P1PPP2 ,就x x1x2 1y y1y2 1OPOP1 1OP2OPtOP1t OP （ t1） .1267. 三角形的重心坐标公式 ABC 三 个 顶 点 的 坐 标分 别 为1Ax 1,y 1 、Bx2,y2 、Cx3 ,y 3 , 就 ABC 的 重心 的 坐 标 是G x1x2x3 , y1y2y3 .3368. 点的平移公式xxhxxhyy

17、kyy kOPOPPP .注: 图形 F 上的任意一点 Px ,y 在平移后图形69. “按向量平移”的几个结论F 上的对应点为P x, y ,且PP的坐标为 h,k .（1）点P x,y) 按向量 a= h, k 平移后得到点P xh, yk .(2) 函 数yf x的 图 象 C 按 向 量 a= h, k 平 移 后 得 到 图 象C , 就 C的 函 数 解 析 式 为yf xhk .(3) 图象C 按向量 a= h, k 平移后得到图象C , 如 C 的解析式yf x, 就 C的函数解析式为yf xhk .(4) 曲线 C :f x, y0 按向量 a= h, k 平移后得到图象C

18、, 就 C的方程为f xh,yk 0 .(5) 向量 m= x, y 按向量 a= h, k 平移后得到的向量仍旧为m= x, y .70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设 O 为 ABC 所在平面上一点,角A, B, C 所对边长分别为a, b, c ,就（1） O 为 ABC 的外心22OAOB2OC .（2） O 为 ABC 的重心OAOBOC0 .（3） O 为 ABC 的垂心OA OBOB OCOC OA.（4） O 为 ABC 的内心aOAbOBcOC0 .（5） O 为 ABC 的A 的旁心aOAbOBcOC .71. 常用不等式：（1）a, bRa2b22ab 当且仅当 a

19、b 时取“ =”号 （2）a, bRabab 当且仅当 a b 时取“ =”号 2（3） a3b3c33abca0,b0,c0.（4） 柯西不等式a2b2 c2d 2 acbd 2, a,b, c, dR.（5） ababab .72. 极值定理已知 x, y 都是正数,就有（1） 如积 xy 是定值 p ,就当 xy 时和 xy 有最小值 2p ；12（2） 如和 xy 是定值 s,就当 xy 时积 xy 有最大值s .4推广 已知x, yR ,就有 xy) 2xy22xy（1） 如积 xy 是定值 , 就当 | xy | 最大时 , | xy | 最大；当| xy | 最小时 , | xy

20、 |最小 .（2） 如和 | xy | 是定值 , 就当 | xy |最大时 ,| xy |最小；当| xy | 最小时 ,| xy |最大.73. 一元二次不等式ax2bxc0或0 a0,b24ac0 ,假如 a 与 ax2bxc 同号,就其解集在两根之外；假如a 与两根之间 .ax2bxc 异号,就其解集在两根之间. 简言之：同号两根之外,异号x1xx2 xx1 xx2 0x1x2 ；xx1,或xx2 xx1 xx2 0x1x2 .74. 含有肯定值的不等式当 a 0 时,有2xax2axax2a2axa .xa 或 xa .75. 无理不等式f x0（1）f xg xg xf x0.g

21、x（2）f xg xf x0g x0f x g x 2f x0或.g x0（3） （3）f xg xf x02gx0.f x g x76. 指数不等式与对数不等式(1) 当a f xa1 时,ag xf xgx;f x0log af xlog ag xg x0.(2) 当 0a f xaag x1时,fxf xgx ;g xlog af xlog ag xf x0g x077. 斜率公式f xg xky2y1 （ P x , y 、 P x , y ） .x2x111122278. 直线的五种方程（1） 点斜式yy1kxx1 直线 l 过点P1 x1 , y1 ,且斜率为 k （2） 斜截式y

22、kxb b 为直线 l 在 y 轴上的截距 .（3） 两点式yy1xx1 yy P x , y 、 P x , y xx .y2y112x2x1111222124 截距式xy1 a、b 分别为直线的横、纵截距, aba、b0 （5）一般式AxByC0 其中 A 、B 不同时为 0.79. 两条直线的平行和垂直1如 l1 : yk1 xb1 , l2: yk2 xb2 l1| l2k1k2, b1b2 ; l1l2k1k21.2如 l1 : A1 xB1 yC10 , l2: A2 xB 2 yC20 ,且 A 1、A 2、B 1、B2 都不为零 , l | lA1B1C1 ；12A2B2C2 l1l2A1A2B1B20；80. 夹角公式k2k1(1) tan| .1k2k1 l1 : yk1x